中考數(shù)學中考最后壓軸題訓練折疊旋轉(zhuǎn)問題

1、1. （13江蘇徐州卷）在平面直角坐標系中，已知矩形ABCW,邊AB = 2 ,邊AD = 1 ,且AB AD分另U在x軸、y軸的正半軸上，點 A與坐標原點重合.將矩形折疊，使點A落在邊DC上，設(shè)點A，是點A落在邊DC上的對應(yīng)點.（1）當矩形ABCD&直線y=x+b折疊時（如圖1）,y|DO（圖1）求點A，的坐標和b的值;（2）當矩形ABCD&直線y=kx+b折疊時,2 求點A，的坐標（用k表示）；求出k和b之間的關(guān)系式;如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖2、3、4所示的三種情形,請你分別寫出每種情形時 k的取值范圍.（將答案直接填在每種情形下的橫線上）OE = b, OF = 2b

2、,設(shè)點A的坐標為（a, 1） 因為 /DOA+/AOF =90，ZOFE +/AOF =90工 所以 /DOA=/OFE ,所以 DOAAOFE所以DADO,即且=工，所以O(shè)E OF b 2b所以點A的坐標為（1,1)2連結(jié) AE ,貝U AE =OE=b .在RA DEA，中，根據(jù)勾股定理有 A2=AD2+DE 即 b2=(1)2+(1.b)2,解得 b=5.28(2)如圖答6,設(shè)直線y = kx+b與ODfe于點E, 則OE = b, OF =_b ,設(shè)點 A，的坐標為(a, 1) . k因為 /DOA+/AOF =90, ZOFE 十/AOF =90 所以 /DOA，=/OFE,所以 D

3、OAAOFE與OB交于點F,連結(jié)A，O ,所以DA DOOE OF，即a4,所以a_.k所以AL點的坐標為(-k, 1).AE=b .連結(jié) AE ,在 RtA DEA，中，DA，= -k , DE =1 b 因為 AE2 =AD2 +DE2 ,2所以 b2 =(*)2+(1-b)2.所以 b=k一12在圖答6和圖答7中求解參照給分.(3)圖 13-2 中：-2k-1;圖 13 3 中：-1 k -2+V3；圖 13 4 中：-2+73wkE0yyi均是一道有美折疊的問霜:中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想,請注意體會。J2. E（13C西欽州卷）如圖，在阡(A)F B x OE為AB上一點，把A

4、CBE沿CE（圖答的坐標分別為（5,0）和（3,0）.(1)求點C的坐標;(A)FE面直氟坐標系中，矩形OABC 比(A)BxD、點目似形等知人折疊，使點B恰好落在OA邊上的點D處，點八(2)求DE所在直線的解析式;(3)設(shè)過點C的拋物線y =2x2+V3bx + c（b 0）與直線BC的另一個交點為M ,坐標；若不存在，請說明理由.ymB在該拋物線上是否存在點 G ,使得4CMG為等邊三角形.若存在，求出點 G的解(1)根據(jù)題意，得 CD=CB = OA = 5, OD = 3,丁 / COD =90，: OC =JCD2 OD2 = .點C的坐標是(0,4);：AB=OC=4,設(shè) AE=x

5、,貝U DE =BE =4-x,AD =OA-OD =5-3 = 2,在 RtDEA 中，DE2 =AD2 +AE2 .(4 -x)2 =22 +x2.解之，得x = 3 ,2即點E的坐標是匕,31.I 2 J設(shè)DE所在直線的解析式為y = kx + b,3k=7解之，得 4b = -9.4.DE所在直線的解析式為y = -x-944(3) ;點 C(0,4)在拋物線 y=2x2 +152 -32 = 4 .即拋物線為y = 2x2+V3bx+4.假設(shè)在拋物線y =2x2 +6bx + 4上存在點G ,使得4CMG為等邊三角形,根據(jù)拋物線的對稱性及等邊三角形的性質(zhì)，得點G一定在該拋物線的頂點上

