2022年習題1-3行列式的性質(zhì)

1、1、用行列式的性質(zhì)運算以下行列式1,2 兩列元素大部分數(shù)字是相等的,列差同為1000,易于化為下三2809229092【分析】可見行列式中角行列式,于是,【解法一】3421535215c 2c 1342151000r 1r 2c 161230下三角6123000；2809229092280921000280921000【解法二】3421535215r 1r 261236123c 2612302809229092280922909228092 1000下三角6123000；2abacae；bdcddebfcfef【分析】各行、列都有公因,抽出后再行運算；【1acae1a

2、r1b1解e23rbc1adfbce1111】abcbdcddeadfbce111ccdr22bfcfeffbceec3111r31111r 2r 1311；adfbce002r 2abcdef020r 3r 1020002abcdef上三角 124abcdef ；111111111111【分析】將第一行加到以下各行即成為上三角行列式,【解】1111r2r 111113 上三角 1 28 ；111102221111r3r 10022rr 1111 1400022、把以下行列式化為上三角形行列式,并運算其值：22240403c 2c 1r 27r 322440143514 3135 3；1220

3、5124【解法一】41351435 3r 2r 12240321231321323205102510251511351435r 2r1062100118r37r2011807120712r42r 200858r 3r 1r 3r 402351r 4r 30251007171451435上三角 121 27001180118001410014100717000270270；【解法二】224011r420c 111204135 2r 124135 3c 221 1435312331232320512051202511120110r2r 120315r 2r320 0118r3r 104034030

4、2510251112021120r34r220118r42r 30118r42r200429004290071720014111201120r 34r420118r 301180001350014100141000135上三角2 1 12 135270；21234；234134124123【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型,應將2,3,4 列加到第 1 列：12341023410234【解】2341c 1 c 2c c 3 4 10341r2r10113341210412r3r 10222rr141231012340111102342160 ；r32r 20113上三角10 1 4r4

5、r200440004aij進行變換后,求其結果：3、設行列式a ijm , i j1,2,L,5,依以下次序?qū)粨Q第一行與第五行,再轉(zhuǎn)置,用2 乘全部元素,再用-3乘以其次列加到第四列,最終用4 除其次行各元素；【解】 1 交換第一行與第五行,行列式變號,結果為 m ；2 再轉(zhuǎn)置,行列式的值不變,m ；53 用 2 乘全部元素,即 5 行里每行都有公因 2,這等于用 2 乘以行列式,結果為5m 2 32m ；4 再用 -3乘以其次列加到第四列,這是倍加,行列式的值不變,結果仍為 32m ；5 最終用 4 除其次行各元素, 即其次行有公因 1,這等于用1 乘以行列式, 結果為4 432 m 1

6、8m ；44、用行列式的性質(zhì)證明以下等式：1a 1kb 1b 1c 1c 1a 1b 1c 1；a 2kb 2b 2c2c2a2b 2c2a 3kb 3b 3c3c3a3b 3c3【證法一】左邊a 1kb 1b 1c 1c1a 1kb 1b 1c 1c 1=a2kb 2b 2c2c2c2c3a 2kb 2b 2c2【證法二】右邊a3kb 3b 3c3c3a 3kb 3b 3c3a 1b 1c1c 1kc2a2b 2c2=右邊,證畢；a3b 3c3a 1b 1c 1a1kb 1b 1c 1=a2b 2c2c1kc2a2kb2b2c 2a3b 3c 3a3kb3b 3c 3a 1kb 1b 1c

7、1c 1c2c3a2kb2b2c 2c2=左邊,證畢；a3kb3b 3c 3c3a 1kb 1b 1c 1c1a 1b 1c 1c 1kb 1b 1c 1【證法三】左邊=a2kb 2b 2c2c2分拆1ca2b 2c2c2+kb2b 2c 2c2a3kb 3b 3c3c3a3b 3c 3c3kb3b 3c 3c3a 1b 1c 1a 1c1c1kb 1b 1c 1kb 1c 1c1都分拆c2a2b 2c2+a2c2c2+kb 2b 2c2+kb2c2c2a3b 3c3a 3c3c3kb 3b 3c 3kb 3c 3c3第 2, 4行列式:c2c3a 1b 1c 1a 1b 1c 1a 2b 2

