全國(guó)中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校通用教材數(shù)學(xué)(上)2匯總課件

1、第2章 集合與函數(shù)2.1 集合2.2 函數(shù)的概念及性質(zhì)2.3 反函數(shù)2.4 指數(shù)函數(shù)2.5 對(duì)數(shù)函數(shù)2.1 集合一個(gè)家庭一籃鮮花一次考試的科目共同點(diǎn)：組成它們的事物（整體的成員）是被指定的。集合的概念 在數(shù)學(xué)里，我們用集合（簡(jiǎn)稱集）這個(gè)概念來(lái)表示由一些指定的事物組成的整體。集合中的每個(gè)事物稱為該集合的元素。 通常，事物a是集合M的一個(gè)元素記作aM ，讀作a屬于M；事物a不是集合M的一個(gè)元素記作a M ，讀作a不屬于M。 在數(shù)學(xué)中，由數(shù)字組成的集合稱為數(shù)集、由方程或不等式的解組成的集合稱為解集。 把含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集。 把含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集。 把沒(méi)有任何元素的集合稱為空集

2、，記作。一些常用的數(shù)集都有特定的記法，如下表所示 集 合 表 述集 合 名 稱集 合 符 號(hào)自然數(shù)（即非負(fù)整數(shù)）的全體自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）正整數(shù)的全體正整數(shù)集 整數(shù)的全體整數(shù)集有理數(shù)的全體有理數(shù)集實(shí)數(shù)的全體實(shí)數(shù)集正實(shí)數(shù)的全體正實(shí)數(shù)集 負(fù)實(shí)數(shù)的全體負(fù)實(shí)數(shù)集 1、將符號(hào)或 填入空格中。 7 ， 7.2 ， 11.4 ， ， 3.7 ， 。2、課本P39 知識(shí)鞏固1集合的表示方法列舉法 通過(guò)列舉集合的每個(gè)元素來(lái)表示集合的方法叫做列舉法。李明、張靜、李俊、李虹 數(shù)學(xué)、物理、語(yǔ)文、英語(yǔ)、機(jī)械設(shè)計(jì)、金屬加工 2、4、6、8 請(qǐng)同學(xué)們用身邊的事物舉例描述法 用特定條件指定集合的元素，從而表示集合的方法叫做

3、描述法。xx是本節(jié)“導(dǎo)入”所舉例中花束內(nèi)的花 xx5 例題解析例 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?（1）地球上的四大洋組成的集合。單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例題解析 （2）所有大于或等于3的整數(shù)組成的集合。單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例題解析 （3）使分式 有意義的所有x組成的集合。單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例題解析 （4）一次函數(shù) 的圖像上所有的點(diǎn)組成的集合。單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例題解析 （5）所有的平行四邊形組成的集合。單擊鼠標(biāo)繼續(xù)提高練習(xí) 單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1用列舉法表示下列集合：（1）大于3小于10的整數(shù)的全體。（2）方程2x-3=0的解集。 2用描述法表示下列集合 ：（1）不等式x2的解集。（2）大于0小于1的實(shí)數(shù)的全體。 課本P41

4、 知識(shí)鞏固2 1、（1）（2）（3）（6）集合與集合的關(guān)系 通常，對(duì)于集合A和集合B，如果A的任何一個(gè)元素都是B的元素，那么兩者的關(guān)系就是集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），記作 A B（或B A） 集合A包含于集合B也可說(shuō)成集合A是集合B的子集。 集合與集合之間還存在相等的關(guān)系。如 xx21=0=-1，12、4、6、84、2、6、8 例題解析 例 分別寫(xiě)出下列各題中兩個(gè)集合之間的關(guān)系： （1）A2、4、6，B2、0、2、4、6、8 （2）A2、5， Bx | (x)(x)解 （2）集合B的元素是方程(x5)(x2)=0的解，應(yīng)該是5，2?？梢?jiàn)，集合B的每個(gè)元素都屬于集合A；反之，集合A