6、.設(shè)點G的坐標為（m, n）,3bm 二2 23b 4 2 4 -( 3b)232 -3b2,n =,即點G的坐標為展3 32 一3b設(shè)對稱軸x=-1b與直線CB交于點F,與x軸交于點H.則點F的坐標為：b 0 ,點G在y軸的右側(cè),CF=m34FH =4, FG =42232-3b2 3b2?CM =CG =2CF,3b，在 RtACGF 中,222CG2 ;CF2 +FG2,:叵j=匚叵|2( J 一1丁 J 18 J2 2?解之，得 b = 2.(；b 0).232 -3b25n 二二一、3，點G的坐標為,使得4CMG為等邊三角,在拋物線y =2x2+A/3bx + 4(b0)上存在點GI

7、2 2；形.點評這是一道以折疊為背景的綜合型壓軸題，綜合性較強，這類試題在各地 中考題中出現(xiàn)的頻率不小，本題中第 1、2小題只需根據(jù)折疊的基本性質(zhì)結(jié)合函數(shù)知識即可得解，第3小題是探究型問題，是一道檢測學生能力的好題。為3 （13湖北咸寧卷）如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，原點，點A在x軸的正半軸上，點 C在y軸的正半軸上，OA = 5, OC = 3 .(1)在AB邊上取一點D,將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處,求點D , E的坐標；(2)若過點D, E的拋物線與x軸相交于點F(5,0),求拋物線的解析式和對稱軸方程；(3)若(2)中的拋物線與y軸交于點H ,在

8、拋物線上是否存在點P,使4PFH的內(nèi)心在坐標軸 上？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由. (4)若(2)中的拋物線與y軸相交于點H，點Q在線段OD上移動，作直線HQ , 當點Q移動到什么位置時，O, D兩點到直線HQ的距離之和最大？請直接寫出此時點Q的坐標及直線HQ的解析式.BE-x4. .(14 臺州市)24 .如圖，四邊形OABC是一張 放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA 的點D處.已知折疊CE=575,且tan/EDA =3.4(1)判斷AOCD與4ADE是否相似？請說明理(第24 由；(2)求直線CE與x軸交點P的坐標;

9、(3)是否存在過點D的直線l ,使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線 l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在， 請直接寫出其解析式并畫出 相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由.解：(1) AOCD 與 4ADE 相似.理由如下： 由折疊知，ZCDE =/B=90 , /1+/2=90 , Z1 +/3=90:二/2=/3.又 :/COD =NDAE =90 ,.OCDs/X ade .AE 3 tanZEDA A = - , .設(shè) AE = 3t, AD 4貝U AD =4t .由勾股定理得DE=5t.OC =AB =AE +EB = AE +DE =3t +5t =8t .由(

10、1) OCDs/XADE,得 OC=CD AD DE,8t CD-, )4t 5tCD =10t .在 ADCE 中，CD2 +DE2 =CE2,.(10t)2 +(5t)2 =(5而)2,解得 t=1.OC=8, AE=3,點 C 的坐標為(0,8),點E的坐標為(10,3), 設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,10k八3,解得k =9 b = 8,b=8,1：y = - x+8,則點P的坐標為（16,0）.2（3）滿足條件的直線l有2條：y = -2x + 12, y =2x -12 .如圖2:準確畫出兩條直線.5.（14 寧德市）26.已知：矩形紙片 ABCD中，AB=26厘米，BC =

11、 18.5厘米,點E在AD上，且AE=6厘米，點P是AB邊上一動點.按如下操作: 步驟一，折疊紙片，使點 P與點E重合，展開紙片得折痕 MN （如圖1所示）；步驟二，過點P作PTLAB,交MN所在的直線于點Q,連接QE （如圖2所示）（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQ QE （填“U、 =號）；（2）如圖3所示，將紙片ABCD放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：當點P在A點時，PT與MN交于點Qi, Qi點的坐標是（, ）;當PA=6厘米時，PT與MN交于點Q2, Q2點的坐標是（, ）；當PA =12厘米時，在圖3中畫出MN, PT （不要求寫畫法），并求出MN與PT 的交點

