幾種特殊的二階張量

1、及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)12.5 幾種特殊的二階張量2.5.1 零二階張量O2.5.2 度量張量G22.5.3 二階張量的冪2.5.3.1 二階張量的正整數(shù)次冪n 個(gè)T2.5.3.2 二階張量的零次冪2.5.3.3 二階張量的負(fù)正整數(shù)次冪n 個(gè)T -132.5.4 正張量、非負(fù)張量及其方根、對(duì)數(shù)定義 正張量N O滿足uNu=N:uu0 對(duì)于任意u0 非負(fù)張量N O滿足uNu=N:uu0 對(duì)于任意u0正張量、非負(fù)張量都是對(duì)稱二階張量。對(duì)稱二階張量必定可在一組正交標(biāo)準(zhǔn)化基中化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形N 為正張量的必要且充分條件是 Ni 0N 為非負(fù)張量的必要且充分條件是 Ni04對(duì)于非負(fù)張量N O，存在唯一的非負(fù)張量M

2、 O，使定義M 為N 的方根，記作可證：M與N具有相同的主方向。且其主分量為若N O，p為非負(fù)整數(shù)，則存在唯一的S=N 1/pO5正張量N O 的對(duì)數(shù)lnN:可證：利用任意一個(gè)非對(duì)稱二階張量T 可構(gòu)造兩個(gè)非負(fù)張量如果T 是正則的，則X，Y 是正張量：一般來(lái)說(shuō)，X，Y 是兩個(gè)不同的張量?？勺C：它們具有相同的主分量，只是主軸方向不同而已。62.5.5 二階張量的值滿足范數(shù)公理的三個(gè)條件：非負(fù)性、對(duì)稱性與三角不等式，可作為二階張量空間的一種范數(shù)。2.5.6 反對(duì)稱二階張量2.5.6.1 定義 滿足 T 的張量稱為反對(duì)稱張量。在任一笛卡兒坐標(biāo)系中72.5.6.2 反對(duì)稱二階張量的主不變量2.5.6.2

3、 反對(duì)稱二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形 的特征方程特征方程的根 的軸或零向e3滿足設(shè)與l，對(duì)應(yīng)的特征矢量（復(fù)數(shù)基）為g1，g28在g1，g2，e3中， 可化為對(duì)角型標(biāo)準(zhǔn)形在垂直于e3的平面內(nèi)，任選e1 e2 。在e1，e2，e3 內(nèi)， 可化為實(shí)數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形：92.5.6.4 反對(duì)稱二階張量的反偶矢量定義 矢量 與 之間滿足 則稱 為反對(duì)稱二階張量 的反偶矢量。而稱與 互為反偶。易證：（ 包含了 的全部信息）102.5.6.5 反對(duì)稱二階張量所對(duì)應(yīng)的線性變換對(duì)于空間任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，e1e2e3 uu uu+ u當(dāng)1時(shí)， 代表了小轉(zhuǎn)動(dòng)， 是小轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。112.5.7 正交張量2.5

4、.7.1 定義 一個(gè)正則二階張量，其逆與其轉(zhuǎn)置張量相等，則稱該正則二階張量為正交張量，用Q 表示。即 在一般的斜坐標(biāo)系中， ，正交張量的矩陣不是正交矩陣。只有在笛卡兒坐標(biāo)系中，才有122.5.7.2 正交變換的“保內(nèi)積”性質(zhì) 定理 任意矢量u，v 用同一個(gè)正交張量進(jìn)行映射后，其內(nèi)積不變，即 逆定理 若一個(gè)二階張量對(duì)于任意兩個(gè)矢量u，v 進(jìn)行線性變換后，仍保持此二矢量的內(nèi)積不變，則此二階張量必定是正交張量Q。 幾何意義：正交變換只能將空間一組基矢量進(jìn)行剛性旋轉(zhuǎn)（可能加鏡面反射），不能改變它們的長(zhǎng)度與夾角。132.5.7.3 正交張量的并矢表達(dá)式如果采用正交標(biāo)準(zhǔn)化基 ei ，則142.5.7.4 正交張量的標(biāo)準(zhǔn)形R 使 gi 只產(chǎn)生整體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，右手系的 gi 仍變?yōu)橛沂窒?；R 使 gi 不僅有剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，還進(jìn)行了一次鏡面反射。 設(shè)Q 的特征方程的特征根分別為 ，其中必有一個(gè)模等于1的實(shí)根。于是可設(shè)15所對(duì)應(yīng)的特征方向上的單位矢量e3，稱為正交張量的軸。一般可設(shè)16復(fù)數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形在垂直于e3的