2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習-第7篇-第7節(jié)-立體幾何中的向量方法課時訓(xùn)練-理

1、2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第7篇 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時訓(xùn)練 理【選題明細表】知識點、方法題號利用向量證明空間線面位置關(guān)系1、3、5、7、13利用空間向量求空間角2、4、6、8利用空間向量求距離9利用空間向量解決綜合性問題10、11、12、14、15一、選擇題1.若直線l的方向向量為a,平面的法向量為n,有可能使l的是(D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l,則an=0.而選項A中an=-2.選項B中an=1+5=

2、6.選項C中an=-1,選項D中an=-3+3=0,故選D.2.(2014海南?？谀M)在空間中,已知 QUOTE =(2,4,0), QUOTE =(-1,3,0),則異面直線AB與DC所成角的大小為(A)(A)45(B)90(C)120(D)135解析: QUOTE =(2,4,0), QUOTE =(-1,3,0),cos= QUOTE = QUOTE = QUOTE .=45.即AB與DC所成的角為45.3.(2014陜西西安模擬)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,M、N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN= QUOTE a,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(B

3、)(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能確定解析:分別以C1B1、C1D1、C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.A1M=AN= QUOTE a,M(a, QUOTE a, QUOTE ),N( QUOTE a, QUOTE a,a), QUOTE =(- QUOTE ,0, QUOTE a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0), QUOTE =(0,a,0), QUOTE QUOTE =0, QUOTE QUOTE . QUOTE 是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.4.(2014山東濰坊模擬)正三棱柱ABCA1B1C1中,

4、AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為(C)(A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解析:建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)AB=2,則C1( QUOTE ,1,0),A(0,0,2), QUOTE =( QUOTE ,1,-2),平面BB1C1C的一個法向量為n=(1,0,0),所以AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為 QUOTE = QUOTE = QUOTE .5.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線NO、AM的位置關(guān)系是(C)(A)平行(B)

5、相交(C)異面垂直(D)異面不垂直解析:建立坐標系如圖,設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2), QUOTE =(-1,0,-2), QUOTE =(-2,0,1), QUOTE QUOTE =0,則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直.6.(2014大連模擬)在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD平面ABCD,AB=PD=a.點E為側(cè)棱PC的中點,又作DFPB交PB于點F.則PB與平面EFD所成角為(D)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,D為坐標原點.則P(0,0,a),B(a

6、,a,0), QUOTE =(a,a,-a),又 QUOTE =(0, QUOTE , QUOTE ), QUOTE QUOTE =0+ QUOTE - QUOTE =0,所以PBDE,由已知DFPB,且DFDE=D,所以PB平面EFD,所以PB與平面EFD所成角為90.二、填空題7.(2014大慶模擬)已知平面和平面的法向量分別為a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且,則x=.解析:由題意得ab=x-2+6=0,x=-4.答案:-48.等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角CABD的余弦值為 QUOTE ,M、N分別是AC、BC的中點,則EM、AN所成角的余弦值等于.解

7、析:過C點作CO平面ABDE,垂足為O,取AB中點F,連接CF、OF,則CFO為二面角CABD的平面角,設(shè)AB=1,則CF= QUOTE ,OF=CFcosCFO= QUOTE ,OC= QUOTE ,則O為正方形ABDE的中心,如圖所示建立直角坐標系Oxyz,則E QUOTE ,M QUOTE ,A QUOTE ,N QUOTE , QUOTE = QUOTE , QUOTE = QUOTE ,cos= QUOTE = QUOTE .答案: QUOTE 9.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1上的點,則點E到平面ABC1D1的距離是.解析:法一以點D為坐標原點,D

8、A,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè)點E(1,a,1)(0a1),連接D1E,則 QUOTE =(1,a,0).連接A1D,易知A1D平面ABC1D1,則 QUOTE =(1,0,1)為平面ABC1D1的一個法向量.點E到平面ABC1D1的距離是d= QUOTE = QUOTE .法二點E到平面ABC1D1的距離,即B1到BC1的距離,易得點B1到BC1的距離為 QUOTE .答案: QUOTE 三、解答題10.(2014高考遼寧卷)如圖,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E、F分別為AC、DC的中點.(1)求證:

9、EFBC;(2)求二面角EBFC的正弦值.(1)證明:法一過E作EOBC,垂足為O,連OF.由ABCDBC可證出EOCFOC.所以EOC=FOC= QUOTE ,即FOBC.又EOBC,因此BC平面EFO,又EF平面EFO,所以EFBC.法二由題意,以B為坐標原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖2所示空間直角坐標系.易得B(0,0,0),A(0,-1, QUOTE ),D( QUOTE ,-1,0),C(0,2,0).因而E(0, QUOTE , QUOTE ),F( QUOTE , QUOTE ,0),所以 Q

10、UOTE =( QUOTE ,0,- QUOTE ), QUOTE =(0,2,0),因此 QUOTE QUOTE =0.從而 QUOTE QUOTE ,所以EFBC.(2)解:法一在圖1中,過O作OGBF,垂足為G,連EG.由平面ABC平面BDC,從而EO平面BDC,又OGBF,由三垂線定理知EGBF.因此EGO為二面角EBFC的平面角.在EOC中,EO= QUOTE EC= QUOTE BCcos 30= QUOTE ,由BGOBFC知,OG= QUOTE FC= QUOTE ,因此tanEGO= QUOTE =2,從而sinEGO= QUOTE ,即二面角EBFC的正弦值為 QUOTE

