到達(dá)時差估計的頻域模型

1、到達(dá)時差估計的頻域模型JesperRindomJensen1,JesperKj況rNielsen23,MadsGr代sb0llChristensen1,S0renHoldtJensen31AalborgUniversity2Bang&OlufsenA/S3AalborgUniversitAudioAnalysisLab,AD:MTStruer,DenmarkDept.ofElectronicSystemsjrj,mgccreate.aau.dkjkn,shjes.aau.dkt摘要到達(dá)時差(TDOA)估計是音頻信號處理應(yīng)用中的一類重要問題，以前可以通過互相關(guān)方法解決。但本文表明，互相關(guān)方法實際

2、上是通用的方法中的一個受約束的特例。因此，本文設(shè)置了條件使互相關(guān)方法成為統(tǒng)計有效的估算方法。其中一項條件是源信號為基本頻率是2Nrad/樣本的周期信號，其中N是數(shù)據(jù)點的個數(shù)或已知的諧波個數(shù)。而更通用的方法只要求源信號具有周期性，因此在對合成數(shù)據(jù)以及人工延遲的語音信號的估計準(zhǔn)確度方面優(yōu)于互相關(guān)方法。仿真代碼可在網(wǎng)上獲取。索引詞(分?jǐn)?shù))到達(dá)時差估計，基頻估計，廣義互相關(guān)1.引言在許多應(yīng)用中，對一個未知信源的角度和位置的估計是一項重要課題。例如，在音頻應(yīng)用中，此類估計可用于區(qū)分說話人、抑制非所需的背景噪聲和估算房屋的幾何結(jié)構(gòu)1-3。此類對到達(dá)方向和信源位置的估計問題可以歸結(jié)為估算一個傳感器陣列中各個

3、傳感器之間的到達(dá)時差，文中考慮兩個傳感器之間的到達(dá)時差。傳感器對的到達(dá)時差估計通常需要將它輸入用于處理至少兩個擴(kuò)音器記錄的數(shù)據(jù)的算法(譬如流行的SRP-PHAT算法1)中2。目前，在語音應(yīng)用中計算到達(dá)時差估計最廣泛應(yīng)用的方法是基于相關(guān)方法的集合，或稱廣義互相關(guān)4(GCC)方法。與雷達(dá)和聲吶應(yīng)用相比，此處的源信號是典型的寬帶信號，因此一些對于窄帶信號統(tǒng)計有效的算法不能在這直接使用，例如MUSIC和ESPRIT。另外，寬帶版MUSIC方法的計算代價7比GCC方法的更高，并且當(dāng)采用快速傅里葉變換算法的GCC方法在頻域得以論證后，這類方法能夠高效地應(yīng)用。構(gòu)建信號頻域模型的另一項優(yōu)勢在于可以從源信號中提

4、取延遲參數(shù)并將其模擬成連續(xù)參數(shù)。因此，大多數(shù)關(guān)于音頻應(yīng)用中的到達(dá)方向的估計和信源定位的論文都從頻域模型開始研究。如果考慮最簡單的到達(dá)時差估計參數(shù)模型，則本文的主要觀點可以簡單闡述。x(n)二s(n)+e(n)11(1)x(n)二ps(n耳)+e(n)22n=0,1,.,N1，其中信號x(n),s(n)和e(n)分別為第i個傳感器信號、源信號和傳感器iii上的噪聲。標(biāo)量00，耳丘-N2N2分別是樣本源信號從傳感器1到2的衰減和相對延遲。如果源信號是一個基頻為2兀;Nrad/樣本(或其整數(shù)倍)的周期信號，則公式(1)中的模型在頻域內(nèi)可寫成：X(k)二S(k)+E(k)11(2)X(k)=0S(k)

