《數(shù)學(xué)物理方程》第三版習(xí)題答案

1、2數(shù)理方程與特殊函數(shù)（第三版）第一章（定解問(wèn)題）1-長(zhǎng)為$的均勻桿，側(cè)面絕緣-一端溫度為零另一端有恒定熱流g進(jìn)入（即單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位截面積流入的熱量為q，桿的初始溫度分布是Md工）JJJill2試寫出相應(yīng)的定解問(wèn)題。r解見(jiàn)圖1-8該問(wèn)題是一維熱傳導(dǎo)方程，初始條件題中已給出，為22U(J7f0)=I2壬)(0jtgZ)現(xiàn)考慮邊值條件設(shè)在丁=0這個(gè)端點(diǎn)處溫度為0,則有0眈（0M）=0（t0）另一端（工=o處再恒定的熱流q進(jìn)人桿內(nèi)9由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律在邊界曲面工;上有一左西3其中弘為沿邊界外法向的熱流強(qiáng)度y在”=Z端,邊界外法向就是工軸的正向，而現(xiàn)在熱量是流人桿內(nèi)，表明熱流方向與工軸正向相反故有jd

2、u=一QdxduBXr=t綜上所述相應(yīng)的定解問(wèn)題為一a嘰=0(00)jM(0*r)0fu(Zi)=學(xué)K心O)=血二1汽長(zhǎng)為上的弦兩端固定，開(kāi)始時(shí)在工受到?jīng)_量矗的作用，試寫出相應(yīng)的定解問(wèn)題口解該問(wèn)題為一維弦振動(dòng)問(wèn)題邊界條件是顯然的4由于弦兩端固定，所以在這兩點(diǎn)處位移為零級(jí)即（02/（/“=0現(xiàn)考慮初始條件當(dāng)沖量左作用于工=廠處時(shí)T就相當(dāng)于在這點(diǎn)給出了一個(gè)初速度，我們考慮以點(diǎn)為中心，長(zhǎng)為為的一小段弦+撈，設(shè)弦屋均勻的，其線密度為力則這一小段弦的質(zhì)量為2旳、受沖擊時(shí)速度為隔（心0由動(dòng)量定理得在這個(gè)小段外-初速度仍為零我們想得到的是T=r處受到?jīng)_舌的初速度所以最后還要令0=此外，弦是沒(méi)有初位移的，即叭

3、工=4于是初始條件為（.T,0）=0rc,IJTC|理（jo。）=彳矗（占0）加I-dN有一均勻桿+只要桿中任一小段有縱向位移或速度紋必導(dǎo)致鄰段的壓縮或伸長(zhǎng)這種伸縮傳幵去，就有縱波沿著桿傳播；試推導(dǎo)桿的縱振動(dòng)方程口:-,_J戶（工3P卜P（x十dtf）S_一一一_fJ解如圖1-9所示取桿長(zhǎng)方向?yàn)閬A軸正向-垂直于桿長(zhǎng)方向的各截面均用它的平衡位置才標(biāo)記在時(shí)刻仁此截面相對(duì)于平衡位置的位移為譏宀兒我們考查桿內(nèi)一小段（心工+clR的振動(dòng)情況，通過(guò)截面，這-小段杵受到彈性力為PS其中PS0為單位面積所受的彈性力，即應(yīng)力。規(guī)定沿軸方向?yàn)檎ㄟ^(guò)截面丁卜d上受到的彈性力為FG+d丹S.對(duì)這一小段應(yīng)用牛頓第二定

4、律于是有dm=P（工十壯設(shè)桿的密度為宀則亦1=閃（1小上式化為又k+dr點(diǎn)處的位移譏工+ckr=譏血=比（工，）+cljr3、r此小段（上*工+1工）的伸長(zhǎng)壓縮）為學(xué)其相對(duì)伸長(zhǎng)（壓縮）為clr宇即蘭點(diǎn)處的應(yīng)變?yōu)樽重皟喝袈匀ゴ怪睏U長(zhǎng)方向的形變，根據(jù)d.rdrHooke定律丁應(yīng)力與應(yīng)變宇成正比，即F=E西dr比例系數(shù)E稱為桿的楊氏模量，故所求的縱振動(dòng)方程為a.其中=r=&心一均勻桿原長(zhǎng)為仁一端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長(zhǎng)空而靜止突然放手任其振動(dòng)，試建立振動(dòng)方程與定解條件。解該問(wèn)題為桿的縱振動(dòng)問(wèn)題，由題答已知桿的縱振動(dòng)方程為型=a2（00）苛a工桿的一端固定T設(shè)此端為=0處，則有eAOM）q0a

