新高考2021屆高考數(shù)學(xué)小題必練16平面向量(含答案)

1、 高考數(shù)學(xué)小題必練1平面向量及其應(yīng)用向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景，向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)城向量的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際向題中發(fā)揮重要作用本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義；掌握平面向量的概念、運(yùn)算、向量基本定理以及向量的應(yīng)用，用向量語(yǔ)言、方法表述和解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題內(nèi)容包括：向量概念、向量運(yùn)算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、向量應(yīng)用（1）向量概念通過對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向

2、量相等的含義.理解平面向量的幾何表示和基本要素（2）向量運(yùn)算借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)量運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.通過幾何直觀，了解平面向投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向的垂直關(guān)系（3）向量基本定理及坐標(biāo)表示理解平面向量基本定理及其意義借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘

3、運(yùn)算.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件.（4）向量應(yīng)用與解三角形會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.1.【2020全國(guó)I卷】設(shè)a,b為單位向量，且a+b=1,則a-b=.【解析】因?yàn)閍,b為單位向量，所以a=1,b=1,所以a+b=yj(a+b)2=Ja2+2a-b+b2=J2+2ab=1，解得2a-b=1,所以”一b=J(a-b)2=Ja|22a-b+|b|2=/

4、3.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.2.【2020全國(guó)II卷】已知單位向量a,b的夾角為45。,ka-b與a垂直，則k=.【答案】込【解析】由題意可得a-b=1xcos45=，由向量垂直的充分必要條件可得(ka-b)a=0,2故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則,向量垂直的充分必要條件等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.一、單選題.已知向量Q二(t,l),b=(1,2)，若a丄b，則實(shí)數(shù)t的值為()1A.2B.2C.二2【答案】A【解析】向量a二(t,1),b二(1,2),若a丄b，則a-b=t+2=0,.實(shí)數(shù)t=一2，

5、故選A.已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，且(a+b)a，則m的值為()A.1B.1C.4D.4【答案】D【解析】由題知，a+b=(1,2+m)，D.因?yàn)?a+b)a，所以2+m=2，從而m=4，故選D.3.已知向量a=(1,2)，b=(一2,3)，c=(4,5)，若(a+b)丄c,則實(shí)數(shù)X=()A.C.2D.2【答案】C【解析】因?yàn)閍=(1,2)，b=(2,3)，所以a+Xb=(12九,2+3九)，又(a+Xb)丄c，c=(4,5)，所以(a+九b)c=0，即4(1一2九)+5(2+3九)=0，解得X=2，故選C.4.已知向量。與b的夾角為60。，=1，b=2，當(dāng)b丄(2a九b)時(shí)，實(shí)

6、數(shù)X為()A.1B.2【答案】CD.【解析】向量。與b的夾角為60。，a=1，b=2，由b丄(2aXb)，知b-(2aXb)=0，2b-aXb2=0，12x2x1xcos60。一X22=0，解得X=.故選C.厶5.已知a，b為單位向量，且(2a-b)丄b，則a一綱=()A.1B.、珂C.2D.語(yǔ)【答案】B【解析】因?yàn)閍,b為單位向量，且(2a-b)丄b，所以(2a-b)-b=0,24a-b+4b2=3，故選B.所以2a-bb21，所以”一2b|=Ja2b2=y/a6.在ABC中，AB2,ZABC60。,AD為BC邊上的高，E為AD的中點(diǎn)，那么AE-AC()35911A.B.C.D.2222【答

7、案】A一一【解析】因?yàn)樵贏BC中，AB2,ZABC60。,AD為BC邊上的高，所以ADAB-sin60o=j3,AD丄BC,2|，故選A.又E為AD的中點(diǎn)，則AEAC-ADAC-AD(AD+DC)-AD2227已知向量a,b滿足|a|=0|=1,a丄b，若、邁a+b與xa+b的夾角為45。，則實(shí)數(shù)x=()D.-32邁【答案】C【解析】不妨設(shè)a(1,0),b(0,1),則；2a+b(2,1),xa+b=(x,1),(v2a+b)(xa+b)=2x+1,，解得x=2、遼土3,則AEBF的值是()A.2-邁B1C.邁D.2則|T2a+b=y/3,xa+b=Jx2+1,由向量夾角公式可知-=2羽Jx2