5、exp(-j2kkq/N)+E(k)丿22k=0,1,.N1，其中X(k),S(k),E(k)分別為是信號x(n),s(n)和e(n)的離散傅里葉iii變換系數(shù)。公式(2)中的頻域模型存在一些問題。首先是局限性太強(qiáng)，雖然音頻應(yīng)用中的信號源通常在較短的時間范圍內(nèi)近似具有周期性，但實際中，該假設(shè)在基頻上通常難以令人滿意，會產(chǎn)生邊緣效應(yīng)8-10。通過適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)零可以避免邊緣效應(yīng)，但是會通過一個秩虧相關(guān)矩陣豐富噪聲頻譜8。另一個問題是，由于一個實數(shù)源信號中的非整數(shù)延遲會產(chǎn)生一個復(fù)數(shù)的傳感器信號，公式(2)中的頻域模型沒法用于分?jǐn)?shù)TDOA估計！針對這些問題，本文提出一種不同的模型，假定源信號具有周期性但基

6、頻不是2兀JNrad/樣本。將基頻模擬成一個未知的參數(shù)并聯(lián)合TDOA和DOA對其估計已經(jīng)不是新思想-。然而本文表明，該模型比傳統(tǒng)頻域模型更具廣泛性，因為后者是前者的一個特例。本文還設(shè)立了條件使互相關(guān)方法成為統(tǒng)計有效的估計方法。由此，本文為聯(lián)合基頻和到達(dá)時差估計提出了一種新型的近似最大似然估計方法，在處理合成數(shù)據(jù)和人工延遲的聲音數(shù)據(jù)方面的性能均優(yōu)于互相關(guān)方法。相比于傳統(tǒng)互相關(guān)算法，該估計方法無需使用內(nèi)插方法就能產(chǎn)生分?jǐn)?shù)延遲估值。2.聯(lián)合基頻與到達(dá)時差估計正如引言中所提到的，本文不對基頻信號的模型做任何假設(shè)。如下文中詳述，本文假定源信號是具有一個未知基頻和數(shù)量未知的諧波成分的周期性信號。本文還假定

7、噪聲為高斯白噪聲。盡管可能導(dǎo)致對大混響音頻的估計性能不佳，這些假設(shè)已經(jīng)足以論證本文的主要觀點。2.1模型任意一個平均值為0的實數(shù)周期性源信號可以寫成TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark18 o Current Document s(n)=藝Acos(kn+)=Saexp(/tokn)k0kk0k=1k=-L其中A0,0e-兀,兀),toe(0,兀/Z),a=a*=Aexp(j)/2分別是幅度、相位、基kk0kkkk頻和復(fù)振幅。記A=0，相當(dāng)于實際中源信號無直流分量。如果將源信號延遲1，得0s(n-q)=Saexp(jtokn)exp(-jgk)k=-L(9)此處

8、定義g叩。公式(1)中的信號模型可寫成矩陣向量形式x1x2Z()00Z()D(g)0a+e=H(0,g,)a+e0(5)此處定義zg)1exp(jto)exp(je(N-1)TZ()z(L)00z(一)z()z(L)000D(g)diag(exp(jL)，,exp(L),exp(jg)，exp(jL)aaaL1aaT1LH(0，g，o)二Z()00Z()D(g)0另外，假設(shè)噪聲是方差為G2的高斯白噪聲，則觀測模型符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度函數(shù)(pdf)為P(X1，0，g，0，2)=N(H(0，g，叩212J其中I是2Nx2N的單位矩陣。2N2.2一種近似最大似然估計方法公式(6)中的觀測模型包

9、含2L線性參數(shù)，噪聲方差G2和非線性參數(shù)0，o和g。如果觀測模型關(guān)于這些參數(shù)進(jìn)行最大化，可以得到這些參數(shù)的最大似然估計。線性參數(shù)和噪聲方差容易從最優(yōu)化問題中分離出來，還剩下非凸函數(shù)最優(yōu)化的問題八八(7)(0,g，)=argmaxJ(0，g，)0O，geK，兀),0E(0L)此時代價函數(shù)如下(0，g，叩=XHH(0，g，o)HH(0，g，叩日(0，g，o)-1XHH(0，g，叩X這個代價函數(shù)有時也稱為非線性最小平方(NLS)代價函數(shù)。雖然對公式(8)中高度非線性的代價函數(shù)進(jìn)行3D搜索尋求全局最大值在理論上是可行的，但是計算上并不合適。但是可以采用下文所述的一種更快的近似方法。當(dāng)基頻不在0或兀(與