5、另一端a土Z）放手后就為自由端，也就是在振功過(guò)程中不受外力作用，故有邊值條件已經(jīng)確定下面考慮初始條件口由于弦初始時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，即初速度為山故ga=On而在=0時(shí)*整個(gè)桿被縱向拉歩則單位桿長(zhǎng)的伸長(zhǎng)為亍故丁點(diǎn)處的伸長(zhǎng)為千上即U(.TT0=22初邊值條件都已確定，也就得到了該振動(dòng)的定解問(wèn)題fdu二B嚴(yán)u(Cji)=0丁ur(iTt)=0誣乂，0）=工丫Ut（.r,0）=05-若F5Ga）是任意兩個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù)-驗(yàn)證uF（/r+皿）+&（at）滿足方程器7.診解有所以于是作自變量代換=工十皿可=K曲丫由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3u_/3wQu、Qu3mISic_acj.f3/9?3?aq也=/（邑2空

6、+空&t2af2咖可臼于=0%i2才肚i序肚a*a學(xué)矢3平m鏟題中所給函數(shù)-FQ+么）+GG加），經(jīng)過(guò)變量代換后22即為=F（0+G（必驗(yàn)證其是否滿足方程弟一L謬=0轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證其是否滿足霧匕0.由于F均為二次連續(xù)可微函數(shù)亨形為盤=F(f)hG(7f)的函a2u=0,也即=F（b十皿十GCt-q）滿足方程6.驗(yàn)證線性齊次方程的疊原理，即若血a*/宀jA+2B+C&+D竽+E竽+H=03工dy冷（工）均為線性二階齊次方程2的解號(hào)其中A.B.C.D.E.F都是工心的函數(shù)，而且級(jí)數(shù)=門虬（如，）收斂，其中cSi=1,2,）為任意常數(shù)，并對(duì)工小可以22逐項(xiàng)微分兩次，求證w=另陽(yáng)心仍是原方程的解。f=l證

7、朋令A(yù)嘉+2B懸+C壽+唸+喙+凡故有5）的函數(shù)故L0（?=1,2,人由于其中A,B.CDEoF都只是工是線性微分算子。又由理=脫，對(duì)工,y可逐項(xiàng)微分兩次，且級(jí)數(shù)收斂則CLu=L（另昭冷0,歹）k另“L（叫）=0=!t=z所以U=W甌（孫）仍是原方程的解QEND第二章（分離變量法）unazur.r00zr0）（I）=護(hù)（9（才.0）=0（JT）孫（0昇）=OUj-Clyt）0分離變量；令打（心門X（jt）Tr）,代入泛定方程和邊22界條件，得（JT+AX=01x（0）=0,X（l）=0（3）解固有值問(wèn)題（H）：對(duì)參數(shù)入的取值情況分別討論如下：（1）當(dāng)A0,則方程紹）的解是X3=其中任意常數(shù)6皿

8、由條件（3）確定，再注意到XJ=CL廠一G廠Te故有由此解得G=GJ一AC2x/A=00，Cz=0,從而X（;r）三0,所以U（T,t）=X（）（）W0顯然零解是無(wú)意義的，排除A當(dāng)A0,方程（2）的通解為X&）=Gcg/Lr+Gsin而X（工）=Ci、ind+頂3沱0$旅r由初始條件（3）知G=0,Gsin=0而Cj必不為零否則XCr）=0,所以sin/V=0,即仮=0時(shí)，將固有值A(chǔ)代入到方程（D中得丁蔦十第二議廿離變曇法29第二議廿離變曇法292第二議廿離變曇法29第二議廿離變曇法292其通解為7（門=A.cos蘭叫+B.sin于是得滿足方程以及初始條杵的特解久+BQtIn亠妙3T.H7Z+