5、的每一個(gè)元素都屬于集合B。所以這兩個(gè)集合的關(guān)系是A = B （1）因?yàn)榧螦的每一個(gè)元素都是集合B的元素，而集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以兩者的關(guān)系是A B單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 用適當(dāng)?shù)姆?hào) 填入空格 。 Q R， Z， a b、c、d 22 x | x293、3 區(qū)間的概念設(shè)服務(wù)員身高為x米，根據(jù)上表，這四家飯店提出的要求可表示為飯店A：1.65x1.75 ； 飯店C：1.65x1.75 ；飯店B：1.65x1.75 ； 飯店D：1.65x1.75 。 四家飯店（A、B、C、D）招聘女服務(wù)員對(duì)身高的要求：飯店1.65米1.75米A包括包括B不包括不包括C包括不包括D不包括包括 將這

6、四家飯店的要求推廣到一般的情況。設(shè)身高的下限為a米，身高的上限為b米（ab），則這四種要求可表示為axb axb axb axb 上述四種不等式可以對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x的四種集合。這四種集合都可用區(qū)間來(lái)表示，實(shí)數(shù)a和b稱為相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)。我們對(duì)這四種集合的具體規(guī)定如下： 除上面提到的四種集合外，符合不等式xa，xb， xa，xb的實(shí)數(shù)x的集合也可用區(qū)間表示，其表示方法與上面四種區(qū)間類(lèi)似。 需注意的是，這些區(qū)間只有一個(gè)端點(diǎn)，另一端對(duì)應(yīng)數(shù)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處。 為此，我們規(guī)定：符號(hào)“”表示無(wú)窮大，“+”表示正無(wú)窮大，“”表示負(fù)無(wú)窮大。 用區(qū)間的形式表示下列各集合： （1）x5x2 （2）x | 3x8 （3）xx1

7、 （4）xx52.2 函數(shù)的概念及性質(zhì)水的高度表示體積 水的上表面面積表示半徑V15h (圓柱的體積等于底面積乘以高)h的取值范圍就是0，10 Sr2r的取值范圍就是4，7 函數(shù)的概念 一般地，設(shè)x、y是兩個(gè)變量，當(dāng)x在某個(gè)數(shù)集D（即x的取值范圍）內(nèi)取任意一個(gè)確定的值，按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f ，y都有唯一的值與x對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是變量x的函數(shù)，數(shù)集D是這個(gè)函數(shù)的定義域。 通常將y是x的函數(shù)記作yf（x），xD 當(dāng)自變量x在定義域中取確定的值a時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記作f (a)所有函數(shù)值組成的集合叫做函數(shù)的值域。 如果一個(gè)函數(shù)的定義域沒(méi)有被特別指出，那么我們就認(rèn)為這個(gè)函數(shù)的定義

8、域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合。 例題解析 例1 設(shè)f(x)x22x3，求f (0)、f(3)、f (3)、f(a)。 解f(0)022033 f(3)322336f(3)(3)22(3)318 f(a)a22 a3 單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例2 求函數(shù)f(x) 的定義域 。 解要使函數(shù)f(x)有意義，則 x20即 x2 因此，f (x)的定義域是2，） 單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1設(shè)f (x)2x21，求：f(1)、f(1)，f(0)、f(b)。 2求函數(shù)f(x) 的定義域。 函數(shù)的表示方法表示一個(gè)函數(shù)的方法有：解析法、列表法和圖像法。解析法 用代數(shù)式來(lái)表示兩個(gè)變量間的關(guān)系表示的方法叫做解析法。如，y