12、Q3的坐標；（3）點P在運動過程，PT與MN形成一系列的交點Q1, Q2, Q3,觀察、猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式.C * 解：（1）FQ=QE.,角A方法e設(shè)mn與bp交A點點.Pb在 RtAAPE%】 PE =JAE2 +AP2 =6拆 21b y 18 二12 一60（耳121824BPF =1PE =3而.2/Q3PF +/EPA =90 , /AEP+/EPA=90/Q3PF =/AEP .圖3又NEAP =NQ3FP =90. .Q3PFPEA .Q3P PF PE EA9(1215).方法二：過點E作EG_LQP,垂足為G,則四邊形APGE是矩

13、形.：GP=6, EG =12.設(shè) Q3G =x ,貝1j Q3E =Q3P =x +6 .在 RHQsEG 中， EQ2 =EG2 +QG2 ._ 2_22(x +6) =12 +x .Q3P =125.9(12,15).(3)這些點形成的圖象是一段拋物線.函數(shù)關(guān)系式：y =x2 +3(0 x 26).126. (14日照市)24.如圖，直線EF將矩形紙片ABC6成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E,與AD交于點F(E, F不與頂點重合)，設(shè)AB=a,AD=b,BE=x(I)求證：AF=EC(n)用剪刀將紙片沿直線 EF剪開后，再將紙片 ABE船AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECD

14、F勺下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作 EE B C.(1)求出直線EE分別經(jīng)過原矩形的頂BE,直線BE與A和頂點D時，所對應(yīng)的x : b的值;(2)在直線EE經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連接EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，請你說明當 a與 b滿足什么關(guān)系時，它們垂直?解：(I )證明：AB=a AD=b BE=x , S梯形 abe= S 梯形 cdfe11，-a(x+AF)= 1a(EC+b-AF),22.2AF=EG(b-x).又 EO b-x, .2AF=2EC 即 AF=EC圖(一)(n) (1)當直線eE經(jīng)過原矩形的頂點

15、D時，如(一)，V EC/ E B,.EC _ DC.E B DB由 EC= b-x, E B=EB=x, DB =DGCB =2a,陽 b -x a 倚=一,x 2ax ： b=2 3 ；當直線E E經(jīng)過原矩形的頂點 A時，如圖(二)在梯形AE B D中，EC/ E B,點C是DB的中點，.CE=1(ADf E B), 2即 b-x= 1 (b+x), 2 K 1一 x . b=3 ,（2）如圖（一），當直線EE 經(jīng)過原矩形的頂點 D時，BE / EF.證明：連接BF.V FD/ BE FD=BE,四邊形FBE嗝平行四邊形，.FB/ DE FB=DE又 EC/ E B,點C是DB的中點，.D

16、E=EE，. FB/ EE , FB= EE,四邊形BE EF是平行四邊形. BE / EF.如圖（二），當直線EE 經(jīng)過原矩形的頂點 A時，顯然BE與EF不平行，設(shè)直線EF與BE交于點G過點E彳E ML BC于M 則E附a. . x : b=l, 3EM=-B（=-b. 33若BE 與EF垂直，則有/GB+/BEG90 ,圖又 / BEG/ FEC= / MEE ,/MEE +/ MEZGBiZME E.在 RtABME 中 , tan / E BM= tan ZGBEEM = -a-.BM 2 b 3. EM nb在 RtEME 中,tan/ME E = EM = 3EM a3b2b a3

17、又0, b0,.當a =4！時，BE與EF垂直. b 3(14荊門市)28.如圖1,在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC已知qo , 0) , A(4 , 0), qo , 3),點P是OA邊上的動點(與點Q A不重合).現(xiàn)將4PAB沿PB翻折，得到 PDB再在OC邊上選取適當?shù)狞c E,將 POE沿PE翻折，得到 PFE并使直線PD PF重合.(1)設(shè)P(x, 0), E(0 , y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；(2)如圖2,若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、R E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q使 PEQ是以PE為直角邊的直角三角形