9、ortsm/jcosx0)第二議廿離變曇法29第二議廿離變曇法292第二議廿離變曇法29第二議廿離變曇法292疊加過(guò)程:定解問(wèn)題級(jí)數(shù)形武的解為心Q=入+臥十E（入3呂號(hào)當(dāng)十瓦鈕弓務(wù)）cos爭(zhēng)確定疊抽系數(shù)將譏工M）的表達(dá)式代入初始條件，得r“人+工Acds字丈tpdZxI)7=1LI-Bq+工BPcos=輕工)0V工V)兀pc利用Fourier余弦展開(kāi)系數(shù)得AoBcijr)djr&Brt0HTTTT第二議廿離變曇法29第二議廿離變曇法292例2-2試用分離變量法求解定解問(wèn)題%住H砥=0co.r0)(1)w(.Tf0)=護(hù)(直)山乂工，0=憐(工)化(0就=0e/(/+O=0分離變量：令叭工O=x

10、（T）rr）.代入泛宦方程和邊第二議廿離變曇法29第二議廿離變曇法292界條件，得第二章分離變量法312TOC o 1-5 h z+-oci）IX+丄天=0（2）xXo）=o7x（z）=o0時(shí)，方程（冇的通解為XH=ClCOSVaIt+GsinVXr而Xd=4XC1sinTXlr+VAC2C0SVXjt任意常數(shù)5G由條件：。確定即=0CjcosVaZ+C2sin=0由此解得G=OCcosVW=0,而Cl必不為零，否則X）所以CQSa/A/=0,即仮=佝古丄切（=0J,2,-0從而固有值人=L蔦2叮,相應(yīng)的固有函數(shù)為V,、（2刃+l）?rAn（J7J=ccos工D確定解的基本結(jié)構(gòu)：將固有值入代入

11、到方程門）中得4Z2其通解為=百g篤叫+及血左嚴(yán)僉遺樣就得到了一蔡列形如XOT3的特解.O=（A”cos丁丁1兀說(shuō)+.sin%專,）耳%jcos+（綁七學(xué)”宜耳=021（.2/1+l）7TT21疊加過(guò)程：定解問(wèn)題級(jí)數(shù)形式的解為u（J-,f）=A,cos辺f+B.sin1Jcos（2+1）7T直2Z確定疊加系數(shù)利用初始條件得E宀+6n=0IX”亠0（加+】冶實(shí)譏22=小（o2/由函數(shù)系eos（2n+1）S）在區(qū)間0,門上的正交性得LIffl=l?/、（2+1）7Tj:、丁血212卩ZJo21第二章分離變量法312(2n亠)?！皉o/r2iA.(一2er+e/)壯=00B=rrr（衍+1用例2-3

12、長(zhǎng)為/的均勻桿，兩端受壓而使桿的長(zhǎng)度縮為1（1-克幾放手后桿自由振動(dòng)求解桿的這一振動(dòng)。解譏工M）應(yīng)満足下列定解問(wèn)題=0（0J0）1/（10）一2歹+e/t叫（丁,0=0心（0畫）=0,Mj-（ZiZ）=0這顯然為例2-1的特例這里申Q）=2ar+顯，卩工）=0+則有BfJ=0第二章分離變量法312第二章分離變量法312|（一2ex-+e/）cos竽心口（富/JoI輕土12嗎込*企顯然當(dāng)觀為偶數(shù)時(shí)A二0-故令斤=2盤+1,由例1知心二1（2昇If第二章分離變量法3121-設(shè)弦的兩端固定于工=0及才幾弦的初始位稱如圖2-2所示-初速度為零，又設(shè)有外力作用求弦作橫向振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)Lu（jr,Z）*

13、如圖2-2所示弦作橫向振動(dòng)時(shí)初始條件為圖2-2少（:r第二章分離變量法312第二章分離變量法312Mt（丁弓0）=0（文）=0則M是下列定解問(wèn)】的解;第二章分離變量法312sin啤工d2仝r血竽+7IIJc2hl2sintzttc一撫p=0（OWzVZmAOi（H,O）=卩（衛(wèi)）碼工9）=中O.譏CkC=w（Z?r）=0該定解問(wèn)題的解的形式是熟知的其解為u（j）z）二-V1/人cia死兀#1口*a幵兀、-九兀-2tH-Drtsm-t；sin-,刀i宙初始條件L也（Q=0故&=0弓而由初始條件叭0）=工A弄in字z=卩D=t22第二章分離孌法昆=0所以1777TC?an3T-s-sincos-s

