挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題-平行四邊形存在性問題

1、322教師:日學(xué)生:時間：2017年月課題內(nèi)容平行四邊形存在性問題專題攻略、解平行四邊形的存在性問題一般分三個步驟第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計算二、難點在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，尋找恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，可以使得解的個數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計算又準(zhǔn)又快.三、如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點.四、如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況靈活運用向量和中心對稱的性質(zhì)，可以使得解題簡便.例1如圖，拋物線:典型例題與x軸交于A、B(A在B左側(cè))，A(-1,0)、

2、B(3,2yx2x20),頂點為C(1，-2)求過A、B、C三點的圓的半徑.(2)在拋物線上找點P,在y軸上找點E,使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P、E的坐標(biāo).vA(-1,0)、B(3,0)、C(1,-2),二AB=3-(-1)=4,AC=：1丄2，BC=：1|=2：，AB2=16,AC2+BC2=8+8=16,AB2=AC2+BC2，二ABC是直角三角形，AB是直徑，故半徑為2;3.2_2,或y壬2+4當(dāng)AB是平行四邊形的邊時，PE=AB=4，且點P、E的縱坐標(biāo)相等,.點P的橫坐標(biāo)為4或-4,二y42-4-)、E2(0,點P、E的坐標(biāo)為Pi(4,_)、Ei(0,如圖，當(dāng)A

3、B是平行四邊形的對角線時，PE平分AB,PE與x軸的交點坐標(biāo)D(1,0),過點P作PF丄AB，則OD=FD，點F的坐標(biāo)為(2,0),二點P的橫坐標(biāo)為2,y22-2_色：2)或P2(4,點P的縱坐標(biāo)為2綜上所述，點P、E的坐標(biāo)為：Pi(4,丄)、Ei(0,二)或P2(-4,，點P、E的坐標(biāo)為P3(2,-二)、E3(0,亠)，2L2)、E2(0,)或P3(2,-)、E3(0,).例2.將拋物線沿ci：y=-V3x2Ws沿X軸翻折，得拋物線C2,如圖所示.請直接寫出拋物線C2的表達式.現(xiàn)將拋物線Ci向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A,B;將拋物線C2向

4、右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D,E.當(dāng)B,D是線段AE的三等分點時，求m的值；在平移過程中，是否存在以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.方法一：根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線C2的表達式；AD=AE時，當(dāng)BDAE時兩種情況討論求出拋物線ci與X軸的兩個交點坐標(biāo)，分當(dāng)求解；存在.理由：連接AN,NE,EM,MA.根據(jù)矩形的判定即可得出.方法二:求出翻折后拋物線頂點坐標(biāo)，并求出拋物線表達式.拋物線ci平移m個單位長度后，求出點A,B,D,E的坐標(biāo)，并分類討論點B在點D左側(cè)和右側(cè)的兩種情況，進而求出

5、m的值.以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，貝UAN丄EN,利用黃金法則二，可求出m的值.解：(1)y=:x2-_;.(2)令-/jx2+越=0,得x1=1,X2=1則拋物線C1與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(-1,0),(1,0).A(1m,0),B(1m,0).同理可得：D(1+m,0),E(1+m,0).時，(1+m)(1m)(1+m)(1m),當(dāng)AD=當(dāng)BD=時，(1-m)(1+m)故當(dāng)B,D是線段AE的三等分點時,或2.丄(1+m)(1m)，二m=2.存在.理由：連接AN,NE,EM,MA.依題意可得：M(-m,街)，N(m,-礦).即M,N關(guān)于原點O對稱，二OM=ON.A(1m,0),

6、E(1+m,0),二A,E關(guān)于原點O對稱，二OA=OE四邊形ANEM為平行四邊形.AM2=(m1+m)2+(.；)2=4,ME2=(1+m+m)2+(；)2=4m2+4m+4,AE2=(1+m+1+m)2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，貝U4+4m2+4m+4=4m2+8m+4,.m=1,此時AME是直角三角形，且/AME=90.當(dāng)m=1時，以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形.方法二：略，拋物線C1：y=-一:；x2+_與x軸的兩個交點為(-1,0),(1,0),頂點為(0,)，拋物線C2:y=W3x2-需，與x軸的兩個交點也為(-1,0),(1,0),頂點為(0,),拋物線

7、C1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標(biāo)為(-m,；),與x軸的兩個交點為A(1m,0)、B(1m,0),AB=2,拋物線C2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標(biāo)為(m,-；),與x軸的兩個交點為D(1+m,0)、E(1+m,0),二AE=(1+m)(1m)=2(1+m),B、D是線段AE的三等分點，有兩種情況.1、B在D的左側(cè)，AB=AE=2,AE=6,32(1+m)=6,m=2,2、B在D的右側(cè)，AB=AE=2,AE=3,32(1+m)=3,m=丄.(3)若A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，A(-1-m,0),E(1+m,0),N(m,;)、M(-m,;)，點A,E關(guān)于原點對稱，點N,M

