單變量-卡方分布

1、1 第二章 卡方分布及正態(tài)總體方差的推斷第一節(jié) 卡方分布一、數(shù)學(xué)形式1.定義 設(shè)隨機變量X1，X2，Xk，相互獨立，且都服從同一的正態(tài)分布N (，2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃藴收龖B(tài)變量Z1，Z2，Zk，k個獨立標準正態(tài)變量的平方和被定義為卡方（2 ）。 我們把隨機變量2 的概率分布稱為2 分布，其概率密度記作 。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨立變量的個數(shù)。 12、理解卡方分布是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布。實質(zhì)：以Z分數(shù)測量的變量，將其值平方并加總后形成的概率分布。（若干個Z變量的平方和）自由度（ ）：Z變量的個數(shù)卡方分布與Z分布關(guān)系：Z值=自由度為1的卡方值的平方根 Z=2

2、;1df234二、卡方分布的性質(zhì)（1）右偏性。（2）漸近性。隨著自度由的增加，圖形漸趨對稱。當自由度逐漸變大時，卡方分布會趨近于正態(tài)分布。（3）恒正性。因為其值經(jīng)過平方，所以卡方值都是正值，沒有負值。（4）自由性?？ǚ椒植既Q于自由度k，每一個可能的自由度對應(yīng)一個具體的卡方分布。分布由正態(tài)分布導(dǎo)出，但它之所以與正態(tài)分布的參數(shù)和無關(guān)，是因為標準正態(tài)變量Z與原來的參數(shù)無關(guān)?？ǚ椒植嫉钠谕?是自由度k，方差為2k。（5）可加性。45 注意 寫法的含義：它表示自由度為k的卡方分布，當其分布函數(shù) 時，其隨機變量 2的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設(shè)檢驗中，它表示在顯著性水平上卡方分布隨機變量 2的臨

3、界值。 三、卡方分位點 關(guān)于卡方分布的分布函數(shù)，附表7對不同的自由度k及不同的臨界概率(01)，給出了滿足下面概率式的 （K） 的值(參見圖)。520.1;8=13.362020.05;8=15.5070表示當一個卡方變量有8個自由度，卡方值超過13.3620的概率（）為0.1，超過15.5070的概率（）為0.05。62分布分為點的求法2分布分為點的求法：對于n45的分為點可查表求得；當n充分大（n45）時，近似地有 其中u為標準正態(tài)分布上的分為點7 例2 已知k5，（5）15，求臨界概率。解 查卡方分布表，在表中自由度為5的橫行中找到與15最接近的數(shù)值是15086，得到的近似值為001。由

4、此可知P（0.01；5）0.018例3:解:99第二節(jié) 正態(tài)總體的樣本方差分布定理及其推斷一、樣本方差分布定理 定理內(nèi)容：在正態(tài)總體中，所有可能樣本的方差分布服從卡方分布。換句話說，正態(tài)總體中樣本方差與總體方差之比服從卡方分布。或式中：2代表總體方差，自由度為nl。10例 由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機樣本，已知26，求樣本方差S 2在3.3到8.7之間的概率。11二、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 由2分布的性質(zhì)，我們知道有 因此，對于給定的置信水平 1，總體方差的區(qū)間估計為 12 例 研究者調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入情況，現(xiàn)隨機抽查了10戶，得到樣本方差為S200(元2)，試以90的置信水平估計居民總體家庭收入之方差的置信區(qū)間。 13三、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗例：某研究人員為了證實六級小學(xué)生智商的標準差是小于15的。