10、N有關(guān))附近時，Zh()Z()的積近似于一個縮放的單位矩陣00Zh()Z()uNI002L該近似值精確漸進(jìn)于N或者如果基頻位于傅里葉柵點2“kNN-1。k=0在該近似關(guān)系下，有Hh(P,g,)H(卩,g,)沁(1+卩2)NI(10)002L并且公式(8)中的代價函數(shù)的結(jié)果可以寫成J(P，g，叫)二1N(1+P2)xhz()Zhg)x+p2xhz(e)Zhg)x10012002(11)+2PxhZ(e)D*(g)Zh(e)x1002建議代價函數(shù)按以下步驟進(jìn)行優(yōu)化：1.若所有非線性參數(shù)均未知，可通過一個多通道距估計函數(shù)16估得基頻的初始估計值。若諧波的數(shù)量L也未知，聯(lián)合基頻和模型階數(shù)估計函數(shù)17可

11、以通過模型比較框架18進(jìn)行擴(kuò)展，用來處理多通道數(shù)據(jù)。若衰減卩和g已估得(見以下兩步)，可以同過對公式(11)中的代價函數(shù)求最大值來重新估計基頻。2若基頻已知或已經(jīng)估得，g的代價函數(shù)不依賴于卩，且減小到(12)J(g)Z(e)D(g)Zh(e)x2001可以用一種帶有一維線性搜索(比如斐波那契搜索)的快速傅里葉變換算法進(jìn)行有效地優(yōu)化。3若基頻已知或已經(jīng)估得并且g的估值已經(jīng)算出，衰減參數(shù)的估值可通過解關(guān)于P的二階方程0刃(卩,g，叫)U=c鄰=PxhZ(e)Zh(e)x一xhZ(e)Zh(e)x20021001+(1一P2)xHZ(e)D*(g)ZH(e)x(13)1002求得。重復(fù)以上三個步驟，

12、就可以得到最大似然估計值。實驗發(fā)現(xiàn)，迭代一次的結(jié)果已經(jīng)可以接受，下一章仿真時也會這樣設(shè)置。2.3一個重要的特例當(dāng)基頻設(shè)為e=級N，諧波數(shù)量設(shè)為L=Nj2-1，公式(9)中的近似值是精確的,且n=ge的代價函數(shù)于卩無關(guān)，寫成J們)=xhZ(22N)Zh(22N)x=歹-1X*(k)X(k)exp(j2kkq;N)(14)k=-N!2+1其中X()=X()=。12如果耳是整數(shù)，X(N2)=X(N2=0,N是偶數(shù)，則代價函數(shù)可寫成12J們)=匸X:(k)X?(k)exp(j2kN)(15)k=0即互相關(guān)到達(dá)時差估計方法的代價函數(shù)?；ハ嚓P(guān)估計函數(shù)15是一種最大似然估計方法，且在滿足以下條件時是一種有效

13、的估計函數(shù)：源信號是均值為0的周期信號源信號的基頻為2k/Nrad/樣本源信號的諧波數(shù)量為L=n：2-1延遲是整數(shù)對于N為偶數(shù)，X1(N2)豐0，X2(N2豐0的特例，互相關(guān)估計方法是一種次優(yōu)估計方法。然而在實際應(yīng)用中，抗鋸齒濾波器幾乎可以確保X1(N2)沁X1(N7)沁0，因此該特例不符合實際情況。2.4.分?jǐn)?shù)到達(dá)時差估計公式(15)的互相關(guān)函數(shù)也可以從公式(2)中的頻域模型中得到。但是，如引言中所述，即便耳是連續(xù)參數(shù)，代價函數(shù)也不能用于估算分式到達(dá)時差。為了證明這一點，假設(shè)沒有噪聲，則X(k)=X(k)exp(-j2kkn/N)，fork=0,1,N-1210其中n0是真實延遲。如果將其代

