《材料力學》課件 6彎曲變形

1、材 料 力 學Monday, August 15, 2022第六章彎 曲 變 形1第六章 彎曲變形本章內容:1 工程中的彎曲變形問題2 撓曲線的微分方程3 用積分法求彎曲變形4 用疊加法求彎曲變形5 簡單靜不定梁6提高彎曲剛度的一些措施26. 1 工程中的彎曲變形問題 對梁除了有強度要求外，還有剛度要求。 大多數(shù)情況下，要求梁的變形不能過大； 一些特殊情況下，要利用彎曲變形。 求解靜不定問題需要計算梁的變形。3456786. 2 撓曲線的微分方程1 基本概念梁的軸線變形后的曲線。對稱彎曲時，是一條平面曲線。 彎曲變形的度量 撓度橫截面形心沿y方向的位移，用w表示。 撓曲線9 撓度橫截面形心沿y

2、方向的位移，用v表示。 轉角變形后，橫截面相對其原來位置轉過的角度。用 表示。轉角 以逆時針為正。 撓曲線方程轉角即為撓曲線在該點的切線與x軸的夾角。102 撓曲線的微分方程上一章中，已得到：忽略剪力對變形的影響時，梁對稱彎曲時的曲率為 由高等數(shù)學公式11這就是撓曲線的微分方程。12 撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下， 方程中正負號的確定13 撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下， 方程中正負號的確定所以方程中應取正號。OxwxOw14 撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下， 方程中正負號的確定方程中應取正號。轉角:注意: 撓曲線的近似微分方程僅適用于小變形的平面彎曲問題。15注意事項 適

3、用條件 1. 應采用右手坐標系； 2. 忽略剪力 Q 的影響； 3. 小變形，w 1, 或 w 0； 4. 材料服從虎克定律。166. 3 用積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程積分一次，得再積分一次，得其中，C、D為積分常數(shù) 邊界條件，由邊界條件確定。17 邊界條件幾種典型的邊界條件 簡支梁 懸臂梁 連續(xù)條件 彎曲變形的對稱點處在撓曲線的任意點處，有唯一的撓度和轉角。18 梁的剛度條件 連續(xù)條件在撓曲線的任意點處，有唯一的撓度和轉角。 D點和C點的連續(xù)條件各為什么？D點：C點： 中間鉸處，撓度連續(xù)，轉角不連續(xù)。19例題1 圖示一抗彎剛度為 EI 的懸臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.試求梁

4、的撓曲線方程和轉角方程, 并確定其最大撓度 和最大轉角 ABxF彎曲變形 w三 應用實例20(1) 彎矩方程為解：(2) 撓曲線的近似微分方程為xwABxF彎曲變形 對撓曲線近似微分方程進行積分21梁的轉角方程和撓曲線方程分別為邊界條件將邊界條件代入(3) (4)兩式中,可得22BxyAF（ ）都發(fā)生在自由端截面處和（ ）23 例題2 圖示一抗彎剛度為 EI 的簡支梁,在全梁上受集度為q 的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其和ABql24作業(yè)第5版6.1, 6.4c第4版6.1, 6.4c256. 4 用疊加法求彎曲變形 疊加法在線彈性小變形的條件下，得到撓曲線近似這是一個

5、線性的常微分方程。微分方程在第四章中，證明了在小變形的條件下，彎矩與外載荷成線性關系，可用疊加法求彎矩圖。設：26這是一個線性的常微分方程。撓曲線近似微分方程設：則共同作用時：27則共同作用時：即：共同作用下的撓度等于分別在M1(x) 、M2(x)單獨作用下的撓度的代數(shù)和。綜合以上討論得到：在線彈性小變形的條件下，外載荷與撓度 (力與位移)成線性關系，可用疊加法計算梁的撓度。28 疊加法的基礎要求記?。?、2、4、6、8、10。熟記簡單載荷作用下的撓度和轉角。見教材 p. 188 表6.1 。 疊加法的兩種類型(1) 載荷疊加法將載荷分解為幾個簡單載荷，分別求解后，進行疊加；(2) 變形疊加法