18、？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標.圖1圖2解：(1)由已知PB平分/APD, PE平分/OPR 且 PD、PF重合ZBPE：90 . ./ OPE- /APB：90 .又/ AP拼 / ABP=90 , . . / OPE/PBARtAPOE RtABP/A.PO _ BA. OE 一而即 x =_3 . /. y=1 x(4 x) = 1x2 +4x(0 Vx4).y 4-x333且當x=2時，y有最大值3.（2）由已知， PAB POE勻為等腰三角形，可得 R1 ,0), E(0, 1), B(4,3).c = 1,設(shè)過此三點的拋物線為y=ax2+bx+ c,則BP在 RtAB

19、NP中，BN= BA=a, / PBN=30/ TOC o 1-5 h z aav 3BP= _b.-.a b. cos30Jcos30c2.當a -b時，在矩形上能剪出這樣的等邊 BMP2M BC =60 ABM =90 60 =30在 RtAABM 中，tan Z ABM = tan30 O =- /.AM ;巫 AB23.M（當叵，2）.代入 y=kx 中，得 k=3 = 時 3233設(shè)AABM沿BM折疊后，點A落在矩形ABC吶的點為A 過A作AH _LBC交BC于H A A BM ABM ZAfeM r=ZABM r=30 , A*B= AB =2 ZAfeH =/MBH - /ABM

20、 =30 . A_在 RtzXA,BH中， aH=，aB=1, BH=v32Af（3,1 ）卜落在EF上.（圖2）（圖3）O為坐標原點，AB/x軸，B (3,布)，現(xiàn)將紙片按如圖折疊，AD DE為折痕,/OAD=30叫 折疊后，點O落在點01 ,點C落在點C1,并且DO1與DC1在同一直 線上.(2)求經(jīng)過三點 Q a, C的拋物線的解析式；y(3)若。P的半徑為R,圓心P在(2)OP與兩坐標軸都相切時，求。解：(1)由已知得0A =Q,N0AD =30，,3 0D =OAtan30=V3x =1 ,3A(0,出)，D(1,0).設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b .把A, D坐標代入上式得：P

21、半徑R的值.25b = , 3k b =0(第25題在萬/日k = 3解得： _b =、. 3折痕AD所在的直線的解析式是 (2)過C1作GF，0C于點F, 由已知得. ADO =/AD01 =60二 /C1DC =60，又 DO31 = 2,二在 RtAC1DF 中，-DF = DC1 =1 ,2Ci(2,6 ),而已知DC1 =DC = 2 .C1F =DC1Lsin/C1DF = 2父 sin60 ,= 73 .C(3,0 ).法一：設(shè)經(jīng)過三點 Q C, C的拋物線的解析式是y = ax(x-3)_j-點C1(2,石)在拋物線上，2a(2-3) = 73,a =-理2、3x x -3 二

22、2(1)求折痕AD所在直線的解析式;法二：設(shè)經(jīng)過三點 Q C, C的拋物線的解析式是y=ax2+bx + c,(a=0).把Q C, C的坐標代入上式得：c =04a+2b 4c =4，9a +3b g=0a=-J3解得b=3,y=_星X2+3X為所求.222c =0，J(3)設(shè)圓心p(xy卜則當。P與兩坐標軸都相切時，有 y=x.由 y =x,得除x2 +323x=x,解得 Xi =0 (舍去)，X2=3差.由 y =-X , 得一包x2+33x =-x解得 x1 =0 (舍去)， x2 =3 + 23.23所求。P的半徑R=3-R3或R = 3+R3 .310.(14 重慶市)28 .已知

