2022年二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)教案 1 教學(xué)目標(biāo) 1把握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),并會(huì)應(yīng)用其解決一些簡潔問題2培育同學(xué)觀看、歸納、發(fā)覺的才能以及分析問題與解決問題的才能3培育同學(xué)從特別到一般、從一般到特別的認(rèn)知才能教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)過程設(shè)計(jì) 師：二項(xiàng)式定理的內(nèi)容是什么？老師板書 師：上一節(jié)課,我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何將二項(xiàng)式綻開及求綻開式中指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的方法今日, 我們來討論一下二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是誰？共有多少個(gè)？師：要討論它的一般規(guī)律,我們先通過楊輝三角看看n 為特別值時(shí), 二項(xiàng)綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？出示幻燈片,內(nèi)容如下從特別到一

2、般的思想由此引發(fā)楊輝三角：引導(dǎo)同學(xué)猜想,猜想是發(fā)覺的開頭 生：第一項(xiàng)與第末項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等誘導(dǎo)一下 師：這位同學(xué)找的是等量關(guān)系,是否完善呢？用筆尖指楊輝三角中的二項(xiàng)式系數(shù)生：其次項(xiàng)與倒數(shù)其次項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,第三項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 師：你能把你的想法概括成一句話嗎？名師精編 優(yōu)秀教案生： 師：在討論等差數(shù)列性質(zhì)時(shí),我們也發(fā)覺了首末兩項(xiàng),其次項(xiàng)與倒數(shù)其次項(xiàng), 它們和相等的規(guī)律,當(dāng)時(shí)我們使用了什么術(shù)語呢？同學(xué)頓悟 生：在二項(xiàng)綻開式中,與首末兩端“ 等距” 的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等師：有肯定理由,當(dāng) n 取 16 時(shí),均可驗(yàn)證此規(guī)律正確,但假如就確定它正確,未免太草率誰能論證一下這個(gè)結(jié)論

3、是否正確呢？師：由此“ 猜想” 得到證明,可以寫成性質(zhì)形式板書 性質(zhì) 1 在二項(xiàng)綻開式中,與首末兩端“ 等距” 的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等即：師：發(fā)覺了這個(gè)性質(zhì)對(duì)解題的幫忙表達(dá)在哪兒呢？我們來看兩個(gè)小題出示幻燈片 1求 a b 6 綻開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)2如 a b n 的綻開式中,第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,就 n=？師：誰情愿回答這兩個(gè)題目給同學(xué) 12 分鐘考慮一下 現(xiàn)第五項(xiàng)就是倒數(shù)第三項(xiàng),所以 n1=7,即 n=6此時(shí),給出這兩個(gè)小題,可使同學(xué)準(zhǔn)時(shí)的懂得性質(zhì) 的鞏固、概念的記憶 師：再看楊輝三角,找特點(diǎn)生：二項(xiàng)式系數(shù)先增加后減小師：有最值嗎？生：有,中間位置可能最大

4、師：能再詳細(xì)一些嗎？是哪些項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大？1,并學(xué)會(huì)簡潔應(yīng)用,有利于學(xué)問同學(xué)未必一下能說清晰,盡量勉勵(lì)同學(xué)說,積極參加 未必簡捷,只要正確就要勉勵(lì)他往下說,以免打消同學(xué)的積極性 師：這個(gè)猜想是否正確呢？我可以告知大家是正確的,但對(duì)它的嚴(yán)格證明,不是本節(jié)課的重點(diǎn),有愛好的同學(xué)可在課下討論證明板書 名師精編 優(yōu)秀教案性質(zhì) 2 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)性質(zhì) 2 的證明不給出,有利于突出本節(jié)課的重點(diǎn),使內(nèi)容合理,緊湊 師：性質(zhì) 2 記憶肯定要精確,如有疑問時(shí),可以依靠楊輝三角,使特點(diǎn)法驗(yàn)證,下面我們?cè)賮砜磧蓚€(gè)小題出示幻燈片 3分別指出 ab 20 與x5y15 的綻開式中哪些項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,并分別求出