6、在內力不變的前提下，將梁分解(或剛化)為幾段，求出各段的變形，然后進行疊加。29例 1 已知： q , l , EI = 常數(shù)。解：求：vC , B。 分解為三個簡單載荷。30 由p. 224 表6.1 中的10 由表6.1 中的831 由p. 224 表6.1 中的10 由表6.1 中的832 由表6.1 中的8 由表6.1 中的633 由表6.1 中的6 疊加34例 2 已知： q , l , EI = 常數(shù)。解：求：wC , C。 表中沒有對應的情況。方法：湊成表中相應的情況。再分為兩種載荷。 由p. 188 表6.1 中的435再分為兩種載荷。 由p. 188 表6.1 中的4 由p.

7、 224 表6.1 中的436 由p. 188 表6.1 中的4 注意，變形后BC為直線。37所以38例 3 (書例6.5)已知：P1 , P2 , a, l, EI = 常數(shù)。解：求：vC , B。 簡化為外伸梁如圖。將AC梁分為兩個部分。簡支梁在B處的內力:39將AC梁分為兩個部分。簡支梁在B處的內力: 求 B 由p. 188 表6.1中的6 由表6.1中的8所以Q不引起變形。40所以 求 vC 由表6.1中的2C點的位移由兩部分組成：由B截面轉角引起的位移和由懸臂梁BC的變形引起的位移。41 求 vC 由表6.1中的2C點的位移由兩部分組成：由B截面轉角引起的位移和由懸臂梁BC的變形引起

8、的位移。42例 4 已知：P, l, EI, EA。解：求：vE 。 (1) 將剛架看成是剛體則AB相當于簡(2) 剛架變形支梁。 思路43(1) 將剛架看成是剛體則AB相當于簡(2) 剛架變形支梁。 求 vB(3) CD看成剛體(4) BC看成剛體44 求 vB(3) CD看成剛體(4) BC看成剛體 具體計算 對BC，由表6.1中的2 CD的壓縮變形45 具體計算 對BC，由表6.1中的2 CD的壓縮變形 CD的彎曲變形，由表6.1中的1所以，46 CD的彎曲變形，由表6.1中的1所以， 對簡支梁AB, 又:由表6.1中的847 對簡支梁AB, 又:由表6.1中的848作業(yè)6.11c6.1

9、449作業(yè)第5版6.10c第4版6.11c506. 5 簡單靜不定梁 本節(jié)討論簡單靜不定梁的求解。 例子車床上被加工的工件。計算簡圖如圖是一次靜不定問題。 基本概念 靜定基51 基本概念 靜定基將靜不定系統(tǒng)中的多余約束解除后，得到的“靜定基本系統(tǒng)”。 相當系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到受力和變形與靜不定系統(tǒng)完全相同的“相當系統(tǒng)”。 本例中 解除B處可動支座約束，得到靜定基。52 解除B處可動支座約束，得到靜定基。 在靜定基上加上P和RB, 得到相當系統(tǒng)。PRB 求B點撓度用疊加法53 在靜定基上加上P和RB, 得到相當系統(tǒng)。PRB 變形協(xié)調條件 求B點撓度用疊加法 具體計算B點撓度54 變形協(xié)調條件 具體計算B點撓度由表6.1中的3由表6.1中的2代入變形協(xié)調條件，可解出求出RB后，就可象求解靜定梁一樣求解了。55 說明靜定基不是唯一的，可有多種選法。566. 6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的措施： 梁的撓曲線微分方程為1 改善結構形式，減小彎矩值力不傳到軸上，而由箱體承受。571 改善結構形式，減小彎矩值 縮小跨度或增加約束梁受集中力作用時，撓度與跨度(l)的三次方成正比。2 選擇合理的截面形狀 彈性模量與抗彎剛度58 彈性模量與抗彎剛度抗彎剛度E