向量法求夾角

1、關(guān)于向量法求夾角第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月abABCD設(shè)異面直線a、b的夾角為cos = AB ,CDcos| |=AB CDAB| |CD| | = AB ,CD或 = AB ,CD 利用兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對值為兩直線的夾角的余弦而得。1 求直線和直線所成的角第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長為1,側(cè)棱長為,則這個棱柱的側(cè)面對角線 E1D與BC1所成的角是（ ）C1D1E1F1A1DBCFEAB1A.90 B. 60 C. 45 D. 30 (2002年全國高考） 解法一：連結(jié)FE1、

2、FD 、BC1四邊形BFE1C1是平行四邊形 FE1 BC1 FE1D是異面直線E1D與BC1所成的角或補角底長為1，棱長為= FE1 FDE1為等邊三角形 FE1D= 60 B第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解法2：建立如圖所示的直角坐標系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxyBC1DE1cos , =BC1DE1BC1 DE1|BC1|DE1|故 , BC1DE1= 60 E1D與BC1所成的角是60故應選 B第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一 法向量：如果一個向量所在直線垂直于平面，則該向量是平面的一個法向量。1 證明線面平行二 法向量的主要作用取和直線

3、平行的向量，驗證該向量和法向量的點積是否為零。a設(shè)平面的法向量為n ,na 是 a 的方向向量.aa n = 0a a第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,E是的BB1中點,求證:BD1平面A1C1 ECDBAB1C1D1A1EO法一：證明：連B1D1交A1C1于O連OEOD1= OB1B1E = BE OE BD1BD1平面A1C1 EOE 平面A1C1 EBD1平面A1C1 E第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月ECDC1D1BAA1B1zxy證法二：如圖所示建立直角坐標系,且設(shè)正方體的棱長為2,D1(0,0,0),B(2,2

4、,2),A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B=(2,2,2)A1E=(0,2,1)C1E=(2,0,1)設(shè)平面A1EC1的法向量為n = (x,y,z)nA1E =2y+ z =0nC1E =2x+ z =0令 x =1 時，z =2 ，y =1n = (1 ,1, 2 )D1B n = 0D1B nD1B 平面A1EC1 D1B 平面A1EC1第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2 證明面面垂直如圖設(shè)n1,n2 分別是平面、的法向量n1n2n1 n2 = 0當時a驗證兩個平面的法向量的點積是否為零。第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3、求直線和

5、平面所成的角CBn設(shè)直線BA與平面的夾角為，n 為平面的法向量,Ag1n 與向量BA 的夾角為銳角g1當=CBAng2n 與向量BA 的夾角為鈍角g2當=第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月BACOEF例1 如圖所示,已知正四面體OABC，E、F分別是AB、OC的中點。 (1) 求OE與BF所成的角； （2）求BF與平面ABC所成的角。分析:(1)設(shè)OA =caOB =bOC =abc求出OE ,BF,然后可求cos OE ,BFBFOE | |OE | |BF =(2)可過點O作OO平面ABC于點O，O若OO與BF所成的角為，則BF與平面ABC所成的角為第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)

6、作于2022年6月BACOEFabc解:(1)設(shè)正四面體OABC的棱長為1,OA =caOB =bOC =則a b =c b =a c| |= 1a| |=| |=bcOE( + )abBFcbOE BF = ( + )ab( )cb( a c+cb a b| |2b)第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月cos OE ,BFBFOE | |OE | |BF =OE與BF所成的角為BACOEFabc第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）求BF與平面ABC所成的角。BACOEFabc(2)作OO平面ABC于點O，設(shè)OO與BF所成的角為,則BF與平面ABC所成的角為OOO

7、=OC +COc=CEc=( )OEOCc= ( + )abc( + )abc+第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月BACOEFabcO| |2OO( + )2abc+( + )|a|2|b|2+|c|2 +2a bc b+2+2a c| |OOcos =OO,BFBFOO | |OO| |BF =( )cb( + )abc+第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月BACOEFabcOcos OO,BF求BF與平面ABC所成的角評析:利用向量討論線面關(guān)系不需作輔助線，但需要正確設(shè)出空間向量的基底，再利用多面體的性質(zhì)算出或找出其它的向量。第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于20

8、22年6月balqn1n2g4.法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系 設(shè) , = gn1n2設(shè)a l b的平面角為qq =gbalqn1n2gg兩個平面的法向量同時指向或背離。第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月balqn1n2gbalqn1n2g 設(shè) , = gn1n2設(shè)a l b的平面角為qq =g兩個平面的法向量一個指向另一個背離。第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,AC與BD交于點E, C1B與CB1交于點F.(1) 求證：A1C平面BDC1(2) 求二面角BEFC的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)證明:(1)