5、其最n 的值大的二項(xiàng)式系數(shù)用組合數(shù)表示 4已知 abn的綻開式中第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,求以上兩個(gè)小題也是對(duì)性質(zhì)2 的鞏固 師：目前我們已經(jīng)發(fā)覺了二項(xiàng)式系數(shù)的兩個(gè)性質(zhì),二項(xiàng)式系數(shù)仍有沒有其它規(guī)律呢？在 排列組合中,我們做過這樣一個(gè)題目：出示幻燈片 已知集合 A=0 ,1,2,求它的全部子集的個(gè)數(shù)師：當(dāng)時(shí),我們是怎么做的呢？生：是,剛才求的就是二項(xiàng)式系數(shù)的和同學(xué)呼應(yīng),達(dá)到前后學(xué)問的聯(lián)系,前一節(jié)中出這個(gè)題的一個(gè)目的就是為這一節(jié)作鋪墊 再相加,但假如集合 A 中元素個(gè)數(shù)許多,我們?cè)撊绾芜\(yùn)算呢？二項(xiàng)式系數(shù)的和是否也有規(guī)律呢？同學(xué)摸索,誘導(dǎo)一下 師：不妨再從楊輝三角中挖掘生： 2 n,對(duì)嗎？師

6、：大家是否也同意這個(gè)同學(xué)的想法呢？假如認(rèn)可,請(qǐng)賜予例1板書 嚴(yán)格地證明名師精編 優(yōu)秀教案師：例 1 是一個(gè)等式,可以通過證明等式的幾條途徑來考慮誘導(dǎo)一下 師：現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)的是二項(xiàng)式定理,等號(hào)的兩邊都可以從這個(gè)角度來考慮將 2n換成11n同學(xué)甲： 板演 師：仍有沒有其它方法呢？這個(gè)等式與二項(xiàng)式定理黑板上有 比較一下有什么發(fā)覺呢？生：將二項(xiàng)式定理中的a,b 都取成 1,由于二項(xiàng)式定理對(duì)a,b 取任意值都是成立的生： 板演 在二項(xiàng)綻開式中,令 a=1,b=1,得師：其次種方法是賦值法,是解決與二項(xiàng)綻開系數(shù)有關(guān)問題的重要手段我們已經(jīng)發(fā)覺并證明白二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì),它仍有一個(gè)性質(zhì),也是很常用的,我直接

7、給出,大家看看 怎樣證明 板書 例 2 證明在 ab n 的綻開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的 和師：先翻譯成數(shù)學(xué)語言簡潔發(fā)覺目標(biāo),削減盲目性勉勵(lì)同學(xué)連續(xù)往下進(jìn)行到了這一步,由于有例1 的鋪墊,同學(xué)很簡潔想到賦值法生： 板演 證明：在二項(xiàng)綻開式中令 a=1,b=1,得名師精編 優(yōu)秀教案師：例 1 與例 2 是二項(xiàng)式系數(shù) 或組合數(shù) 的兩個(gè)常用的性質(zhì),它們的證明方法和結(jié)論都有相當(dāng)重要的意義例 1、例 2 表達(dá)了由一般到特別的思想 師：例 2 得到了奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等,但這并不意味著等號(hào)兩邊的個(gè)數(shù)相同當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí),奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)多一個(gè)；當(dāng) n

8、 為奇數(shù)時(shí), 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)個(gè)數(shù)相同下面我們來看兩個(gè)小題：出示幻燈片 考查一下同學(xué)是否會(huì)算 5求 a b 10 的綻開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和及奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和同學(xué)甲：算 5 題ab 10綻開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為 1024,奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為 512以上兩個(gè)小題訓(xùn)練,加深同學(xué)對(duì)例 簡潔的數(shù)學(xué)語言或得到詳細(xì)值 1、例 2 結(jié)論的記憶,遇到問題時(shí),可直接轉(zhuǎn)化為師：現(xiàn)在我們要來解決一個(gè)問題板書 練習(xí) 已知 12x n 綻開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,求綻開式中哪項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,并求該項(xiàng)生： 板演 此題不難,可由同學(xué)獨(dú)立完成,自我檢查 師：今日這堂課的關(guān)鍵是利

