線性方程組迭代解法

1、線性方程組的迭代解法專業(yè)班級(jí)：姓 名：學(xué) 號(hào)：開課時(shí)間：2014 - 2015學(xué)年 第 二學(xué)期成績(jī)教師簽名線性方程組的迭代解法、線性方程組Ax bA是n階矩陣,x、b都是維列向量ana12ainxibia21 a22AX2b2aniannxnbn1.1直接法就是將矩陣A分解成一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)下三角矩陣L ,然后解一個(gè)方程組UxLyU11U12U13UinU22U23l 21L I 311I 321Unnl n1Inn1.2迭代法出方1 Mixxkg g ?來斷it相丁笈箱聚、線性方程組的迭代解法2.1 Jacobi迭代法設(shè)方程組Axb;A (aQn n,b (bi)1 n；det(A) 0

2、將系數(shù)矩陣分裂為：A D L U 其中 D diag(a11,a22, ,ann)0 ai2 ai3aina2i 0l a3i a3200 a23u0a2nan1 an20如果a 0(i 1,2, ,n),原方程可化為x D 1(L U)x D 1b Mx g其中 M D 1(L U) (I D 1A)；g D 1b相應(yīng)的迭代格式x(k 1)Mx(k) g；k 0,1,2,b i 1(k)n(k)Daijxj.aijxj,n分量形式xk 1) q ;i 1,2,aii2.2 Gauss-Seidel 迭代法G-S迭代法是對(duì)Jacobi法的改進(jìn)，在J法的迭代公式中計(jì)算x(k 1)時(shí), x(k 1

3、),x2k 1), 1x*7)已經(jīng)計(jì)算出來了，故用這些值代替前i 1項(xiàng)的 值，這種迭代方法就是G-S迭代法。i 1 (k 1) n (k)h a。xj )a。xj，分量形式：$ 1) 一口LU;i 1,2, ,naii2.3超松弛迭代法類似于G-S迭代法超松弛迭代是進(jìn)一步的改進(jìn)，該方法將第k次的迭代值和G-S迭代法的第K+1次做加權(quán)平均。計(jì)算公式如下：i 1 (k 1) haij xj)(k 1) j 1xi(k) aij xj;i1,2, ,naii加權(quán)平均:x(k 1)xi(k1)(1Wk)分量形式:(k 1)xi(k 1)(1)x(k)(k) aij xjaii超松弛迭代的矩陣形式:x(

4、k 1)(1)x(k)D 1(b Lx(k 1 Ux(k)迭代公式：x(k 1) Sx(k) g其中g(shù)(D L) 1b迭代矩陣：S (D L) 1(1 )D U 三、迭代法的MATLAB程序Jacobi迭代法%Jacobi 法A=10,3,1;2,-10,3;1,3,10;b=14,-5,14;x=0,0,0;制始值epx=0.001;n=length(b);m=0;for (k=1:20)c=x;for (i=1:n)s_1=0;s_2=0;if (i=2)for (j=1:i-1)s_1=s_1+A(i,j)*c(j);end;elses_1=0;end;for (j=i+1:n)s_2=

5、s_2+A(i,j)*c(j);end;x(i)=(b(i)-s_1-s_2)/A(i,i);end;m=m+1;if (max(abs(c-x)epx) break ;end;end;xdisp(迭代次數(shù):)mGauss-Seidel 迭代法只需要將Jacobi程序中的c (j)換成x(j)就可以了。超松弛迭代法將 G-S迭代法中的 “ x(i)=(b(i)-s_1-s_2)/A(i,i);” 換成“x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-s_1-s_2)/A(i,i);”；在程序開頭添加：“w=0.5;程序就是超松弛迭代法的了。因而上述三種迭代法具有相似的程序。四、舉例比較各種迭代

6、法4 30 x1 24例題：3 41 x2 3001 4 x3 24精度要求迭代次數(shù)方法Jacobi 法G-S法超松弛迭代法(0.5)超松弛迭代法(0.95)超松弛迭法(1.25)0.01859590.001107136150.0001138167205G_S迭代法比Jacobi迭代法收斂速度要快，而超松弛迭代的收斂 速度取決于 的選取，如果選得好收斂速度比 G-S要快，但如果沒有 合適的，收斂速度會(huì)很慢甚至發(fā)散。五、結(jié)束語線性方程組在生活中有許多的應(yīng)用，如方程的配平、平板熱傳導(dǎo) 問題等，因而對(duì)于線性方程組的求解具有很好的現(xiàn)實(shí)意義。本文僅僅 對(duì)線性方程組的幾種迭代解法做了簡(jiǎn)要的介紹，只是總結(jié)了一下方法,至于求解的思想并沒有太多的說明。迭代法是一種較廣泛的數(shù)值求解 方法，