14、innIImt中解弦振動(dòng)方程。工*uj=0gu(三？0)云it（0昇）=mUi/）=0解心小是下列宦解問(wèn)題uaa2撫彳=0（0；jr0）峠u（.r0）=0,血（工*0=工丄一工衛(wèi)（ON）=0的解序該定解問(wèn)題級(jí)數(shù)形式的解為2AncosJJ=I+Bsin力7t由初始條件來(lái)確定系數(shù)由于LJL-=另A聲in竽疋=0wf(-*0)=5=ariir=IFTLj:(1xsinrjrdxanjtJ02aIjcsinhitrHCkrri2j;am0解uCt,/)為下列定解問(wèn)題的解：f嗎一護(hù)強(qiáng)注=00V工V1A)w(JTO)=,Ur(jr0)=汎無(wú))=i=憶(l.f)=0遠(yuǎn)里0(Q工(龍一1)該定解問(wèn)題的邊界條件

15、仍為第一類的其解的形式為aZ?。ˋGWTTIOanir.Af（A沖cosj-t+13“Junyt）sin工其中Am=2jp（j：）sinnffIzd/r=2jHsin和乳工dz+2（1一謊sinrwtKcLr=i/222第二章分離孌法22第二章分離孌法4K77VsmTmj：）sin?indx=文（1r）sinnjrrd.r=第二章分離變法65第二章分離變法65第二章分離孌法（-1）-1J所以*4u（x1=Gn罕cosaxTrf+r=l717T占Fl（1ljsinrt7T|sinnTCr4.解出習(xí)題一中第1題（參閱1.4之？題人解要求解的定解問(wèn)題為第=左薯（00）wtO=0vu（TtO）=箏（乂

16、=0丨工一ro（Izc丨的帆工）=k該邊界條件為第一類的故此定解問(wèn)題的級(jí)數(shù)形式的解為sinTOC o 1-5 h z比（工岸）=tAgcos+Bfjsin）1tJ-其中0（工）siii弓工吐=annJoZ第二章分離變法65第二章分離變法65第二章分離孌法第二章分離變法65第二章分離變法65第二章分離孌法00第二章分離孌法所以聾（工,f=-sinrm試求適合于下列初始條件及邊界條件的一維熱傳導(dǎo)方程的00第二章分離孌法=崔*0解設(shè)必丁為題設(shè)定解問(wèn)題TOC o 1-5 h z撿一?力斗=0(00)vw(t0)=一疋)ltt(0i/)=M(/rt)0的解由于邊界的解條件為第一類的其級(jí)數(shù)形式的解為w（t

17、,z）工GL（于）Win竽左fl=I1下面由初始條件確定G口由于yu（x0）=另G害in罕工00第二章分離孌法00第二章分離孌法玄（Zjt）sin警jrd2=0I2fTJ2fff-7T12卩2MTTatsinjtdr工sinjtcLt13。iZJr?Z4/2舘口-_2-所以盤（工（）=1(一l)4打兗isinxflZ解一維熱傳導(dǎo)方程，其初始條件及邊界條件為du二=F=03工“=o3jtU解依題意寫出定解問(wèn)題如下:第二章分離費(fèi)量法67第二章分離費(fèi)量法67Uj=0(0；J；Z,i0)TOC o 1-5 h zui.3：.0)=工it工(04Uj-(Z?/)=0用分離變量法求解，令譏門=XSTg代入

18、方程和邊界條件得T+asAT-0(1)V+Xt=0(2),X(0)0,Z)=0(3)由例1的討論知由式(2).(3)或構(gòu)成的固有值問(wèn)題對(duì)應(yīng)的固有值為2=遼Ajj-9相應(yīng)的固有函數(shù)為將入代人式(1)得(n=0)(n=1,2,)于是定解問(wèn)題級(jí)數(shù)形式的解為+昏gra1由初始條件知TOC o 1-5 h zCj+Cracosj=工,1=1t故有%.xcos竽Htkr嚴(yán)(-1)1/JoITV所以原定解問(wèn)題的解為cos空工撾打)=+工27(嚴(yán)一1竽凡Z=神57.根長(zhǎng)為/的細(xì)桿表面絕緣，其初始溫度分布如圖2-3所示，由=0開(kāi)始兩端溫度保持于零度寧求桿上溫度分布。第二章分離費(fèi)量法67第二章分離費(fèi)量法67解設(shè)桿

