《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》知識點整理

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 # 概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料第一章概率論的基本概念(加法公式)對于任意兩事件E有P(A(JB)=P(A)+P(B)-P(AB).(超幾何分布)設有N件產品，其中有D件次品，今從中任取n件，其中恰有k(k0,稱P(BA)=為事件必發(fā)生的條亦榻件遲發(fā)生的條件P(Q概率.%z*；0,則有P(AB)=P(BA)P(A).5.(全概率公式)設試驗E的樣本空間為S,乂為E的事件,耳,艮二氏為遊觸金劃分，且只爲)0(z=l,25VvSmK9*AkVMMfaH%K#z/6(貝葉斯公式)設試驗E的樣本空間為S.A為E的事件，耳,B“勺為S的

2、氮企劃分，且P(Q0,P(B.)00=1,2,/),則P(引X)=卩.坯特另誕堿注:=2|P(5|A)=工Pg引p(引齊黔一P(AB)p(a)p(a|b)p(b)+p(ab)p(b)4g7.(獨立性)設兒E是兩事:伽如果滿足等式PG43)質尸3)03),則稱事件/,E相互獨立，簡稱兒E獨立.第二章隨機變及其分布*樸1.(0-1)分布)設隨機變量*寒融館酸0彗1兩個值，它的分布律是px=k=pkQ-p)i,0,1(0vp1),-r、”2.(二項分趣齟g=l_p,則翌頸分布的分布律為Px=k=、#7pym/我們稱隨機變量x服從參數(shù)為zr；pGWX、減并記為Xb(n,p)，沁幽qkc入3.(泊松分布

3、玄薄隨機變量X所有可能的值為0丄2,，而取各個值的概率為Px=k=k,k=0,1,2,其中20是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為2的泊松分布，記為X乃(2)4(泊松定理)設0是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設npn=A.則對于任一固定的非負整數(shù)上，有l(wèi)im比丿泊松定理表面，當n很人，p很小(矽=妃)時有以下近似式k)pkQ-p宀kW-D、/小一5/P=概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 # #概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 # #(其中2=np)概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南

4、財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 # #中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 -概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料(分布函數(shù))設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)F(x)=Pxx,s稱為X的分布函數(shù).(概率密度)如呆對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負可積函數(shù)/(x),使對于任意實數(shù)x有F(x)=,則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度.1,axb.(均勻分布)若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度/=估-a則稱X在區(qū)間上)上服從均勻分布,0,其他，腫鄒記為Xugb).8.(指數(shù)分布)若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為/(x)=00,FWbKAA/y/VZlno

5、其中oo為常數(shù)訂則稱x服從參數(shù)為e的其他需八曲線VW_a-莎、vv、*4、49營蠡鋁3：0)為常數(shù),LSIB、w4/0爼mwm%則稱x服從參數(shù)為“，b的正態(tài)分布或高斯分布，謖為xNg(r)八/Z夕、X的分布函數(shù)為F(x)=2je2/,特別，當“=o,b=l時稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.其概率密：J八、d”從.八、”:蔻m汨拓度和分布函數(shù)分別用w表示，即有0(x)1亠邛處，八1$%z/、彳心dt易知(-r)=l-O(x).若X則Z=B=N(0,l),f%.-，八7/V.V3b夕ywV7s若XNgcr2),則它的分布函數(shù)用(攵)前W成F(x)=pxx=P娥_“V丿對于任意區(qū)間如乃,巷戸可WX必芥

6、;絞；、心弋尸-7OOUD宀-X-、JIbJIb丿(J:p*z*xj10設隨機變星走滇有概率密度fx(x).-sxs,又設函數(shù)g(x)處處可導且恒有0(x)o(或恒有g(x)vo),.yw*AKli八A則Y=g(x)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fY(y)=W血如S，倉s其中“剛心),啊,0,其他，1概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 # #中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #-概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科110

7、1 中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #-p=maxg(-s),g(s),h(y)是g(x)的反函數(shù).第三章多維隨機變及其分布(二維隨機變量)設(X,y)是二維隨機變量,對于任意實數(shù)x,y，二元函數(shù)F(x.y)=P(Xx)C(Yy)=Pxx,Yy稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).FXXx2,y1Y概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 # #中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #-概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101概率論與

