帶位移偶次方項(xiàng)非線性隨機(jī)振子在位移參數(shù)激勵(lì)下的概率解

1、帶位移偶次方項(xiàng)非線性隨機(jī)振子在位移參數(shù)鼓勵(lì)下的概率解論文導(dǎo)讀:：本文用指數(shù)多項(xiàng)式閉合或EPCExponentialPolynomial Closure法分析了具非零均值響應(yīng)的帶位移偶次方項(xiàng)非線性隨機(jī)振子在參數(shù)鼓勵(lì)下響應(yīng)的概率密度函數(shù)解。給出了求解過(guò)程并通過(guò)算例分析驗(yàn)證了指數(shù)多項(xiàng)式閉合法在此情況下的有效性。數(shù)值結(jié)果顯示，指數(shù)多項(xiàng)式閉合法得到的響應(yīng)概率密度結(jié)果與蒙特卡洛模擬的結(jié)果符合較好，尤其是在對(duì)系統(tǒng)可靠性分析起主要作用的概率密度函數(shù)尾部區(qū)域符合很好。論文關(guān)鍵詞：指數(shù)多項(xiàng)式閉合(EPC)法，F(xiàn)okker-Planck方程，非零均值，位移偶次方非線性，參數(shù)鼓勵(lì)0 引言科學(xué)和工程領(lǐng)域經(jīng)常遇到非線性隨

2、機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，所以關(guān)于非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的概率求解問(wèn)題在過(guò)去的幾十年里一直受到人們的關(guān)注和研究。通常人們只研究帶零均值響應(yīng)的系統(tǒng)。但是在系統(tǒng)含有位移偶次方非線性項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的均值非零。眾所周知，當(dāng)非線性振子受到白噪聲鼓勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度由Fokker-Planck方程控制。而求解Fokker-Planck方程是一個(gè)很具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。只有在非常嚴(yán)格的約束條件下才能得到一些穩(wěn)態(tài)的精確解論文開(kāi)題報(bào)告。目前最常用的方法是等效線性化EQL法【1】【2】。EQL的限制條件是僅適用于弱非線性系統(tǒng)建筑工程論文，因?yàn)樵谌醴蔷€性條件下系統(tǒng)的響應(yīng)接近于高斯過(guò)程。為了提高解的精度，人們提出或采用了數(shù)種方法，如隨

3、機(jī)平均法【3】【4】、Hermit多項(xiàng)式閉合法【5】、攝動(dòng)法【6】、等效非線性法、最大熵法、有限差分法【12】，有限元法【13】，指數(shù)多項(xiàng)式閉合法EPC等。隨機(jī)平均法適于帶弱阻尼和弱鼓勵(lì)的系統(tǒng)；攝動(dòng)法適于被攝動(dòng)系統(tǒng)的解的情況；等效非線性法要求系統(tǒng)在一定統(tǒng)計(jì)意義下接近某一精確解的系統(tǒng)；最大熵法需要求解一復(fù)雜的非線性方程組；有限差分法和有限元法會(huì)帶來(lái)概率密度函數(shù)尾部為負(fù)值的情況；Monte Carlo模擬法是適用性最廣的方法，但對(duì)小概率的求解問(wèn)題，它所需的計(jì)算量很大。指數(shù)多項(xiàng)式閉合法被提出之后，其有效性得到了一定程度的驗(yàn)證【14-18】。本文用指數(shù)多項(xiàng)式閉合法分析具非零均值響應(yīng)的帶位移偶次方項(xiàng)的非

4、線性隨機(jī)振子概率密度函數(shù)解，從而驗(yàn)證指數(shù)多項(xiàng)式閉合法在求解此類系統(tǒng)時(shí)的有效性。1 指數(shù)多項(xiàng)式閉合法求解過(guò)程考慮如下帶參數(shù)鼓勵(lì)的隨機(jī)非線性振子：(1)式中和是系統(tǒng)響應(yīng)的分量；和是和的非線性函數(shù)，其形式是確定的；是零均值高斯白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)為： (2) 這里表示的期望值；是Dirac函數(shù)；是相關(guān)譜密度。置建筑工程論文，式 (1) 可以表示為如下形式：(3)(4)系統(tǒng)響應(yīng)和是馬爾科夫過(guò)程，式(4)中的第二項(xiàng)是Wong-ZaiKai修正項(xiàng)。其概率密度函數(shù)解由下面的Fokker-Planck 方程控制【21】：(5)其中這里只考慮Fokker-Planck 方程的穩(wěn)態(tài)解，此時(shí)方程(5)退化為： (