14、入公式(15)并利用X1(k)=X:(N-k)，代價函數(shù)變成復(fù)數(shù)，除非n-n是整數(shù)。這個的問題可以采用不同的插值法妙21】、分?jǐn)?shù)延遲濾波器匚2,23和分?jǐn)?shù)傅0里葉變換24解決。但是用公式(14)的代價函數(shù)可以不用這些啟發(fā)式算法，因為它對任意延遲n的結(jié)果都是實數(shù)。3.仿真本文提出的達(dá)到時差估計方法(以下表示為AML)在合成數(shù)據(jù)和人工延遲語音數(shù)據(jù)上與其他估計方法進(jìn)行了評估和對比，用以實驗性地展示該方法與傳統(tǒng)估計方法的差異。其他方法包括NLS0,以及分別帶有單位和相位變化(PHAT)加權(quán)的廣義互相關(guān)(GCC)4方法。這幾種GCC方法已經(jīng)過修正，比如考慮到分?jǐn)?shù)到達(dá)時差估計，代價函數(shù)中帶有對稱指數(shù)14，

15、下文中稱為GCC和GCCPo近似最大似然估計法與NLS的不同在于NLS沒有求出公式(9)中的漸進(jìn)近似值，但是假定信號源在遠(yuǎn)端(例如0=1)。這幾種方法的基音和諧波模型階數(shù)都可以用文獻(xiàn)17的方法估得。首先對合成數(shù)據(jù)進(jìn)行評估。實驗中，選取的100個實數(shù)周期樣本信號包含5個帶有單位振幅和隨機(jī)相位的諧波分量，基頻從u(0.1,0.15)中采樣。然后將所選取信號延遲約0.6個樣本并乘以0=0.75，產(chǎn)生一個附加信號來得到一段合成立體聲音信號。兩個信號都在高斯白噪聲中進(jìn)行觀察，高斯白噪聲的方差與首通道信噪比對應(yīng)。設(shè)置完成后，對不同的首通道信噪比進(jìn)行100次Monte-Carlo仿真，結(jié)果如圖1a所示。標(biāo)簽

16、“NLS(oracle)”和“CRB”分別代表裝配有oracle基音信息和克拉美羅界的NLS方法。(a)(b)(c)圖.1(A)NLS和GCC(P)分別在不同信噪比下的立體聲諧波信號(a)、不同信噪比下的立體聲咼斯白噪聲(b)和不同基頻偏移(c)情況下的性能結(jié)果顯示，不管使用的是真實的還是估計的基音,NLS性能都差不多(除了低信噪比)。另外，NLS比ANLS性能略好。更重要的是對于傳統(tǒng)頻域模型來說,這些方法都比GCC(P)性能好。這清楚地表明了采用本文提出的模型的優(yōu)點。(A)NLS信噪比高于30dB，原因是ANLS使用了公式(9)中的大樣本近似值，NLS方法中采用了遠(yuǎn)場假設(shè)(例如卩=1)。接下

17、來的實驗中選取的信號是寬帶高斯白噪聲信號(以N為周期)，對應(yīng)叫=2兀/N和一個NJ2-1階諧波模型。與之前同樣通過延遲和衰減得到一段立體聲片段。在每個頻道上加高斯白噪聲，首通道信噪比各不相同。設(shè)置完成后，得到的結(jié)果如圖1b所示。這種情況下，所有方法效果類似，在信噪比超過10dB時達(dá)到克拉美羅界，表明公式(2)中廣泛應(yīng)用的頻域模型只是本文提出的到達(dá)時差估計模型的一個特例，印證了本文的觀點，。此外，實信號不可能嚴(yán)格以N為周期，因此在實際應(yīng)用中GCC(P)方法通常無法達(dá)到最佳效果。還需注意，在類似這樣的寬帶情況下，基頻很低且難以估計26。盡管如此，在基頻已估得時，AML和NLS方法也能取得最佳效果。