19、上溫度分布為譏疋兒依題意它滿足下列定解同題：（0VQW4（存VU”3呂/V上VO4第二章分離費(fèi)量法67第二章分離費(fèi)量法67該定解何題級(jí)數(shù)形式的解為第二章分離費(fèi)量法67第二章分離費(fèi)量法67（1其中5-7yf鼻、C_r-cit*X?7T佇Cn&卩sinrr=i上Ian2tCsinT171n-JT百遇z16An=2k）2k4-1）兀（朕+1）兀z一小丄八COS:MZ左十J4gin（巔十n27r2（ife=012）WCre代入式（1中9得f、8V2ArU2fX）=5LUfsin-y-Jt+e君b哼m%總嚴(yán)営品牛十T第二章分離費(fèi)量法67第三章(行波變換法)例3-21求下列函數(shù)的拉普拉斯變換。1時(shí)=工0)

20、為實(shí)當(dāng)數(shù))【0中a為實(shí)常數(shù)(4廣(儀為正整數(shù))5)e*sinkt,e心coski(6)fsincos倉(cāng)Ck為實(shí)常數(shù))Uft由拉普拉斯變換的定義，有sinZedi=寺jdre_edtALcx2lk(R巳$)0)同理CcosZI=護(hù)十護(hù)3)由拉普拉斯灌挾的定義號(hào)有牟4亡7曰上(4)令jTCt)=廣貝口一廣廠)=w!xyco)=./=-o所以由微分性質(zhì)=21貳盧切CtJ=嚴(yán)$tyxcs兀廣口=”匚決口一E2利用C2)的結(jié)聖:及平移性質(zhì)易得hoP十護(hù)i/ccn同理-c*r+h由彖函數(shù)旳微分性質(zhì)4#IZC/cosXar3=親:2心同理(Re(s)A0)城讓逅=CM+浄戸注本殛緒論在求拉普拉斯變換歿逆變換

21、時(shí)常用，應(yīng)熟記。注2：求函數(shù)/的拉普拉斯變換時(shí).一定零在結(jié)巣中標(biāo)明(5的崔文.域Q6)6)第二章分離費(fèi)量法673.4習(xí)題全解1求方程32u2(1)滿足邊界條件上=1=cosy(3)6)6)第二章分離費(fèi)量法676)得庠h（0）+仰（工）=工命+卩I（，+戳（1）=cosy解得他（$）=cosjy務(wù)一1+護(hù)l0）輕（工）=才（7第二章分離費(fèi)量法67S+1式（6）與（7聯(lián)立解得譏=話+斗+511+1s3sa（7（7第二章分離費(fèi)量法67取逆變換得&+x2+cosj1斗2求解波動(dòng)方程的初值問(wèn)uEdr解方法1rW（-XU）/sirur1rrHlrrsinrdr+占fdrirsindf=厶J0JrcosCj

22、rorcos（7第二章分離費(fèi)量法67（7（7第二章分離費(fèi)量法67方法2：用傅里葉變換法立（3于）蹄（工.上）亠8（7第二章分離費(fèi)量法67U3今=1）&、31衛(wèi)+3C1當(dāng)）3寺占（妙+1一（31）Jdo?+乙J_OO3-f（7第二章分離費(fèi)量法67（7（7第二章分離費(fèi)量法67fl（書）*/2rice）r2（z-f）ae策三章行渋法與釈分變換迭129策三章行渋法與釈分變換迭129第二章分離費(fèi)量法67趴*=鈣/16df=JUCJmgf令=工一鼠則e-M中8|JOOJa-CjdFw)F?(qj)結(jié)論保證。丄證明見(jiàn)本章例3-135用積分變換送解下列問(wèn)題匕丹(工0,5-0)卄1=0=1令-Fr-I0p+me