23、，在 RtOAB中，/ OA由 90, / BOAf 30, AB=2。若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)。將 RtAOABn OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點 C處。(1)求點C的坐標；(2)若拋物線y=ax2+bx (a0)經(jīng)過C A兩點，求此拋物線的解析式；(3)若拋物線的對稱軸與 OB交于點D,點P為線段DB上一點，過P作y軸 的平行線，交拋物線于點 M問：是否存在這樣的點 P,使得四邊形CDPMfc等 腰梯形？若存在，請求出此時點 P的坐標；若不存在，請說明理由。2./ 2、注：拋物線y=ax2+bx+c (a0)的頂點坐標為 -一

24、,ac一，對稱軸2a 4a j公式為x =- 2a解：(1)過點C作CHL x軸，垂足為H.在 RtOAB中，/ OA品 900, /BOAf 300, AB= 2O氏4,。上 2 3由折疊知，/ CO品300, OO。七243丁/COHk 60, OHk 3 , CH 3.C點坐標為（翼,3） 拋物線 y =ax2 +bx （ a 乎 0）經(jīng)過 C （忌，3）、A （273 , 0）兩點3 = （73 2 a + V3b120=23 a 2.3b此拋物線的解析式為:解得:-1= 2.3y - -x2 2.3x（3）存在。因為y = x2+2j3x的頂點坐標為（J3, 3）即為點CMP，x軸，

25、設(shè)垂足為 N, PN t,因為/BOA= 300,所以O(shè)Nk 33 t .P （ 3t, t）作PQL CD,垂足為Q, MH CD垂足為E把 x = 43 t代入 y = -x2 +2*3x得：y = -3t2 +6tM（gt, -3t2 +6t）, E （ M , -3t2+6t）同理：Q（ 73, t）, d（ J3, 1）要使四邊形CDPMfc等腰梯形，只需 CE= QD即 3-（-3t2+6t）=t-1,解得：l=, t2=i （舍）3p點坐標為（4J3,）33.存在滿足條件的點P,使得四邊形CDPMJ等腰梯形，此時P點的坐為（4石，4）33（15山東青島）24.（本小題滿分12分）

26、已知：如圖，在 RtzXACB中，/C=90，AC=4cm, BC = 3cm ,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速 運動，速度為2cm/s；連接PQ.若設(shè)運動的時間為t(s) (0t0)的圖象與AC邊交于點E.(1)求證：ZXAOE與ABOF的面積相等;(2)記s=s-ef s.ecf,求當k為何值時，S有最大值，最大值為多少?(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點 F,使得將4CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.(15浙江湖州24題解析)24.(本小題12分)(1)證明：設(shè) E(Xi, y1)，

27、F(x2, y) , 4AOE 與 FOB 的面積分別為 Si , S2 ,由題意得 y1 = , y2 =. X1X2.=1x41=4,S2x2y2k.2222.&=&,即4AOE與AFOB的面積相等.(2)由題意知:E, F兩點坐標分別為l / kF I 4,41,Sa ecf = EClCF212, S = k +k .12當k =- /21=6時，S有最大值.112S -1-3SM大值一:1 、3 4 i -,12AN(3)解：設(shè)存在這樣的點F ,將4CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB邊上的M點，過點E作EN _LOB ,垂足為N .11由題息得：EN=AO=3, EM=EC=4k,

28、 MF=CF=3k, 34；/EMN +4MB =/FMB +/MFB =90 ,EMN =/MFB .又：ENM =/MBFJ.ENM s/XMBF .EN EMMB MF MB1 , 4 k _3_ 3-1k4141 - -kI 12 J1，3 1- k,129MB =一 42/MB2 +BF2 =MF2 ,_3k i ,解得k=2144.4一.BF =k214 32,存在符合條件的點F ,它的坐標為4,21I 32 J13 （15浙江衢州）24、（本題14分）已知直角梯形紙片OABCS平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為0（0, 0）,A(10, 0), B(8, 2網(wǎng)，