8、關(guān)于原點對稱，A、N、E、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則AN丄EN,KanKen=-1,A(-1-m,0),E(1+m,0),N(m,-Jj),“廠廠十1=1,T-df1+in-mm=1.強化訓(xùn)練1.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與y軸交于點A(0,1),過點A的直線與拋物線交于另一點B(3,|),過點B作BC丄x軸，垂足為C.點P是x軸正半軸上的一動點，過點P作PN丄x軸,交直線AB于點M，交拋物線于點N，設(shè)0P的長度為m.求拋物線的解析式；當(dāng)點P在線段OC上(不與點O、C重合)時，試用含m的代數(shù)式表示線段PM的長度;連結(jié)CM,BN，當(dāng)m為何值時，以B、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊

9、形?解：(1)v拋物線y=-:斗畑3令拋物線的解析式為y=x2+bx+c經(jīng)過A(0,.17,171)和點B(3,專)，(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k0,-A(0,1),B(3,丄)，旦壷直線AB的解析式為y=x+1.PN丄x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N,OP=m,二P(m,0),M(m,二m+1),PM=2m+1；22由題意可得：N(m,-丄m2+m+1),44MN/BC,當(dāng)MN=BC時,當(dāng)點P在線段OC上時，MN=-四邊形BCMN為平行四邊形,JLm2+-4-m，又BC丄,.-!_m2+m=,442解得m1=1,m2=2；當(dāng)點P在線段OC的延長線上時,MN*產(chǎn)中2兒m=4

10、解得mi=(不合題意，舍去)，m2-1綜上所述，當(dāng)m的值為1或2或時，以B、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.W1722.如圖，已知二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A(-1,0),B(4,0),C(2,-6)三點.求該二次函數(shù)的解析式；點G是線段AC上的動點(點G與線段AC的端點不重合)，若ABG與厶ABC相似，求點G的坐標(biāo)；設(shè)圖象M的對稱軸為I，點D(m,n)(-1vmv2)是圖象M上一動點，當(dāng)ACD的面積為二-時，點D關(guān)于I的對稱點為E,能否在圖象M和I上分別找到點P、Q,使得以點D、E、OP、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.【解答】解：v二次函數(shù)的圖象M經(jīng)

11、過A(-1,0),B(4,0)兩點,可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-4).二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過C(2,-6)點，-6=a(2+1)(2-4)，解得a=1.二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)(x-4),即卩y=x2-3x-4.2，（2）設(shè)直線AC的解析式為y=sx+t，把A、C坐標(biāo)代入可得s=-23線段AC的解析式為y=-2x-2,設(shè)點G的坐標(biāo)為（k,-2k-2）.G與C點不重合,ABG與厶ABC相似只有AGBsAABC種情況.亠=ABABACAB=5,AC=,-.i=3n,AG=；:|k+1|,-1J553a/5（3）能理由如下:,|k+1|丄k=_或k=-（舍去），點G的坐標(biāo)為（善

12、，-孕）.JrJ如圖，過D點作x軸的垂線交AC于點H,D(m,n)(-1vmv2),H(m,m2-3m-4).-2m-2).v點D(m,n)在圖象M上,278-2m-2-(m2-3m-4)(m+1)D(,2的面積為+(2-m)=27,即4m24m+1=0,解得mf.普).y=x2-3x-4=(x-二)254，圖象點D關(guān)于I的對稱點為E,E（,M的對稱軸I為x=7-L；2214=2,若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，有兩種情況:當(dāng)DE為邊時，則有PQ/DE且PQ=DE=2.占.小、占.小、占.小、P的橫坐標(biāo)為2+2=丄或？-2=-|J.=厶）或（一，-丁）；2P的縱坐標(biāo)為（-二）P

13、的坐標(biāo)為（一，25T丄，-匚）或丄，十）或（3.已知直線y=kx+b（k工0過點F（0,1）,與拋物線y氣X2相交于B、C兩點.當(dāng)DE為對角線時，則可知P點為拋物線的頂點，即P（綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（）；254).2（1）如圖1,當(dāng)點C的橫坐標(biāo)為1時，求直線BC的解析式;（2）在（1）的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2,設(shè)B（m.n）（mv0），過點E（0.-1）的直線I/x軸，BR丄I于R，CS丄I于S，連接FR