9、以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則FEC1D1CDB1A1BAzxyC (0,1,0),A1(1,0,1),B (1,1,0),D (0,0,0),C1(0,1,1),A1C= (1,1, 1),C1D= (0, 1, 1),BD =(1, 1, 0)A1C C1D= 01+1=0A1C C1DA1C BD= 11+0=0A1C BDC1D BD=DA1C平面BDC1第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解: (2)同（1）可知,D1B平面AB1CzxyEFC1D1CDB1A1AB由(1) A1C平面BDC1即向量D1B 是平面AB1C的一個法向量。,A1C 是平面BD

10、C1的一個法向量。A1C= (1,1, 1),D1B= (1,1, 1),cos , A1CD1BA1C D1B=| |A1C D1B| |故二面角BEFC的為第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例2.(2001年全國）如圖,在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中, 與面SBA所成的二面角的正切值。DBCAs解法1：延長BA、CD相交于E,E連接SE,則SE是所求二面角的棱AD BCBC=2 AD EA=AB=SASESBSA面ABCDSABCBC ABBC 面SEBSB是SC在面SEB上的射影。ABC=90,SA面ABCD,求面SCDSA= BC=AB=1,第二十張，PPT共三十六

11、頁，創(chuàng)作于2022年6月EDBCAsSCSECSB是所求二面角的平面角.BC=1SBC=90tan BSC即所求二面角的正切值為第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月DBCAszxy解法2 ：建立如圖所示的直角坐標系,C(1,1,0),S(0,0,1)AD且AD 是面SBA的法向量設(shè)平面SCD的法向量n =(x,y,z)DCSDn DC =0n SD =0即第二十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月DBCAszxy即令x=1,則ncosa= n AD|n|AD|從而 tana反思研究：求二面角大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量的夾角大小，兩平面法向量的夾角與二面角的大小相等或互

12、補，解題時要注意結(jié)合題目條件進一步確定二面角的大小。第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3(2001年天津）如圖,以正四棱錐VABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz,其中oxBC, oyAB, E為VC的中點,正四棱錐底面邊長為2a,高為h.(1)求cos BE ,DE（2）記面BC V為a,面DCV為b,BED是二面角aVC b的平面角,求BED。zyxOCDAVEB解:(1)依題意:B(a, a,0),C(a, a,0),D(a,a,0)BEDE第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月zyxOCDAVEBBEDEBE DE| |BE又| |DEco

13、s =BE ,DEDEBE | |BE| |DE 第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月zyxEOCDBAV(2) BED是二面角aVC b的平面角BE CVBE CV =0又由C(a, a,0),V(0, 0, h)CV =(a, a, h),BE又BE CV=0cos BE ,DEcos BE ,DE BED= BE ,DE第二十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月鞏固 練習例1 (2002年新教材高考題)如圖所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為(1) 建立適當?shù)淖鴺讼?并寫出點A、B、A1、C1的坐標；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。11

14、ACBBCA1解:(1) 如圖以點A為坐標原點O,以AB所在的直線為oy軸,y以AA1所在直線為oz軸,z以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為ox軸,建立空間直角坐標系,由已知得xA(0,0,0),B(0,a,0)A1(0,0, )第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月zxyACBB1C1A1(2) 取A1B1的中點M,于是有M連MC1、AM,有MC1AB=(0,a,0),AA1由于MC1AB=0MC1AA1=0MC1 平面ABB1A1AC1 與AM所成的角就是AC1 與側(cè)面ABB1A1所成的角。AC1AMAC1 AM第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月zxyA

15、CBB1C1A1MAC1AMAC1 AM|AC1|又|AM|cos , =AC1AM AC1 與側(cè)面ABB1A1所成的角為30評析:本題主要考查空間直角坐標系的概念，空間點和向量的坐標表示以及向量夾角的計算方法，考查運用向量研究空間圖形的數(shù)學思想方法。第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月B1C1BA1C例2(2003年全國)如圖直三棱柱ABCA1B1C1底面是等腰直角三角形,ACB=90,側(cè)棱AA1=2,D、E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)AEDG解:連結(jié)BG,則BG是BE在面AB

16、D上的射影即A1BG是A1B與ABD所成的角。如圖所示建立直角坐標系,坐標原點為C設(shè)CA=2a,則 A(2a,0,0 ), B(0, 2a, 0 ),D(0, 0 , 1 ),E(a, a , 1 ),GEBD=(0, 2a, 1 )GE 由BD=0得 a= 1第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月B1C1BA1CAEDG B(0,2,0),A1(2,0,2)BA1=(2, 2 ,2),BG cosA1BG=BA1BG|BA1|BG|A1B與平面ABD所成的角是第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月EOCDBAS3.正四棱錐SABCD的棱長為，底面的邊長為E是SA的中點，求異面直線BE和SC所成的角。解法1：設(shè)O為底面的中心，連EO則 EOSC則BEO為異面直線BE和SC所成的角又 BD面SAC BDOE tan BEO BEO = 60異面直線BE和SC所成的角為60第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月EODBAS解2：如圖所示建立空間直角坐標系zyxCBESC第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月EODBASzyxCBESCBE SC=1BE| |=| |=SCcos =BE ,SC = 120BE ,