29、C（0, 2J3）,點T在線段OA上（不與線段端點重合），將紙片折疊，使點 A落在射線AB上（記為點A）,折痕經(jīng)過點T,折痕TP與射線AB交于點P,設(shè)點T的橫坐標為t,折疊后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S;（1）求/OAB的度數(shù)，并求當點 A在線段AB上時，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;（2）當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍;（3）S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在,請說明理由。（15浙江衢州24題解析）T A x24、（本題14分）解：（1）A, B兩點的坐標分別是 A（10, 0）和B（8, 2石）,tan/OAB = 23-=淄,10 -8O

30、AB =60當點A在線段AB上時，: /OAB=60% TA=TA ,.ATA是等邊三角形，且TP_LTA,_1 _1A P = AP = AT = (10 t),22，3 ” .、- TP =(10 t)sin60* = (10 t),（2）當點A在線段AB的延長線，且點P在線段AB（不與B重合）上時,紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖（1）,其中E是TA與CB的交點）,當點P與B重合時，AT=2AB=8點T的坐標是0)又由（1）中求得當A與B重合時，T的坐標是（6,所以當紙片重疊部分的圖形是四邊形時,2 :二 t :二6。0)EPB（3）S存在最大值OT的增大而減小，。當 6 Mt 10時，

31、S = *(10 t)2 ,在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t8二當t=6時，S的值最大是273 0當2 S - S = (10 -t)2 -(10 -t -4)2 822當t=2時，S的值最大是4,；3 ；當0t2,即當點A和點P都在線段AB的延長線是(如圖Q,其中E是TA與CB的交點，F(xiàn)是TP與CB的交點)，/EFT=/FTP=/ETF ,四邊形 ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4 S = EF OC = 4 2 3 = 4.3 22綜上所述，S的最大值是4,；3 ,此時t的值是0 t E 2。14 15浙江紹興)24.將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，0(0,0) , A(

32、6,0),2C(0,3).動點Q從點。出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動三 3秒時，動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿 AO向終點O運動.當其中一點到達終點時，另一點也停止運動.設(shè)點 P的運動時間為t (秒).(1)用含t的代數(shù)式表示OP, OQ ; 當t=1時，如圖1,將4OPQ沿PQ翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處， 求點D的坐標；(3)連結(jié)AC ,將4OPQ沿PQ翻折，得到EP、，如圖2 .問：PQ與AC能否平行？ PE與AC能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，說明理由.(第24題(2)當 t=1 時,過4QC =, 3貝U DQ =QO =5 , 3D點作DD1 _L

33、OA ,交OA于D1 ,如圖1 ,二 CD =1 ,二 D(13).(3)PQ能與AC平行.若 PQ / AC ,如圖2,即一t 2 314.t9PE不能與AC垂直.若 PE _LAC ,延長QE交OA于F ,如圖3,QFOQi QFAC - OC 3 二52 t - _33QF = 5 t - ,3-2-=(石一1)t十三(而一1). 3OCOA，PE又，RtPF sRt/XOCA,一EF6 -t(i 3j.t *3.45,而 00 t 0 7 , 3二t不存在.15. (15浙江宿遷24題解析)24.如圖，在矩形ABCD中，AB = 9, AD = 30點P是邊BC上的動點(點P不與點B，

34、點C重合)，過點P作直線PQ / BD ,交CD邊于Q點，再把APQC沿著動直線PQ對折，點C的對應(yīng)點是R點，設(shè)CP的長度為x , PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y .(1)求NCQP的度數(shù)；(2)當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上?727C46 cm；在 ABC中：/ C= 90, / A= 30、AB= 4 cm；在直角梯形 DEFG中:(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的EF/DG, / DG曰 90O,DG=6cm, DE= 4 cm, / ED除 60。解答下列問題：(1)旋轉(zhuǎn)：將ABC點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90,請你在圖中作出旋轉(zhuǎn)后