8、c 2+0+0+0=a 2b 2c2=右邊,證畢；第 3行列式c 1c= :1 yzz2a 3b 3c 3a 3b 3c3xxyxyz2xyyzzx2zxy；2xyzzxxyzxxyyzyzxyzzxxy【證法一】左邊=xyyzzxc 1 c 2c 3 2xyzyzzx2xyzxyyzzxxyyz2xyzzxxyr 2r 10yxzyr 3r 10yzzx 2xyz c 121zxxyxyz 0yxzy0yzzx右邊 =2xc 2 zx c 12xy1y0 xz0yzzxxxyyz 0c 3xy c 10yzzzxyzxyzyzzxyc 1 c c 2 3 2xyzxyyzxxyzzx1yz

9、xyz c 12xyz 1xy1zx1yzr2r 12xyz 0 xyyzrr 130zyxz對比即得100 xc2yc 12xyz 0 xyyzczc 130zyxz100r22xyz 0yxzy,r30yzzx左邊 =右邊,證畢；yzzxxyyzxxy【證法二】左邊=xyyzzx分拆1cxyzzx+yyzzxzxxyyzzxyyzxxyyzyzxx+zxxy前c2-c3yz前c3-c1+xyzzyzzxxyzyzx后c2-c1后c-cr1zxyyxyyz32zxzyxxyyzzxyzxyzxy前r2yzxyzx都r3r2zxy+zxy后r 3r 1zxyzxyyzxyzxxyz2zxy=右

10、邊,證畢；yzx5、運算以下行列式：x a L aa x L a1；L L L La a L x【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型,應將 2 列以后各列加到第 1 列：x a L aa x L a【解】設 為 n 階行列式,就每行中有 1 個 x,n-1 個 a,于是L L L La a L xx a a L a ax a L a a x a L a aa x L a a a x L a a=L L L L L L L L L La a L x a a a L x aa a a L a xx n 1 a a a L a ax n 1 a x a L a ax n 1 a a x L a

11、 ac 1 c 2 c 3 L c n L L L L L Lx n 1 a a a L x ax n 1 a a a L a xx n 1 a a a L a a0 x a 0 L 0 0c 2 c 1 0 0 x a L 0 0L L L L L L L Lc n c 10 0 0 L x a 00 0 0 L 0 x an 1上三角 x n 1 x a ；1 2 3 L n 1 n1 0 3 L n 1 n1 2 0 L n 1 n2；L L L L L L1 2 3 L 0 n1 2 3 L n 1 0【分析】 該行列式主對角線以下元素與首行元素對應為相反數(shù),將化為上三角行列式；因此,

12、將首行加到以下各行,【解】123LLn1n123 nLn1n103Ln1n026L2n12n120Ln1nc 2c 1003L2n12nL LLLLLLLLLLLLLc nc 11123L0n000Ln12n123Ln10000L0n上三角1 2 3L1 n.n ；a 1a 2a n1a 1b 1a 2b 2La nb n；31a 1a2La nLLLLL1a 1a 2Lan【分析】 這是為 n+1 階行列式；該行列式主對角線以下元素與首行元素對應相等,因此,將首行的 -1 倍加到以下各行,將化為上三角行列式；1 a 1 a 2 L a n 1 a 1 a 2 L a n1 a 1 b 1 a

13、 2 L a n c c 2 1 0 b 1 0 L 0【解】1 a 1 a 2 b 2 L a n LL 0 0 b 2 L 0 上三角 1 2 bb L b n；L L L L L c n c 1 L L L L L1 a 1 a 2 L a n b n 0 0 0 L b na 0 1 1 L 11 a 1 0 L 04 1 0 a 2 L 0,其中 ia 0；L L L L L1 0 0 L a n【分析】為化成上三角行列式,須將 0a 下方元素全化為 0,這樣就需要次第地（以肯定次序,一個接一個地 ）,將 0a 化為 -1 后加到第 1 列,將 1a化為 -1 后加到第 2 列,.,

14、將 na 化為 -1 后加到第 1 列；【解】a 011L1c 11c 2a00111L1a 11a 10L0a 10L010a2L0a 110a2L0LLLLLLLLLL100La n100Lana01111L1111L1a 1a2c 11c 30a 10L0a 200a2L0LLLLL100La na011.a 1a2a n.c 110a10L0c n10a n0a2L0a0in1LLLLL000Lan111L1ai=0 0a 10L00a2L0LLLLL000La n上三角aa 1 2La a 0in11a i上述的 n 次列倍加運算也可以疊加進行：a 011L1c 11c 2a 0n1