9、x2，y2x，y 。列表法 所謂列表法是指用表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。例如，學(xué)期序號(hào)123456789101112成績(jī)959088928783948593899496 上表中，學(xué)期序號(hào)和成績(jī)是兩個(gè)變量。表中列出了不同學(xué)期序號(hào)對(duì)應(yīng)的成績(jī)。 圖像法 所謂圖像法是指用圖像來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。 從圖中可看出玉米單價(jià)（即每噸玉米的價(jià)格）隨著時(shí)間的的變化而不斷起伏；任意時(shí)刻都對(duì)應(yīng)著唯一的玉米單價(jià)。所以，在這里玉米單價(jià)是時(shí)間的函數(shù)。 例題解析 例 畫(huà)出函數(shù)y6x（x(0，10）的圖像。 解 y6x是一次函數(shù)，而定義域是（0，10，由此可知圖像是一條直線段。所以只要描出函數(shù)y6x圖像

10、上的兩個(gè)端點(diǎn)，然后用直尺將這兩個(gè)端點(diǎn)連接起來(lái)即可。 列表 y010 x060 描點(diǎn)：描出以（0，0）為坐標(biāo)的點(diǎn)，再描出以（10，60）為坐標(biāo)的點(diǎn)。 連線：通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)畫(huà)出一條直線段。這條直線段AB就是函數(shù)y6x ， x(0，10的圖像。應(yīng)特別注意的是，由于圖像中不包括點(diǎn)（，），因此，點(diǎn)用空心點(diǎn)表示。單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1試舉出一個(gè)用列表法表示函數(shù)的例子。 2畫(huà)函數(shù)yx3（x(，)）的圖像。 函數(shù)的單調(diào)性觀察yx2的圖像，總結(jié)函數(shù)值隨自變量取值的變化規(guī)律。 1y軸左側(cè)，即在區(qū)間（，0上，自變量越大函數(shù)值越小。 2y軸右側(cè)，即區(qū)間0，）上，自變量越大函數(shù)值越大。 一般地，在函數(shù)f（x）定義域內(nèi)某個(gè)給定區(qū)間

11、 I上，任選兩個(gè)自變量的取值x1、x2 ，如果當(dāng)x2x1時(shí)，總有f（x2）f（x1），我們就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間 I上是增函數(shù)； 如果當(dāng)x2x1時(shí)，總有f（x2）f（x1），我們就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是減函數(shù)。 如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)yf（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，區(qū)間I叫做函數(shù)yf（x）的單調(diào)區(qū)間。 單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的。類(lèi) 型（區(qū)間I上的）增函數(shù)（區(qū)間I上的）減函數(shù)條 件當(dāng)x2x1時(shí)，有f（x2）f（x1）當(dāng)x2x1時(shí)，有f（x2）f（x1）圖像特征沿x軸正方向圖像上升沿x軸正方向圖像下降圖 例 例題解析 例 函

12、數(shù)yf（x）的定義域是10，10，下圖是它的圖像，根據(jù)圖像指出函數(shù)yf（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上函數(shù)yf（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？解 函數(shù)yf（x）的單調(diào)區(qū)間有10，4)、4，1)、1，2)、2，8)、8，10。 其中函數(shù)yf（x）在區(qū)間 10，4)、1，2)、8，10上是減函數(shù)； 在區(qū)間4，1)、2，8)上是增函數(shù)。 1畫(huà)出下列函數(shù)的草圖，指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并判別它們?cè)诟鲉握{(diào)區(qū)間的增減性。 （1） （2） （3） （4）2.3 反函數(shù)研究水位高隨體積變化的規(guī)律V15h（h0，10）（V0，150）反函數(shù)研究水面半徑隨水面面積變化的規(guī)律Sr2 （r4，7）（S16，49）反

13、函數(shù)圖形函數(shù)關(guān)系式自變量定義域值域V15hh0，100，150V0，1500，10Sr2r4，716，9S16，494，7 通常，在函數(shù)yf(x)（x）中，設(shè)它的值域?yàn)?，根?jù)該函數(shù)中x、y的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來(lái)，得到xg(y)。如果xg(y)（y）也是一個(gè)函數(shù)，那么就把函數(shù)xg(y)（y）叫做函數(shù)yf(x)（x）的反函數(shù)，記作xf1(y) 一般情況下，將函數(shù)xf1(y)改寫(xiě)成yf1(x) 函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf1(x)互為反函數(shù)。 函數(shù)yf(x)的定義域是它的反函數(shù)yf1(x)的值域；函數(shù)yf(x)的值域是它的反函數(shù)yf1(x)的定義域。 例題解析 例 求下列函數(shù)的反函數(shù)，并畫(huà)出題