18、最后一次實驗和第一次對合成數(shù)據(jù)的實驗一樣帶有諧波信號。但是本次試驗中，基頻1Hz加上了一個變化的頻偏，首通道的信噪比也隨之改變，采樣頻率f為8kHz。對不同的頻偏進(jìn)行Monte-Carlo仿真，結(jié)果如圖1c所示。當(dāng)基頻位于Ns點頻率柵格點(例如無頻偏)時，GCC、AML和NLS方法效果相似，且都到達(dá)克拉美羅界?，F(xiàn)實場景中，隨著頻偏增大，所有方法效果都會下降。頻偏超過5Hz時，AML和NLS的效果明顯好于GCC(P)。無衰減(卩=1)情況下，即使有頻偏，NLS也能達(dá)到克拉美羅界，因此具有衰減系數(shù)估值的NLS在一切情況下效果都明顯優(yōu)于GCC(P)。a110.5IL.52TimesVCCIL一由圖2

19、用(A)NLS和GCC(P)方法得到的真實語音合成信號的到達(dá)時差估計GCCGCCPAMLNLS均方根誤差樣本0.1480.2010.0560.036表1.對應(yīng)圖2中估值的均方根誤差本文還用人工延遲語音數(shù)據(jù)對該方法進(jìn)行了評估，所用的數(shù)據(jù)集是一段女性說“Whywereyouawayayear,Roy?”的語音信號。為了評估所獲得的到達(dá)時差估計值的精確度，用RIR發(fā)生器囚將這段語音延遲，合成了立體聲片段，這樣實際的到達(dá)時差約為0.75個樣本。整個過程中沒有回聲和額外的噪聲。用上述方法每12.5ms從兩個頻道內(nèi)對100個樣本區(qū)進(jìn)行采樣，采樣頻率為8kHz。估值結(jié)果如圖2所示，對應(yīng)表1中的均方根誤差。這

20、些結(jié)果表明，在現(xiàn)實場景中GCC(P)會產(chǎn)生許多虛假的TDOA估值，AML和NLS效果明顯優(yōu)于GCC(P)。這說明本文提出的達(dá)到時差估計模型在實際應(yīng)用中確實有效。4.結(jié)論本文將傳統(tǒng)互相關(guān)方法和一種通用的最大似然估計方法聯(lián)系在一起，其中最大似然估計方法中周期信號的基頻設(shè)置成一個參數(shù)未知且連續(xù)的模型。在此聯(lián)系中設(shè)立了四個條件使互相關(guān)方法成為統(tǒng)計學(xué)上有效的估計方法，并實驗證實了采用最大似然估計方法能取得顯著的提升。條件十分苛刻，要求未知源信號的基頻為2QNrad/樣本，其中N是數(shù)據(jù)點的個數(shù)，諧波數(shù)量為N：:2-1,且延遲是一個整數(shù)值。本文說明了用零點附近的對稱頻率指數(shù)就能推翻后一種假設(shè)。自然而然地引出

21、本文提出的模型，基頻和諧波數(shù)量都是未知參數(shù)。此外，證實了由此推導(dǎo)得來的該模型的近似最大似然估計方法在合成數(shù)據(jù)和現(xiàn)實數(shù)據(jù)上均優(yōu)于互相關(guān)方法。5.參考文獻(xiàn)1J.H.DiBiase,H.F.Silverman,andM.S.Brandstein,“Robustlocalizationinreverberantrooms,”inMicrophoneArrays-SignalProcessingTechniquesandApplications,M.S.BrandsteinandD.B.Ward,Eds.,chapter8,pp.157180.Springer-Verlag,2001.2J.Chen,J

22、.Benesty,andY.A.Huang,“Timedelayestimationinroomacousticenvironments:Anoverview,”EURASIPJ.onAdvancesinSignalProcess.,vol.2006,pp.1-19,May2006.J.Benesty,J.Chen,andY.A.Huang,Microphonearraysignalprocessing,Berlin,Germany:Springer-Verlag,2008.C.KnappandG.Carter,“Thegeneralizedcorrelationmethodforestima

