斜面上任意拋射的最佳拋射角

1、 斜面上任意拋射的最佳拋射角作者：中國龍loong-yyc摘要:對斜面上任意拋射的最佳拋射角和射程計算公式進行了推導.關(guān)鍵詞:最佳拋射角;射程中圖分類號:0313.1文獻標識碼:A文章編號：1000-0712（2008）05-0012-03教科書和教學雜志曾對最佳拋射問題作了詳盡的研究，本文探討了在斜面上任意拋射的最佳拋射角及射程的計算方法.1斜邊上拋物體的最佳拋射角-有一個與水平方向成e角的斜邊，見圖1用初速度v0在斜邊上某一處沿斜邊上升方向出拋物體，要使物體落在斜邊上距離拋射點最遠的地方，拋射角a（拋射方向與斜邊間的夾角）應為多大?物體拋出后沿著拋物線運動，拋物線與斜邊的交點A即為物體的落

2、地點.若拋射點為0,OA之長s就是物體沿斜邊的射程，使s最大的角度a即為最佳拋射角取0點為坐標原點，水平方向為x方向，豎直方向為y方向，建立直角坐標系0 xy.物體沿兩方向的運動方程為x=vcos(a+0)t0V1y=vsin(a+0)t一一gt202(2)式（1）、（2）聯(lián)立消去t，得物體運動的軌道方程，y二xtan（a+0）-gX2v2cos2（a+0）0直線0A的方程為y=xtan0A點是拋物線和直線的交點，其坐標值可由式（3）、（4）聯(lián)立解出:(3)(4)xtan0二xtan(a+0)gx22v2cos2(a+0)0所以x=tanQ+0)-tan02vQcos2(a+0)物體沿斜邊的射

3、程為s=.x2+y2=x2+(xtan0)2=xv1+tan20=tan(a+0)一tan0叫V1+tan20=2V2-1+tan20tan(a+0)-tan0cos2(a+0)=V2-1+響0sin(2a+0)-sin0ggcos0(5)2 ）/2,a等于豎直其中V、0、g為常數(shù)，a為變量.顯然，2a+0=900時s最大.此時，a=（9Oo-00線與斜邊間夾角的一半.因為1cos00,1+tan20cose0，據(jù)此得最佳拋射角所對應的最大射程為s-V2料1+吮0sin(2a+0)-sin0-gcos0v20(1sin0)gcos20v20_g11+sin0(6)若拋射者從斜邊的上部向斜邊下降

4、方向拋出物體（見圖2.坐標系oxy如圖中所示），則物體沿兩方向的運動方程為xvcos(a0)t0V1yvsin(a0)t一一gt2I02(7)(8)式（7）、（8）聯(lián)立消去t,得物體運動的軌道方程gx2yxtan(a一0)一2v2cos2(a一0)0(9)直線OA的方程為y二一xtan0(10)A點是拋物線和直線的交點,其坐標值可由式9）、（10）聯(lián)立解出:所以gx2xtan0 xtan(a一0)2v2cos2(a一0)0 x-tan(a0)+tan0g0cos2(a0)g經(jīng)計算,物體沿斜邊的射程為s-V0*1+論0sin(2a0)+sin0gcos0顯然，2a-0=900時s最大，此時，a=

5、（90。+6）/2=（45/2）,a等于直角與斜邊傾角之和的一半.據(jù)此得最佳拋射角為0a二45o+(11) 所對應的最大射程為v2v21s二0(1+Sin0)二0-(12)gcos20g1一sin02斜面上拋物體的最佳拋射角若不是在斜邊上拋射物體,而是在斜面上沿任意方向拋射,其最佳拋射角和對應的射程如何？不失一般性，研究拋體向斜上方拋射.以拋射點為原點建立如圖3所示的坐標系oxyz,oxy平面為水平面,物體初速度與其運動平面和斜面交線的夾角為拋射角，該交線與水平面的夾角為6,物體運動平面與x軸夾角(稱水平方位角)為0,物體落地點為A,射程為s.聯(lián)立此3式解得=arctantan0V1+tan2

6、p=arctan(tan0cosp)由上面的結(jié)論不難得出，本次拋射的最佳拋射角為(13)(14)1a=450-arctan(tan0cosp)V21對應的最大射程為s=o-g1+sinarctan(tan0cosp)顯然,式(13)、(14)適用于0在90。范圍之內(nèi)變化的情形(一90。即2700)可以看出，當0在90。2700范圍內(nèi)變化時此二式仍然成立，這時cos00.所以，這二式即為在斜面上沿任意方位拋射時的最佳拋射角和射程的計算公式.它們與方位角0有關(guān)，還與斜面最大傾角6有關(guān)當0=900和0=2700時，相當于在水平面上拋射；當0=00和0=1800時，分別相當于沿斜邊上升方向和沿斜邊下降

7、方向拋射.3例子下面舉例并列表說明式(13)、(14)的應用.設斜面傾角6=300，一人在斜面上以v=20m/s的速率拋射0物體，應用式(13)和式(14)，計算0=一63.450,0=1500,0=00,0=900和0=1800的最佳拋射角及其射程，數(shù)據(jù)如表1所示.P/(0)a/(s/m-63.4537.76532.6615058.2873.8403027.21904540.821806081.63計算結(jié)果表明，對于不同的0，有不同的最佳拋射角其中，0=1800時最佳拋射角15)16)二450+2對應的最大射程V21s二0-g1sin0顯然，在具有相同vo的最佳拋射中，此射程是數(shù)值最大者.亦即0=1800,a=45o+e/2是最佳拋射角中的最佳者.參考文獻：嚴導淦.物理學M.北京：高等教育出版社，2003.李椿，夏學江大學物理M.北京：高等教育出版社，1997.程守洙，江之永.普通物理學M.北京：高等教育出版社，1985.OptimalthrowangleofarbitarilythrowontheinclinedplaneAbstract:Optima