14、（1）中函數(shù)和反函數(shù)的圖像，觀察它們的對(duì)稱性。 （1）y2x1（xR） （2）yx21（x） （3） （x1）解 （1）由y2x1，解得 ，所以，函數(shù)y2x1的反函數(shù)是 （xR） 通過(guò)描點(diǎn)法可畫(huà)出函數(shù)圖像。 （2）由yx21（x），解得 x2=y1由此推出 這里，一定有y+1，從而推出y1。所以，函數(shù)yx21（x）的反函數(shù)是 （x1） （3）解得 ，所以所求反函數(shù)為 （x2） 單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 一般地，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)yf（x）的圖像和它的反函數(shù)yf1（x）的圖像關(guān)于直線 yx 對(duì)稱。 1求函數(shù)y2x4（xR）的反函數(shù)，并且在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y2x4（xR）和它的反函數(shù)

15、的圖像。 2求下列函數(shù)的反函數(shù)： （1） （xR） （2） 2.4 指數(shù)函數(shù) 細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù) 某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：一個(gè)細(xì)胞一次分裂成兩個(gè)細(xì)胞。 一個(gè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過(guò) x 次分裂后，得到 y 個(gè)與它本身相同的細(xì)胞，那么細(xì)胞個(gè)數(shù) y與分裂次數(shù)x的關(guān)系是怎樣的呢？關(guān)于細(xì)胞分裂問(wèn)題，分析如下： 初始細(xì)胞個(gè)數(shù)是1，此時(shí)經(jīng)過(guò)的分裂次數(shù)是0，即201個(gè)； 經(jīng)過(guò)第1次分裂后細(xì)胞的總數(shù)是212個(gè)； 經(jīng)過(guò)第2次分裂后細(xì)胞的總數(shù)是224個(gè)； 經(jīng)過(guò)第3次分裂后細(xì)胞的總數(shù)是238個(gè)； 經(jīng)過(guò)第4次分裂后細(xì)胞的總數(shù)是2416個(gè)； 經(jīng)過(guò)第x次分裂后細(xì)胞的總數(shù)是個(gè)2x。 設(shè)細(xì)胞總數(shù)為y，有y2x。 一般地，我們把形如yax（a

16、0，a1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。 由實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可知：當(dāng)a0時(shí)，對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)x的值，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值ax與它對(duì)應(yīng)。因此，指數(shù)函數(shù)yax的定義域是實(shí)數(shù)集。兩函數(shù)相同的性質(zhì)有： 1兩個(gè)圖像都在x軸上方，即值域都是。 2 兩個(gè)圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），可見(jiàn)當(dāng)x0時(shí)，對(duì)這兩個(gè)函數(shù)都有y1。 兩函數(shù)不同的性質(zhì)： 函數(shù)y2x的圖像沿x增大的方向是上升的，所以它在（，）上是增函數(shù)； 函數(shù) 的圖像沿x增大的方向是下降的，所以它在（，）上是減函數(shù)。 一般地，指數(shù)函數(shù)yax（a0，a1）的圖像和性質(zhì)如下：函數(shù)yax，xRa10a1圖像性質(zhì)（1）定義域是R ，值域是正實(shí)數(shù)集 （2）當(dāng)x0時(shí)，y1（3）在（

17、，）內(nèi)是增函數(shù)（3）在（，）內(nèi)是減函數(shù) 例題解析 例1 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較下列各題中兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。?（1）33.6與32.8 （2） 與解 （1）指數(shù)函數(shù)y3x是增函數(shù)。因?yàn)?.62.8，所以33.632.8 （2）指數(shù)函數(shù) 是減函數(shù)。因?yàn)?.53，所以單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 一年后到期取出，連本帶息共有 100010002.25(120)1000(12.2580)10001.018 元 如果到期自動(dòng)轉(zhuǎn)存，兩年后到期本息共有 (10001.018)(10001.018)2.25(120)10001.018(12.2580)10001.0182 元 依此類(lèi)推，x年后到期取出，本息的和（單位：元）用y