5、6) 這里假設(shè)振子 (1) 的概率密度函數(shù)解在中是連續(xù)的且滿足以下要求：(7)將方程 (6) 的解表示為：(8)其中是歸一化常數(shù)，a 是有個(gè)參數(shù)的未知向量。而且(9)這是一個(gè)關(guān)于和的n階多項(xiàng)式。為了滿足條件 (7)，令(10)其中，和i=1,2是系統(tǒng)響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，是通過(guò)等效線性化法得到的；和i=1,2是常數(shù)，通常設(shè)置為4。一般來(lái)說(shuō)，由于式 (8) 只是方程 (6) 的近似解，而且a中的未知參數(shù)數(shù)量有限建筑工程論文，所以Fokker-Planck方程不能得到精確滿足。把式(8) 代人方程 (6) 后產(chǎn)生的誤差為：(11)由于，所以滿足方程 (11)解的唯一可能性就是，但是由于只是近似解，所

6、以通常論文開(kāi)題報(bào)告。在這種情況下，引入一組空間的基函數(shù)，使得在上的投影為零，即(12)這意味著如果在空間上可積且方程組 (12) 可解，那么在弱意義上滿足了Fokker-Planck方程。的表達(dá)式可以取為(13)式中和。這樣就得到個(gè)包含個(gè)未知參數(shù)的二次非線性代數(shù)方程組。數(shù)值經(jīng)驗(yàn)說(shuō)明， 可以取為等效線性化法或高斯閉合法求解得到的系統(tǒng)響應(yīng)概率密度函數(shù)，即 (14) 2 算例考慮如下帶位移偶次方項(xiàng)的非線性隨機(jī)振子：(15)式中是零均值高斯白噪聲，其中和是相互獨(dú)立的建筑工程論文，相關(guān)函數(shù)為。該系統(tǒng)的參數(shù)值設(shè)為。同時(shí)為了驗(yàn)證以上求解過(guò)程的有效性，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了蒙特卡洛模擬，模擬產(chǎn)生了個(gè)樣本來(lái)計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)

7、的概率密度函數(shù)。圖3.1位移響應(yīng)的概率密度函數(shù)比擬圖3.2位移響應(yīng)的對(duì)數(shù)概率密度函數(shù)比擬圖3.4速度響應(yīng)的對(duì)數(shù)概率密度函數(shù)比擬用EPC法且多項(xiàng)式的階數(shù)分別為2(EPC n=2和6(EPC n=6)時(shí)求得的位移概率密度函數(shù)值由圖3.1所示，同時(shí)用EPC法得到的結(jié)果與蒙特卡洛模擬MCS的結(jié)果進(jìn)行了比擬。從圖3.1中可以看出，當(dāng)用EPC法n=6時(shí)，兩種方法得到的結(jié)果符合較好。但是當(dāng)用EPC法且n=2時(shí)，EPC法得到的結(jié)果與模擬的結(jié)果偏離較大，此時(shí)的EPC結(jié)果與等效線性化結(jié)果一致。為了考察EPC所得位移概率密度函數(shù)值在尾部的情況，圖3.2中列出了位移概率密度函數(shù)的對(duì)數(shù)值?？梢钥闯鲇肊PC法n=6所得結(jié)

8、果比EPC法且n=2所得結(jié)果改善很多。圖3.3給出了速度的概率密度函數(shù)值及其比擬?？梢钥闯觯?dāng)n=6時(shí)EPC法得到的結(jié)果與模擬的結(jié)果同樣符合較好，尤其在如圖3.4所示的尾部區(qū)域論文開(kāi)題報(bào)告。從圖中也可以看出位移和速度的概率密度函數(shù)均是關(guān)于均值不對(duì)稱的。3 結(jié)論對(duì)于響應(yīng)均值非零的帶位移偶次項(xiàng)和參數(shù)鼓勵(lì)的非線性隨機(jī)振子建筑工程論文，給出了EPC法求解Fokker-Planck方程的過(guò)程。同時(shí)用EPC法得到的結(jié)果與蒙特卡洛模擬結(jié)果進(jìn)行了比擬。當(dāng)用EPC法且取二階多項(xiàng)式時(shí)，EPC方法得到的結(jié)果與等效線性化法得到的結(jié)果一致，但是與模擬的結(jié)果有著明顯的不同。當(dāng)用EPC法取六階多項(xiàng)式時(shí)，EPC方法得到的結(jié)果

9、與模擬的結(jié)果符合較好，尤其是在系統(tǒng)響應(yīng)概率密度函數(shù)的尾部區(qū)域。數(shù)值結(jié)果同時(shí)顯示，在此情況下，位移和速度的概率密度函數(shù)均是關(guān)于均值不對(duì)稱的。這說(shuō)明EPC法同樣適用于響應(yīng)均值非零的帶位移偶次項(xiàng)的非線性隨機(jī)振子在參數(shù)鼓勵(lì)下的響應(yīng)概率密度函數(shù)求解問(wèn)題。參考文獻(xiàn)【1】Booton R C. Nonlinear control systems with random inputs. IRE Trans. CircuitTheory, 1954, CT1. 1: 9-19.【2】Roberts J B,Spanos P D. Stochastic averaging: an approximate meth

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