23、u（T3l）e_4rdjcJo對(duì)泛定方程關(guān)于變量工取拉普拉斯變換礙由拉普拉斯變換的定義及微分性質(zhì)，有drLa互旳=_Ju130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考4)4)第二章分離費(fèi)量法67即得du-!15J一丄=dy5解之得u(sy)=ly+c因u(s0)=片+eu(jt,0)e=chr=D+w1e_MCl$130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考4)4)第二章分離費(fèi)量法67130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考4)0fS0dj;F3dz3130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)

24、學(xué)導(dǎo)考130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考4)4)第二章分離費(fèi)量法67130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考130數(shù)學(xué)物瑾方窿與特殊雷數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考4)4)第二章分離費(fèi)量法67對(duì)式(1)兩端關(guān)于變量K取傅里葉變換，結(jié)合微分性得d2U2n辱f0其通解為時(shí)(U1hG嚴(yán)十GF對(duì)式兩端取傅里葉變換，得5)理(ohG)=Fo時(shí)，若要滿足(6)式須有G=O,gp譏3=FOJ)F同ao)e_luJv水竇+*)對(duì)式(7)取逆變換由卷積定理得譏心=歹玖川廠叮=刃餌y&)f廠Lity+z)/(r)dr丁*f2：=引2丄，、+工)ttJ-s$+(xr)7-用積分變換法解下列定解問(wèn)題：叭=E%(0J70)i=0

25、u8w_、arT-o解令w(,5)=Jdr對(duì)泛定方程關(guān)于/取拉普拉斯變換、結(jié)合微分性質(zhì)得5M(,Tr5)U(J70)au(J?,5)由初始條件得132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67看初始條件di132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67|血(0/)杞一登山=0=(/,)e_idz=UjeJdr=J0Jfls132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)

26、教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67求解d5U132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67(oi)=o衛(wèi)(r“)=5132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考132數(shù)學(xué)慟理方程與特殊屈數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第二章分離費(fèi)量法67第四章拉普拉斷方程的格林函散法1-

27、13第四章拉普拉斷方程的格林函散法1-13(4例4-9給岀二維區(qū)域n上狄里克雷問(wèn)題V臨=0在。上（廠為。的邊界）第四章（拉普拉斯和格林函數(shù)）(4.15)(4.16)(4.17)r=（p的格林函數(shù)并建立格林函數(shù)和該問(wèn)題的解之間的聯(lián)系&解從二繼調(diào)和函數(shù)的基本積分公式岀發(fā)w（M0）=In2単一比縣（1口）d5Zttjrrdnr在第二格林公式中選卍為調(diào)和函數(shù)得/duduvjr3斤dn式（416）和武（4.17）相加，得譏MJ=|(君!n十u)各+打)山(418)Jprdudnrn丄+s且&(M,M0b=0廠%Ad為區(qū)域c上狄里克雷問(wèn)題的格林畫數(shù)其中0滿足V%=0I由式（418）得式仏14）與（415）

28、的解為：(4.19)(4.20)(4.21)皿一卜執(zhí)=-4敎W4-10解圓域上的狄里克雷問(wèn)I嚴(yán)=0心+yko=（cs+y=圧）解首先給出圓域上的格林函數(shù):設(shè)曲為圓內(nèi)任一固定點(diǎn)，在甌放一單位正電荷，胚關(guān)于圓周的反演點(diǎn)記為Mtt（見(jiàn)圖4十1）即JZr叫=R2在處放電量為g的負(fù)電荷,P為球面上任一點(diǎn)，要保證球面上電勢(shì)為零必有1,q1!11口亠士n乙咒廠切尸厶血產(chǎn)所Hg需滿足廠啊Pq=r%p由sAOFM：知SqR=q=廣叫尸r口cosy設(shè)QM0與OM的方向余弦分別是（cosj和（caff9sind）,acdP因:3Gcosy=cas（0仇）=coscostfr+sirv9sin=RRIn、f_一Inx