15、i11L1i1a i1a 10L01a 10L0010a 2L0a 1LL00a 2L01c nLLLLLc 1a nLLLLL100La n上三角aa 1 2L000Lann1a a 01a i6、解以下方程：11212293x20；1x232315231【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式,留意到 相同元素,得：1,2 兩行及 3,4 兩行有較多的2111213112342x2,左邊 =1 22x223r 2r 101x2003155r 4r 32312319x20004x235231x2c 12 c 30 x200上三角3原方程為c 23 c 30015004x201,x；1x2

16、4x20,即得 4 個根為x11L1111x1L11；112xL110LLLLLL111Ln2x1111L1n1x【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式,將第一行的 上三角行列式；左邊 =11x1Ln1xn1x111L11112xL11LLLLLL111L21111L11r 2r 1111Ln1x10 x0L00001xL00L LLLLLLLr nr 1000L30-1 倍加到以下各行即成為000L0 xn2x0,上三角x1x2xLn3n2x,原方程為x1x2xLn3Lxn2x即得 n-1 個根為 xk ,k0,1,2,n1,n2； 7、設 n 階行列式Ddetaij,把 D 上下翻轉(zhuǎn)

17、,或逆時針旋轉(zhuǎn)90o,或依副對角線翻轉(zhuǎn),依次得a n 1 L a nn a 1 n L a nn a nn L a 1 nD 1 L L L,D 2 L L L,D 3 L L L,a 11 L a 1 n a 11 L a n 1 a n 1 L a 11n n 1/2證明 D 1 D 2 1 D ,D 3 D ；【證明】1 D 1 1 n n 1/2D ,a 11 L a 1 n a n 1 L a nn這就是將 D 變換成 D ：L L L L L L,由于把 D 上下翻a n 1 L a nn a 11 L a 1 n轉(zhuǎn)得到 D ,翻轉(zhuǎn)變換中,元素 a 的列碼仍為列碼,次序沒變,行碼就

18、由次序 123 L n 變成了逆序 nL 321；由于排列 123 L n 變成 nL 321 要經(jīng)過 n 1 n 2 L 2 1n n 1次對換,2可 知 把 D 上 下 翻 轉(zhuǎn) 得 到 D 1, 須 經(jīng) 過 n n 1 次 行 對 換 , 從 而2n n 1/2D 1 1 D ；證畢；n n 1/22 D 2 1 D ,a 11 L a 1 n a nn L a 1 n這就是將 D 變換成 D ：L L L L L L,由于把 D 逆時針a n 1 L a nn a n 1 L a 11旋轉(zhuǎn) 90o得到 D ：a 11 a 12 L a 1, n 1 a 1 n a 1 n a 2 n L

19、 a n 1,n a nna 21 a 22 L a 2, n 1 a 2 n a 1, n 1 a 2, n 1 L a n 1, n 1 a n n 1L L L L L L L L L La n 1,1 a n 1,2 L a n 1, n 1 a n 1,n a 12 a 22 L a n 1,2 a n 2a n 1 a n 2 L a n n 1 a nn a 11 a 21 L a n 1,1 a n 1旋轉(zhuǎn)變換中,元素 ija 的第一碼 i 變成了其次碼 j ,都作為行碼看待時,由次序123 L n 變成為逆序 nL 321；而其次碼 j 變成了第一碼 i ,都作為列碼看待時,

20、次序不變,由于排列 123 Ln變成nL321 要經(jīng)過 n1n2L2211/2D ；1次對換,從而Dn n 1n n1次對換,D ,須經(jīng)過n n 22可知把 D 旋轉(zhuǎn) 90o得到證畢；3 D 3 D ；a 11 L a 1 n a n 1 L a nn這就是將 D 變換成 D ：L L L L L L,由于把 D 依副對a n 1 L a nn a 11 L a 1 n角線翻轉(zhuǎn)得到 D ：a 11 a 12 L a 1, n 1 a 1 n a nn a n 1, n L a 2,n a 1 na 21 a 22 L a 2, n 1 a 2 n a n n 1 a n 1, n 1 L a 2, n 1 a 1, n 1L L L L L L L L L La n 1,1 a n 1