18、表示，y與x的關(guān)系是y10001.018x 將x=5代入上式，可得5年后取出，連本帶息共有10001.01851093.30 元 例2 假設(shè)銀行中一年定期的存款利率是2.25，利息的稅率是20。若把你的壓歲錢(qián)1000元存入銀行，存取方式為一年期整存整取，而且辦理了到期自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，那么x 年后到期取出，連本帶息共有多少元？由此推算5年后應(yīng)取出多少錢(qián)？（精確到0.01）解單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 1指出下列指數(shù)函數(shù)在(，)內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)： （1）y3x （2） （3）yx （4）y0.3x 2比較下列各題中兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小 （1）45.2與45.5（2）44與43 （3）0.72與0.37 （4）0.7

19、2與0.73 3某市現(xiàn)有人口500萬(wàn)，人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，10年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？x年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)是多少萬(wàn)？（精確到0.01）2.5 對(duì)數(shù)函數(shù) 細(xì)胞分裂的次數(shù)某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：一個(gè)細(xì)胞一次分裂成2個(gè)。1個(gè)細(xì)胞經(jīng)第1次分裂成為2個(gè)；經(jīng)過(guò)第2次分裂成為4個(gè)那么，第幾次分裂后恰好出現(xiàn)16個(gè)細(xì)胞？第幾次分裂后恰好出現(xiàn)128個(gè)細(xì)胞？ 設(shè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過(guò)x次分裂后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)是y。以分裂次數(shù)x為自變量就可以得到指數(shù)函數(shù)y2x 顯然，只要求出這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，上面的問(wèn)題就可以解決了。 根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)式y(tǒng)2x可以寫(xiě)成對(duì)數(shù)的形式xlog2y顯然，給定一個(gè)y值，由上式

20、可以得到唯一的x值，因此，xlog2y表示的是指數(shù)函數(shù)y2x的反函數(shù)。按照習(xí)慣，我們用x表示自變量，用y表示函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就應(yīng)寫(xiě)成ylog2x 一般地，函數(shù)ylogax（a0，a1）與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)。因?yàn)閥=ax 的值域是（0，），所以函數(shù)ylogax的定義域是（0，）；y=ax 的定義域是R，所以函數(shù)ylogax 的值域是R 。我們把函數(shù)ylogax（a0，a1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。ylog2x的圖像特征：1圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；2圖像在y軸右側(cè)；3圖像沿x增大的方向是上升的，即在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)。 圖像特征：1圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；2圖像在y軸右側(cè)；3圖像沿x增大的方向是下降

21、的，即在區(qū)間（0，）上函數(shù)是減函數(shù)。函數(shù)ylogax，x0a10a1圖像性質(zhì) （1）定義域是 ，值域是R （2）當(dāng)x1時(shí)，y0在（0，）內(nèi)是增函數(shù)在（0，）內(nèi)是減函數(shù) 例題解析 例1 指出下列對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間（0，+）內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)？ （1）y=log3x （2） （3）ylog10 x （4）解 （1）因?yàn)閍31，所以y在區(qū)間（0，+）內(nèi)是增函數(shù)。 （3）因?yàn)閍101，所以y在區(qū)間（0，+）內(nèi)是增函數(shù)。 （2）因?yàn)閍 1，所以y在區(qū)間（0，+）內(nèi)是減函數(shù)。 （4）因?yàn)閍 1，所以y在區(qū)間（0，+）內(nèi)是減函數(shù)。 單擊鼠標(biāo)繼續(xù) 例2 在下列各小題中，比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。?（1）log34與log35 （2） 與1解 （1）對(duì)數(shù)函數(shù)ylog3x是增函數(shù)。因?yàn)?5，所以log34