8、數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 # 中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #-4（Z=X+Y的分布）設（XX）是二維連續(xù)隨機變量，它具有概率密度了$）學則ZW歹+卩仍為連續(xù)隨機變量,8繼X8I亀71其概率密度為心+,二）=匸/（二-兒刃如或厶沖（二腳：/（兀二-刃必驟亠疇畀豔桃6.（Z=.Z=XY的分布）設（X,y）是二維進續(xù)隨機變屋，莢具有概率密度/（x,y）,則Z=jZ=XY仍為-*z、鼻5設X.Y相互獨立且X,分），Y磁近）廁遂知芒星護仍然服從正態(tài)分布，且有ZN（山+如0：+怎）r鬆臨幫It絶:経.報逾杜1-連續(xù)隨機變量，其概率密度竊癩熱力7乳二）=J|x

9、|/（X；遷）必鉄念（二）=J/（兀二）dx7.（M=maxx、N=min|輕側）設，卩是兩個相互獨立的隨機變量，他們的分布函數(shù)分別為？（x）.八.兮毬八13pH和FY（y）,則有（二）=PMWf龜X二z=PX-PY二,即有入Q=*）“）類似地,島=卩馨J=1-FN二=1-PX二Y二=1-PX二訊Y即空（二）=1-1-氏1-冷（二）*“、aa|k人*、%z%第四章隨機變的數(shù)字特征1.（常用槪率分布表）鵝縱分布畳臂參數(shù).鑼表示分布律或概率密度數(shù)學期望方差（0-1）夯邇布“、該0pl0p1Xb(n,p)px=k=上ppi,0,1,2,/npnpQ_p)幾何分布0p0X龍(2)彳上P一兄PX=上=9

10、k=0丄2，AA,均勻分布abXU,b)/(X)=1,axb,b-ci0,其他，a+b2(b-a)212正態(tài)分布“0XN(“,cr2)1_(皿2“*AKX9b指數(shù)分布80/(X)-分/=0,鞠0k其他朋FW八、f/V/v/亠、，-*斗a鼻l才*何f(y)=0,2r(斤/2)*.%Xv*$vpc堰呦:丄小u,貝他.z/cz、沁JwnIn(1)設C是常數(shù)，則有=C.(2)設X是隨機變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=(3)情況.設X,Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y)=E倖泱念.4vzv/z參這一性質可以推廣到任意有限多個隨機變量之和的A*m：:kk/丄八“JmMMfwOWl虜/(4)設X,y是相互獨

11、立的隨機變量，則有EQT)=E(X)E(Y),這一性質可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機2.(數(shù)學期墊的性質)概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理ss概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理ss概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #變量之積的情況.3.(方差的性質)w、x了(1)設C是常數(shù),則

12、有d(c)=al概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理ss概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101弄祺整理ss概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #設X是隨機變量，C是常數(shù)餐測有Q(CX)3C2D(A9,D(X+C)=D(X)(2)Cov(X.Y)X八(3)設X,w(|兩個隨機變量，則有D(X+Y)=D

13、(X)+D(y)+2(X-(x)(y-E(y)特別，若x,Y相/.q,八彳、八、s互獨立訝則fw+y)d(x)+D(y)這一性質可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況.uSb:汾;也(4)D(xy=o的充要聚件是X以概率1取常數(shù)Eg即px=E(X)=1.4(協(xié)方差、相關系數(shù))量EX-E(X)Y-E(y)稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差，記為Cov(X.Y)9即Cov(X9Y)=eX-E(X)Y-(Y).而=稱為隨機變量X與丫的相關系數(shù).5.(協(xié)方差的計算)Cov(X.X)=E(XY)E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(Y).6.(協(xié)方差的性質)Cov(X,Y)=