35、的對應(yīng)圖形ABC,并求出AB的長度；(2)翻折：將ABC沿過點B且與直線l垂直的直線翻折，得到翻折后的對應(yīng)圖形A2BC,試判定四邊形 ABDE的形狀？并說明理由；(3)平移：將ABG沿直線l向右平移至 A3B2G2,若設(shè)平移的距離為x ,A3RC2與直角梯形重疊部分的面積為y ,當y等于ABC面積的一半時,x的值是多F少？(15湖南常德26 TOC o 1-5 h z 則 y=110 x .3 10 -x =- 10 -x2 , 22當丫= 1S abc= V3 時，即 -（10-X2=V3,解得x = io 72,或x =1。+J2（舍去）.當x =10 + 72時，重疊部分的面積等于 AB

36、C的面積的一半 9分由以上討論知，當x=2+T2或x=10+萬時，重疊部分的面積等于 ABC的面積的一半.10分 2.（廣西玉林卷）在矩形 ABCD中，AB=4, BC = 2 ,以A為坐標原點，AB所 在的直線為x軸，建立直角坐標系.然后將矩形 ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點 B落在y軸的E點上，則C和D點依次落在第二象限的F點上和x軸的G點上（如 圖）.（1）求經(jīng)過B, E, G三點的二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)直線EF與（1）的二次函數(shù)圖象相交于另一點 H ,試求四邊形EGBH的 周長.（3）設(shè)P為（1）的二次函數(shù)圖象上的一點，BP /EG,求P點的坐標.解(1)解：由題意可知，AE = A

37、B=4, AG = AD = BC=2.B(4Q), E(0,4), G(2,0).設(shè)經(jīng)過B, EG三點的次函數(shù)解析式是TJy =a(x +2)(x -4). 1 一把E（0,4）代入之，求行a =3分2A所求的二次函數(shù)解析式是:1 ,1 2,y = - (x+2)(x-4) = - x +x + 4 .22(2)解：由題意可知，四邊形AEFG為矩形.F H/ G,且 GB = 6.直線y =4與二次函數(shù)圖象的交點 H的坐標為H (2,4),EH =2 .: G與B, E與H關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,BH = EG = 742+22 = 2 底.一四邊形EGBH的周長=8+ 4 .5(3)解法1

38、:設(shè)BP交y軸于M .v B IP/E, G AB: AG = AM : AE,即 4: 2 = AM :4 . AM =8,于是 M (0, -8).設(shè)直線BM的解析式為y = kx + b.把 B(4,0), M(0,-8)代入之,/曰 4k b =0,b = -8.k = 2解得k b = -8.y = 2x 8 .4-y = 2x - 8,聯(lián)合一次，二次函數(shù)解析式組成方程組1 2y 二一一 x x 4.2解得i；N0或r：.（此組數(shù)為B點坐標）丁所求的P點坐標為P(320).解法 2:過 P 作 PN，x軸于 N .由 BP / EG ,得 NEGB=NPBN . 設(shè)所求P點的橫坐標為

39、a(a0),則縱坐標為1a2+a+4(a 0).2PNAE 4. tan/PBN =,tan/EGB=2, NBAG 2.PN AE 。 2 NB AGNB = NA+AB = 4a , TOC o 1-5 h z 21 2PN =- -a +a+4 l= a -a-4 , ,22-a2 -a-4-2 .4 - a解之，得a = 6或a = 4 .經(jīng)檢驗可知，a=6是原方程的根；a = 4是原方程的增根，故應(yīng)舍 去.O1O當 a = -6 時， a2 +a+4 = _M(-6)26 + 4=20 . 22所求的P點坐標為P(-6,20).點評此題的綜合性較強，考查的知識點較多，但是解法較多，使

40、試題的切入 點也較多，很容易入題。(14南京市)27.在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點。為位似中心放大或縮小， 使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k ,并且原多邊形上的任一點 P,它的對應(yīng)點P在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度 日，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為 O(k,日)，其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，日叫做旋轉(zhuǎn)角.(1)填空:如圖1,將4ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的 2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60 ,得到ZXADE ,這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為 A （, ）;如圖2, 4ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A