29、/jCbSpojcosyJ虛占一2疋缺血孑+張144數(shù)學(xué)勒鋰方程與特殊函數(shù)導(dǎo)載尋學(xué)導(dǎo)考144數(shù)學(xué)勒鋰方程與特殊函數(shù)導(dǎo)載尋學(xué)導(dǎo)考(4丄2兀忖+占一20cosyp諾22(|cosy+i?4p=a1尺亠直2nR疋一2陥+加由例4-9的結(jié)果即得式(4池0)：式(4.21)式的解為預(yù)一ft&)ds=p=r-R-2/ouCosy+戸(4.22)_1_ZrJoK2_S瓦c3（0%）+肩例4-il若函數(shù)比（廿是單位圓上的調(diào)和朗數(shù)，在單位圓周上u二誠(chéng)（0為極角），問(wèn)在原點(diǎn)的值等于多少島sindS=0II解解法1由平均值公式見(jiàn)例4-6）知：1fsindsK=1w（0）=右4,4習(xí)題全解lt見(jiàn)例4-4dN見(jiàn)例4-1

30、。王見(jiàn)例4-5o乳試定文平面上的格林函數(shù)并導(dǎo)出平面上拉普拉斯方程狄里克雷問(wèn)題的解。解上半平面上拉普拉斯方程狄里克雷問(wèn)題為11(45-0(ji0)U|口=f(T)設(shè)閻（軸y）為上半平面上的任一點(diǎn)，利用格林函數(shù)的物理意義知在點(diǎn)處放一單位正電荷歩M。關(guān)干工軸的對(duì)稱點(diǎn)Mi處放一單位負(fù)電荷后上半平面上的點(diǎn)M處的電勢(shì)即為格林函數(shù)G（M,Mb）在賊處的值（見(jiàn)圖2）,即G（M中岡）二111丄一In丄3G&G1刃円JT（工一恥）+號(hào)由例49的結(jié)果即得定解問(wèn)題（I）的解為W（T0*恥）=lVjit，(4第五章（貝塞爾函數(shù)）2貝塞爾函數(shù)的遞推公式第一組：(5.1)名丄才幾（工）=丿1（工(4(4工_”幾（玄門=一才

31、一”丿_（總）(5.2)注，作為特殊情形丿寫（工）=廠匕第二組：(5.3(5.5)第三組二代嚴(yán)才兒（工門=hTfS(5.6)(4Jo（JT）靈活運(yùn)用遞椎公式是解題的關(guān)鍵.例5-1求工幾（Kde解在式（5.2）中取n=1,得-工1Jij-T1J(X)由分部積分法得prj2（jr）djr=Jj2(H)=才(工)+jtJ!(x)dJ：KjJi(j:-I-2人(Qd說(shuō)hjcJj(t)ZJoCj:)+C其中用到了式（5.3）.例5-2求Ji解解法1由（5.1）式及分部積分法得Jja）乙工工JCr)d才=j：2djr3=進(jìn)而得：Jj：4J1=1（8r兮幾&）+牡（工目一仍丿二小+心解法2由式（5.3）,式

32、（51）及分部積分法得十丿（?。?幾（工）+4卜包幾（rcLrJJJ”幾工）+4Ldj?J1工）=亠1幾(刃+4,r3J1(t)gjjr:Jt(x)djr=工幾(Q+4jh3Ji(x)一+C又由式(54)得9人(戈)=一Ji(J7)人(文)(5.9)OT計(jì)算社e_ayJiOy及方為實(shí)數(shù)兒(4(4解利用公式g幾（虹=一礦（氐）及分部積分迭得嚴(yán)(hr)cLt*當(dāng)一學(xué)fJo(fer)e_flZdoc=bDJ0Ja5.4習(xí)題全解L當(dāng)并為正整數(shù)時(shí)，討論人（Q的收斂范圍解當(dāng)就為正整數(shù)時(shí)：幾S=Z.2C1JZ十吩心十切！對(duì)取定級(jí)數(shù)通項(xiàng)為n*EmS=(l)m文2如咖2!5+7脅!第五章貝秦爪函數(shù)165第五章貝

33、秦爪函數(shù)165(4計(jì)算得lim|I=0mi腳由達(dá)朋貝爾判別法知該級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂。N寫出幾（P丿】0）沖（工）5是正整數(shù)）的級(jí)數(shù)表示式的前5項(xiàng).解由貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示式知當(dāng)為整數(shù)時(shí)：OOV（1）i（主）卄鉄=纟創(chuàng)F5+R+1八2，DOV（1）幺創(chuàng)5+4!込特別地=猗）-知訂+訐-島訐十侖少+人（工）“待尸+*猗品猗尸+寺今嚴(yán)+3-證明人i（0=0其中n二1,2,3,*-*帳！伽；花一小倚不含常數(shù)項(xiàng)，所以J2fl-l（0）=04-5丁-人(ox)=?ci(or丿=-oj(az)辛jJj(037)=?dHd_drjtJl（ar）=拭：）工山（貶）芳）第五章貝秦爪函數(shù)165第五章貝秦爪函數(shù)16