14、Cov(Y,X),Cov(X.X)=D(X)；Cov(ciX,bY)=abCov(X.Y),a,5為常數(shù)：Cov+X2.Y)=Cov(Xl9Y)+Cov(X2,Y)第五章大數(shù)定律及中心極限定理1.(李雅普諾夫定理)設隨機變量鳥，花，,乞，相互獨立，它們具有數(shù)學期塑和方差E(XJ=再,D(Xk)=0,世=1,2,，記図=丈of.若存在正數(shù)5,使得當“TS時，一fEXk-從嚴T0,則隨機變量之和亡母Jt=iB：i=ii=iix-以:r*w=O(x)jV2712.(棣莫列一拉普拉斯定理)設隨機變量乙(n=l,2)服從參藪為也赫flcOGpwl)的二項分布,則對于任意x,有l(wèi)imP8ynp=I-=ed

15、f=(x)5a/2ti名稱4、1統(tǒng)計量觀察值樣本(平)均值DCUWM40vyn7丄VrVR一/,-i網：一_丄Z/#八/AVgI、1=1鼻八0、八彳八疋=_丈耳nx=l樣本方差1M數(shù)MX)2-1三歩臺蠢堆感5-1/J芯噪曲一涙ki=l丿1Wl(“s-一_E(x：汀一石nx-11=1n_111=1)樣本標準差vyrz!七會5:/觀sf(兀司-yn-1樣本上礎仗(原點)7yWyy9?4三一尤，k=,2,1醪n1=1Iwcck=_yx點,k=1,2,-樣本十階中心矩埠、丫jfo刼2饞-r!&冰X40,其他.(F分布)設X77(04),Y才何且X,y相互獨立，貝IJ稱隨機變量t=-=服從自由度為/?的

16、扌分布,Y/n概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 # 概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #記為扌(/?)如2)的概率密度為h(t)=r(n+l/2)(n/2)+n)-coo,5(正態(tài)分布的樣本均值與樣本方差的分布)o,，尸a丁%*vSgSbAMS4#4m*Xy*設，X”是來自正態(tài)總體N(T)的樣本，壬是樣本均值，則有壬N(WMJ*v#、“幺黒0易*WWM1其他.W-才(拆-1);xs2相互獨立.”VrWl9WrAvV*,/比、夕夕、%/XV.第七章參數(shù)估計i.(

17、估計量的評選標準)設x“x”、x“是總體龍的g是包含在總體x的分布中的待估參數(shù)，這里jffjgggggfjf/;:：.:hnJhWC；y；歸v：.冗繪-x(l)無偏性:若估計量O=0%Xj、Xn)的數(shù)學期s；f(0存在，且對于任意6g0有E=則稱是。的是&的取值范闈。無偏估計量。OjOn,wrzwr.、*aVAk%ZZ#*L)D(e,當ms時，0lX“X”、Xn)依概率%W:八心他煖沏IIc收斂戈歲,則稱。為0的相令估計量。即若對于任意6g都滿足：對于任意0,有l(wèi)imP|、*#ZSVZ/是&的相合估計童。v.MvwbgYvM4V&rM4yfWpWyc#盤.$=1,則稱8待估參數(shù)彖其他參數(shù)樞軸量

18、的分布置信區(qū)間個正態(tài)總體11“器.CT2己知7=T7=(0,1)(X+”)嚴灰昭丿“/未知心諾噸“)任土討7)0CT“未知宀(V匚才(Tr(n-l)S，(n-l)S2)1爲2(Tf旳一1)丿2.(IE態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間)概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 # 概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101 #概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南

19、財經政法大學統(tǒng)數(shù)學院信科1101陳弄祺整理 #于，&己知Z=X：_(A_d)N(0,l)for、空+空Vn2壬-歹二昭均未知&3仏未知f=W-wVnin2/oX21S：1+Mi丿一11跨/S；of/另F（l_1，2_1）2匚鬆(-1-1)H酣/血-1,-1)丿:乞:第八章假設檢驗1.（正態(tài)總體均值、方差的檢驗法（顯著性水平為a）mam2*越沁序號原假設禺(72已知)“如冬3亠夕/z/.F“驚；揭瞬/=K卜、。、/S心未知）醺，宓wZ-XAz#鳥耳一“2=/、丫、rc（07：恣仍已矢）y/*-5b_ba二-亠衛(wèi)-1)tza/2耳-心5耳-仏v山_山豐6H(M)d厲一1側1丿E1（冬丿概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料中南財經政