11、.法二在圖2中,平面BFC的一個法向量為n1=(0,0,1).設(shè)平面BEF的法向量為n2=(x,y,z),又 QUOTE =( QUOTE , QUOTE ,0), QUOTE =(0, QUOTE , QUOTE ).由 QUOTE 得其中一個n2=(1,- QUOTE ,1).設(shè)二面角EBFC的大小為,且由題意知為銳角,則cos =|cos=| QUOTE |= QUOTE ,因此sin = QUOTE = QUOTE ,即所求二面角的正弦值為 QUOTE .11.(2014河北石家莊二模)如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,ACBC,H為PC的中點,M為AH的中點,PA=AC=2,

12、BC=1.(1)求證:AH平面PBC;(2)求PM與平面AHB成角的正弦值;(3)設(shè)點N在線段PB上,且 QUOTE =,MN平面ABC,求實數(shù)的值.(1)證明:因為PA底面ABC,BD底面ABC,所以PABC,又因為ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,又因為AH平面PAC,所以BCAH.因為PA=AC,H是PC中點,所以AHPC,又因為PCBC=C,所以AH平面PBC.(2)解:在平面ABC中,過點A作ADBC,因為BC平面PAC,所以AD平面PAC,又PA底面ABC,得PA,AC,AD兩兩垂直,所以以A為原點,AD,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系則A(0

13、,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0, QUOTE , QUOTE ).設(shè)平面AHB的法向量為n=(x,y,z), QUOTE =(0,1,1), QUOTE =(1,2,0),由 QUOTE 得 QUOTE 令z=1,得n=(2,-1,1).設(shè)PM與平面AHB所成角為,因為 QUOTE =(0, QUOTE ,- QUOTE ),所以sin =|cos|=| QUOTE |=| QUOTE |即sin = QUOTE .(3)解:因為 QUOTE =(1,2,-2), QUOTE = QUOTE ,所以 QUOTE =(,2,-2),又因

14、為 QUOTE =(0, QUOTE ,- QUOTE ),所以 QUOTE = QUOTE - QUOTE =(,2- QUOTE , QUOTE -2).因為MN平面ABC,平面ABC的一個法向量 QUOTE =(0,0,2),所以 QUOTE QUOTE =3-4=0,解得= QUOTE .能力提升12.(2014吉林長春模擬)將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC,則下面結(jié)論錯誤的為(C)(A)ACBD(B)ACD是等邊三角形(C)AB與平面BCD所成的角為60(D)AB與CD所成的角為60解析:取BD中點O,連接AO、CO,則AOBD,COBD,BD平面AOC,ACBD,又

15、AC= QUOTE AO=AD=CD,ACD是等邊三角形,而ABD是AB與平面BCD所成的角,應(yīng)為45.又 QUOTE = QUOTE + QUOTE + QUOTE (設(shè)AB=a),則a2=a2+2a2+a2+2a QUOTE a(- QUOTE )+2a QUOTE a(- QUOTE )+2a2cos,cos= QUOTE ,AB與CD所成的角為60.13.空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設(shè)M,N分別是BD,AE的中點,給出如下命題:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE異面.則所有的正確命題為.解析:如圖,設(shè) QUOTE =a、 QUOTE =b、 QUO

16、TE =c,則ab=cb=0. QUOTE = QUOTE - QUOTE = QUOTE (b+c)- QUOTE (a+b)= QUOTE (c-a), QUOTE QUOTE = QUOTE (c-a)b= QUOTE (cb-ab)=0,故ADMN; QUOTE =c-a=2 QUOTE ,故MNCE,故MN平面CDE,故正確;正確時一定不正確.答案:14.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上.(1)求異面直線D1E與A1D所成的角;(2)若二面角D1ECD的大小為45,求點B到平面D1EC的距離.解:建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)

17、由A1(1,0,1),得 QUOTE =(1,0,1),設(shè)E(1,a,0),又D1(0,0,1),則 QUOTE =(1,a,-1). QUOTE QUOTE =1+0-1=0, QUOTE QUOTE ,則異面直線D1E與A1D所成的角為90.(2)m=(0,0,1)為平面DEC的一個法向量,設(shè)n=(x,y,z)為平面CED1的法向量,則cos= QUOTE = QUOTE =cos 45= QUOTE ,z2=x2+y2,由C(0,2,0),得 QUOTE =(0,2,-1),則n QUOTE ,即n QUOTE =0,2y-z=0,由、,可取n=( QUOTE ,1,2),又 QUOTE

18、 =(1,0,0),所以點B到平面D1EC的距離d= QUOTE = QUOTE = QUOTE .探究創(chuàng)新15.(2014高考江西卷)如圖,四棱錐PABCD中,ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求證:ABPD;(2)若BPC=90,PB= QUOTE ,PC=2,問AB為何值時,四棱錐PABCD的體積最大?并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.(1)證明:ABCD為矩形,故ABAD;又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)解:過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,連接PG.故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG,在RtBPC中,PG= QUOTE ,GC= QUOTE ,BG= QUOTE .設(shè)AB=m,則OP= QUOTE = QUOTE ,故四棱錐PABCD的體積為V= QUOTE QUOTE m QUOTE = QUOTE .因為m QUOTE = QUOTE = QUOTE ,故當m= QUOTE ,即AB= QUOTE 時,四棱錐PABCD的體積最大.此時,建立如圖所示的坐標系,各點的坐標為O(0,0,0),B( QUOT