9、用楊輝三角形直觀性發(fā)覺并證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)由學(xué) 生表達(dá)這四個(gè)性質(zhì) 我們可以把第一個(gè)性質(zhì)簡記為二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱規(guī)律,性質(zhì) 2 簡記為最大 二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律, 后兩個(gè)性質(zhì)所實(shí)行的方法賦值法是解決與二項(xiàng)綻開系數(shù)有關(guān)問題的重要手段師：今日課下的作業(yè)是課本P257 練習(xí)： 1,2,3；P258：9,10,補(bǔ)充三2已知： 12x 5=a0a1xa2x 2a3x 3a4x 4a5x 5,求 a0a1a2a3a4a5 的值3如二項(xiàng)式 x 3x 2 n 的綻開式中, 只有第六項(xiàng)系數(shù)最大,就綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是什么？課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明這份教案的教學(xué)過程可簡記為以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：1提出問題：尋求二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；2觀看楊輝三

10、角發(fā)覺二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)；3得三個(gè)猜想 性質(zhì) 1,2,例 1并逐一證明 除性質(zhì) 2,證明后緊跟小練習(xí)；4用賦值法,證明例2；5練習(xí),加強(qiáng)記憶；6小結(jié)、作業(yè)名師精編 優(yōu)秀教案我之所以這樣設(shè)計(jì)這堂課,主要有以下幾個(gè)緣由：第一, 二項(xiàng)式定理這部分內(nèi)容比較枯燥,需要記憶的學(xué)問點(diǎn)也比較多,更要求老師不斷地挖掘規(guī)律簡化同學(xué)的記憶負(fù)擔(dān)但即使如此,同學(xué)的學(xué)習(xí)仍處于被動(dòng)狀態(tài),所以這節(jié)課,我想充分發(fā)揮同學(xué)的積極性,化被動(dòng)為主動(dòng), 因此我引入了楊輝三角,利用它圖表的直觀性很簡潔發(fā)覺規(guī)律,這個(gè)規(guī)律是由同學(xué)自己發(fā)覺的,當(dāng)然也就簡潔記憶其次,以往我們處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)這一節(jié)時(shí),總是將性質(zhì)用定論的形式直接出現(xiàn)在同學(xué)面前,然

11、后自己再說出證明方法,緊接著就是上例題做練習(xí)這樣,好像是開門見山,直截了當(dāng), 節(jié)省時(shí)間,但忽視了很重要的一點(diǎn)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維過程的教學(xué),“ 直截了當(dāng)” 就掩蓋了“ 思維過程” ,把學(xué)問和方法不是作為思維過程暴露在同學(xué)面前,而是作為結(jié)果拋給同學(xué), 這種“ 奉送” 的做法勢(shì)必回避了數(shù)學(xué)思想的培育質(zhì)很難得到提高長此以往, 同學(xué)的數(shù)學(xué)素第三,分別在得到性質(zhì) 1,2,例 1,例 2 后立刻出幾個(gè)小題加以鞏固,題目的深淺是根據(jù)同學(xué)的程度不同而定的但我覺得肯定得有,否就四個(gè)結(jié)論全出來后,同學(xué)再見題目,會(huì)有手足無措的感覺,成效不佳第四, 性質(zhì) 2 的證明是本節(jié)的難點(diǎn),本教案回避了這一點(diǎn),沒有賜予證明,由于本教案是為一般班設(shè)計(jì)的而“ 好班” 對(duì)性質(zhì)2 應(yīng)賜予證明,性質(zhì)2,證明如下：最好,再補(bǔ)充下面一個(gè)例題：例 3 求12xx 2 101x解：原