8、+1J25+10，則xA故舍去一根x=2邁-3，:x=3-2邁，故選C8.如圖，在矩形ABCD中，AB邁,BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上,若AB.AF邁,【答案】C【解析】AF=AD+DF,AB-AF=AB-（AD+DF）=AB-AD+AB-DF二AB-DF二QpF=T2,.df=1,|cf|=V2-1,ae-bf=Tab匚BE）-7BC+cf）=ab-cf+be-bc=-邁（邁-1）+lx2=邁,故答案為C.一二、多選題已知O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，貝卩（）A.AB=DCB.DA+DC=DBC.ABAD=BDD.OB=*（DA+BA）【答案】曠一【解析】因?yàn)镺是平行四邊形

9、ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，對(duì)于選項(xiàng)A,結(jié)合相等向量的概念可得，AB=DC，即A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,由平行四邊形法則可得DA+DC=DB，即B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,由向量的減法可得ABAD=DB，即C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由向量的加法運(yùn)算可得CO=#DA工BA）豐OB，即D錯(cuò)誤，綜上可得A、B正確，故選AB.一已知向量a+b=（1,1）,ab=3,1），（n設(shè)曠，b的夾角為o，貝y（）A.aI=blB.a丄cC.bcD.o=135?！敬鸢浮緽D【解析】根據(jù)題意，a+b=（1,1）,a-b=（-3,1），則a=（-1,1），b=（2,0），依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A,ai=J2，b=2，則Ia|=Ib|不成立，A錯(cuò)誤

10、；對(duì)于B，a=（一1，1）,c=（1,1）,則a-c=0，即a丄c,B正確；對(duì)于C,b=（2,0）,c=（1?1）,bc不成立，C錯(cuò)誤;對(duì)于D,a=（-1，1）,b=（2,0），則a-b=-2,a=2,|b|=2,則COSO=Z135。,d正確,故選BD11.已知a=(一1入一2),b=且a與b夾角為120，則九的取值可以是()A17B.-17C.-1D.1【答案】AC【解析】因?yàn)閏os=a-ba*|b，且a=(-1入-2)，b=(2,-1，1)，a與b夾角為120，所以cos12=解得九=17或九=-1，-1x2+Xx(-1)-2x1v；(-1)2+X2+(-2)222+(-1)2+12故選

11、AC12.已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0)，B(m,0)(m0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得ZAPB=90，則實(shí)數(shù)m的取值可以為()A4B5C6D7【答案】ABC【解析】圓C：(x-3)2+(y-4)2=1的圓心C(3,4)，半徑r=1，設(shè)P(a,b)在圓C上，則AP=(a+m,b)，BP=(a-m,b)，若ZAPB=90，則ap丄bp，.AP-BP=(a+m)(a-m)+b2=0，m2=a2+b2=OP2，m的最大值即為O町的最大值，等于OC+r=5+1=6，最小值為5-1=4,m的取值范圍是4,6，故選ABC.三、填空題已知a=(1,-2)，b=(2,九)，若ab，

12、則實(shí)數(shù)九=；若a丄b，則實(shí)數(shù)九=.【答案】-4，1【解析】由ab，可得1九=(-2)x2，解得九=-4；由a丄b，得ab=0，即1x2+(-2)九=0，解得九=1.故答案為-4，1.若平面向量a，b滿足a+bf2，-b|=耳3，則ab=.【答案】-14【解析】因?yàn)橄蛄縎b滿足匕+b=耳2,|a-b|f3,所以a2+2a-b+b2=0，a2-2a-b+b2=3，由-，得4a-b=-1，即a-b=,41故答案為-丁.42n15.已知非零向量a與b的夾角為丁，b=2，若a丄(a+b)，則|a=.答案】12n【解析】由a丄(a+b)，可得a-(a+b)=0，所以a2+a-b=0，即|a|2+|a|b|cos=0,又由Ib|=2，可得a2-a=