14、、FS.試判斷RFS的形狀，并說明理由.解：（1）又直線因為點C在拋物線上，所以C（1,丄），4rb=l1BC過C、F兩點，故得方程組:所以直線BC的解析式為：y=-x+1;4（2）要使以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形，貝UMD=OF，如圖1所示,設(shè)M(x,-3x+1)，貝UD(x，丄x4tx2|=1,由MD=OF，可得|-x+1-訂x2=1時，解得X1=0（舍）或X1=-3,所以M當(dāng)-亍+1-:2),vMD/y軸，二MD=-2x+1-x2,4(-3,),42|-3+V41IH-3V41r所以M廠，?。┗騇（28綜上所述，存在這樣的點M，使以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形,

15、-3/41|1743V41當(dāng)-x+1-x2,=-1時，解得,x=），M點坐標(biāo)為（-3,丄一）或（）或（-3+V4117_3V418（3）過點F作FT丄BR于點T,如圖2所示，點B（m，n）在拋物線上，二m2=4n,在RtABTF中,BF=.|T，=.：-；F=-=.H1i,）；n0,二BF=n+1,又tBR=n+1，二BF=BR.a/BRF=ZBFR，又tBR丄I,EF丄I,BR/EF,a/BRF=/RFE,a/RFE=/BFR,同理可得/EFS=/CFS,a/RFS丄/BFC=90,2RFS是直角三角形.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a(x+1)2-3與x軸交于A,B兩點(點A在

16、點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0,-匸)，頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線I交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側(cè).求a的值及點A，B的坐標(biāo)；當(dāng)直線I將四邊形ABCD分為面積比為3:7的兩部分時，求直線I的函數(shù)表達式；當(dāng)點P位于第二象限時，設(shè)PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.解：(1)v拋物線與y軸交于點C(0，-).8當(dāng)y=0時，有(x+1)a_3=，解得:3一y=x+1)2-323=0,二X1=2,X2=4,二A(4，0)，B(2，0).馬)，D(1，3)(k)x-k=0,點M是線段PQ的中點,

17、(2)vA(4,0)，B(2,0)，C(0,-S四邊形abcd=Saadh+S梯形ocdh+Saboc$喝(尋+3)XI從面積分析知，直線I只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況:當(dāng)直線l邊AD相交與點M1時，貝USg中丄X10=3,知山J%10VX(yJ=3y%=2,點M1(-2,2),過點H(-1,0)和M1(-2,2)的直線l的解析式為y=2x+2.當(dāng)直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2(,-2),過點H(-1,0)和M2(丄，-2)的直線l的解析式為y=-尋x尋.綜上所述：直線l的函數(shù)表達式為y=2x+2或y=x-二.i-J(3)設(shè)P(X1,y1)、Q(x2,y2)且過點H(-1

18、,0)的直線PQ的解析式為y=kx+b,k+b=0,.b=k,y=kx+k.2X1+x2=2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k,由中點坐標(biāo)公式的點M(k1,k2).假設(shè)存在這樣的N點如圖，直線DN/PQ,設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k3由丿1228,解得：X1=1,X2=3k1,二N(3k1,3k23)產(chǎn)亍與工虧3215四邊形DMPN是菱形，二DN=DM,二（3k）2+（3k2）2=（二）2+（二一：）2,整理得：3k4k2-4=0,vk2+10,二3k24=0,解得k=,3kv0,Ak=-墮，P（奶1,6）,M（31,2）,N（們1,1）3PM=DN=2一:,PM/DN，二四

19、邊形DMPN是平行四邊形，vDM=DN，二四邊形DMPN為菱形，以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標(biāo)為（-2二1,1）.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（-1,4）,且與直線y=寺x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC丄x軸，垂足為點C（3,0）.（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP丄x軸，垂足為點P,交AB于點M，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標(biāo).方法一:解：（1）由直線y=x+1可知A(0,1),B(3,又點（-1,

20、4）經(jīng)過二次函數(shù),e=l根據(jù)題意得:_59a-3b+c=_r-ta-b+?=4解得:5,17yLC=1,則二次函數(shù)的解析式是：y=-x+1；(2)設(shè)N(x,-x+1),52x24則M(x,-寺x+1),P(x,0).MN=PNPM=x+1-(-丄x+1)=154x=x254)V,則當(dāng)x=-一時，MN的最大值為一;21o（3）連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分,即四邊形BCMN是菱形，則MN=BC，且BC=MC,即-52Ix|2x卞，且(-萬x+1)+(x+3)2二站一Z，解x2+3x+2=0，得：x=-1或x=-2(舍去).故當(dāng)N(-1,4)時，BM和NC互相垂直平分.方法二:(1)略.(2)設(shè)N(t,-f)，M(t,),MN=NYMY=當(dāng)t=-時，MN有最大值，MN=W+導(dǎo)-1,_l_T?若BM與NC相互垂直平分，則四邊形B