23、tionoftimedelay,”IEEETrans.Acoust.,SpeechSignalProcess.,vol.24,no.4,pp.320-327,Aug.1976.R.O.Schmidt,“Multipleemitterlocationandsignalparameterestimation,”IEEETrans.AntennasPropag.,vol.34,no.3,pp.276-280,Mar.1986.A.Paulraj,R.Roy,andT.Kailath,“Estimationofsignalparametersviarotationalinvariancetechniq

24、ues-ESPRIT,”Rec.AsilomarConf.Signals,Systems,andComputers,pp.83-89,Nov.1985.7J.P.Dmochowski,J.Benesty,andS.Affes,“BroadbandMUSIC:opportunitiesandchallengesformultiplesourcelocalization,”inProc.IEEEWorkshoponAppl.ofSignalProcess.toAud.andAcoust.IEEE,2007,pp.18-21.J.C.Chen,R.E.Hudson,andK.Yao,“Maximum

25、-likelihoodsourcelocalizationandunknownsensorlocationestimationforwidebandsignalsinthenear-field,”vol.50,no.8,pp.1843-1854,2002.Y.IsbiandA.J.Weiss,“DFTmodelerrorsforfinitelengthobservationswithspatiallydistributedsensors,”inIEEEConv.ElectricalandElectronicsEngineersinIsreal.IEEE,2008,pp.080-084.A.Ye

26、redor,“Analysisoftheedge-effectsinfrequency-domainTDOAestimation,”inProc.IEEEInt.Conf.Acoust.,Speech,SignalProcess.,2012,pp.3521-3524.X.QianandR.Kumaresan,“Jointestimationoftimedelayandpitchofvoicedspeechsignals,”Rec.AsilomarConf.Signals,Systems,andComputers,vol.1,pp.735-739,Oct.1995.G.Liao,H.C.So,a

27、ndP.C.Ching,“Jointtimedelayandfrequencyestimationofmultiplesinusoids,”inProc.IEEEInt.Conf.Acoust.,Speech,SignalProcess.,May2001,vol.5,pp.3121-3124.L.Y.Ngan,Y.Wu,H.C.So,P.C.Ching,andS.W.Lee,“Jointtimedelayandpitchestimationforspeakerlocalization,”inProc.IEEEInt.Symp.CircuitsandSystems,May2003,vol.3,p

28、p.722-725.14J.X.Zhang,M.G.Christensen,S.H.Jensen,andM.Moonen,“JointDOAandmulti-pitchestimationbasedonsubspacetechniques,”EURASIPJ.onAdvancesinSignalProcess.,vol.2012,no.1,pp.111,Jan.2012.M.WohlmayrandM.Kepesi,“Jointposition-pitchextractionfrommultichannelaudio,inProc.Interspeech,Aug.2007,pp.1629-163

29、2.M.G.Christensen,“Multi-channelmaximumlikelihoodpitchestimation,”inProc.IEEEInt.Conf.Acoust.,Speech,SignalProcess.IEEE,2012,pp.409-412.J.K.Nielsen,M.G.Christensen,andS.H.Jensen,“DefaultBayesianestimationofthefundamentalfrequency,”IEEETrans.Audio,Speech,Lang.Process.,vol.21,no.3,pp.598-610,Mar.2013.

30、J.K.Nielsen,M.G.Christensen,A.T.Cemgil,andS.H.Jensen,“Bayesianmodelcomparisonwiththeg-prior,IEEETrans.SignalProcess.,vol.62,no.1,pp.225-238,2014.G.JacovittiandG.Scarano,“Discretetimetechniquesfortimedelayestimation,”IEEETrans.SignalProcess,vol.41,no.2,pp.525-533,Feb.1993.M.M.McCormickandT.Varghese,“Anapproachtounbiasedsubsampleinterpolationformot