34、5(4第五章貝秦爪函數(shù)165第五章貝秦爪函數(shù)165(4乙砂(曲幾o(hù)r=ttrj(jar)第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考匕證明了=幾（叱）為方程認(rèn)V+yr+（/云n2）y=0的解&證方法1由第二組遞推公式（5-4）,式（阮5得所以d幾(or)d(ar)遷-幾）+転幾（辺門第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考一ojI(ottJwtxr)-Tyoji(ar)號(hào)丿巧(or)+j(aT)J7工又(aT)二a*1(罕)or

35、/rrrV卄】(or)=d(or)ftTaj(acr)一丹十J卄(ar所以5*=(ctr十a(chǎn)(w+1)y葉二肛一馬丿(卑)hJTEoJrrTKC)+FjHttr)=a2+瓷5+“J宀(itr)2竺Jeaz+務(wù)人仏=F3+名s代入即得一ny)=0方法2因V=aj（號(hào)=TOC o 1-5 h z352213*5(2m+11、9-1I可2譽(yù)十）少B41第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考所以烏3=SmeD（一打酬2鳥(niǎo)卄t了2卄*（27n+l）!A2十-ir(2+1)!E

36、m+1lJL第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第五章貝塞原函數(shù)167第五章貝塞原函數(shù)167166數(shù)學(xué)物理乃程與將殊關(guān)數(shù)導(dǎo)裁導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考同理可得=由遞推公式（5.4得=J（）第五章貝塞邪函數(shù)第五章貝塞邪函數(shù)168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第五章貝塞邪函數(shù)第五章貝塞邪函數(shù)168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考)第五章貝塞邪函數(shù)第五章貝塞邪函數(shù)168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第五章貝塞邪函數(shù)第五章貝塞邪函數(shù)168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考一般地，在式（5.7）中取打n*得=（1嚴(yán)仏卑幾（工廠JH-IT（i嚴(yán)息呼（）%沁）V3TX

37、OJTX取血=2,即得丿$（才）=第五章貝塞邪函數(shù)第五章貝塞邪函數(shù)168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考第五章貝塞邪函數(shù)第五章貝塞邪函數(shù)168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考LG)sin(j?t)+cos(j?ir)Okt丈工y=呂打(工)是方程yr+(lt3一2)y=0證因y=（j?）易知y=+工寺丿寺（JT）+是r斗（疋）專工勺律3+工訂篤S二呂丿倉(cāng)（文十工-紂律（工）#工-寺心）所以工亍y斗（乂）+XTJy|（JT）（Xs2）xJ（x）=n至護(hù)r亨工）+工寺（工+Q2話）打（工門因If（）滿足今階貝塞爾方程即得結(jié)論成立9試證歹=工幾（小是方程才y工護(hù)十（1十/=0的一個(gè)解n證容易計(jì)算

38、得y=人（工）+刃=（丁/=2兒Q）+W（Q所以工Vp+刃）人（工）=0168數(shù)學(xué)物理方程與特殊函敢導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考15.利用遞推公式證明：（1丿仝5=丄丿*（工）XC2）J3（.t）十3J仏（工+4丿篤（工）=0證1）由式3）知廠。（工=jm由式54兒式（5.5）得丿；（H）=丿“心X令n=1,得幾（工）=J1（Z一兀（工）JC所以J（x）=一廠丄（e）+丄丿1（工JCJC一J1（工+J?（o）+J工=J2C.r）注：當(dāng)然也可用下法求】）=JCXJ（jt）工工T丿2（才）=Ji（.r）J?x）T（2）由（1及式（5.4得J心）=兒3+2幾j）=兒3+辦.（”才川刃才2即人=2JU）+J0（x）求導(dǎo)得廠2（H=2丿Ja4-JZn（J-）在式