41、（施90，）,得到 AADE ,則線段BD的長為 cm;（2）如圖3,分別以銳角三角形 ABC的三邊AB , BC , CA為邊向外作正方形ADEB, BFGC , CHIA ,點O1，O2, O3分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用AOQz與4ABI , ZXCIB與CAOz之間的關(guān)系，運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段OQ2與AO2之間的關(guān)系.解：（1） 2 , 60，;EA B B 、DFGCIb1總旋轉(zhuǎn)相似變換C囪紇45 ,得到tea,混舟，線段BI變?yōu)榫€段I2）AO1 .:必興=1, 45,+45, =90，,二 OQ2=AO2,O1O2 -L AO2 .（15湖北恩施）六、（本大

42、題滿分12分） 24.如圖11,在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形 AB前AFG罷放在一起，A為公共頂點，/ BA（=/AG=90 ,它們的斜邊長為 2,若？ABC0定不動，？AFG點A旋轉(zhuǎn)，AR AG與邊BC的交點分別為 D E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設(shè)BE=mi C摩n.(1)請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明(2)求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量 n的取值范圍(3)以？ABC勺斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為 y軸,建立平面直角坐標系(如圖12).在邊BC上找一點D,使BD=CE求出D點的坐標，并通過計算驗證 BD2

43、+CEz =DE2.(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BD2+CH=DE是否始終成立，若成立,又/ B=ZC=45. .？AB白?DCA(2).?AB回?DCA.BE BA二CA CD由依題意可知 CA=BA= 2m 2 二2 n二 m=自 變 量 n 的 取圍 為 1n2.由 BD=CE可得 BE=CD 即 m=nm=2 nm=n= 21 一 ，,.OB=O(=1BC=1 2.OE：OBV2 -10). D1，BD=OB O=1-( V2 1)=2 ,2 =CEDE=BC- 2BD=2-2(2 DS=(2 2 -2) 2= 12 -8 ,2.BDCE=DE證明：如圖，將？ACE繞點 A順

44、時針旋轉(zhuǎn)90至?ABH的位置，則V BD2 +CE2=2 BD2 =2(2 2 ) 2 =128,2 ,CE=HBAE=AH連接 HD在？EACf口？HAB/ABH/ C=45 ,旋轉(zhuǎn)角/. AE=AH /HAB/EAH/，？EA陛？HAD.DHDE又/ HBD/ABH/ABB90。.BC2+Hf =DH2即 BD 2+ CE 2=DE212分5. (15湖北武漢)(本題答案暫缺)25.(本題12分)如圖1 ,拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A (-1,0 ) , C (3,2)兩點，與y軸交于點D,與x軸交于另一點B. (1)求此拋物線的解析式； (2)若直線y=kx-1 (kw0)將四邊形

45、ABC面積二等分，求 k的值；(3)如圖2,過點E (1, -1)作EF，x軸于點F,將 AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn) 180后得 MNQ(點M, N, Q分別 與點A, E, F對應(yīng))，使點 M, N在拋物線上，求點 M, N的坐標.(15湖北武漢25題解析)25.y =x2+3x+2 ;k,；M (3, 2), N (1, 2233)(15江蘇淮安)(本題答案暫缺)28.(本小題14分)如圖所示，在平面直角坐標系中.二次函數(shù)y=a(x-2) 2-1圖象的頂點為P,與x軸交點為A、B,與y軸交點為C.連結(jié)BP并延長交y軸于點D.寫出點P的坐標；連結(jié)AP,如果 APB為等腰直角三角形，求 a的值及點

46、C、D的坐標；在(2)的條件下，連結(jié) BG AG AD,點E(0, b)在線段CD端點C D除外)上，將 BCD繞點E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90 ,得到一個新三角形.設(shè)該三角形與4ACD重疊部分白面積為 S,根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S.選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當b為何值時，重疊部分的面積最大？寫出最大值.（15江蘇徐州）（本題答案暫缺）28.如圖1, 一副直角三角板滿足 AB= BC,AO DE, /ABC= /DE曰 90 , / ED曰 30【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角 板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB

47、交于點P,邊EF與邊BC于點Q 【探究一】在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）如圖2,當CE = 1時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.EA（2）如圖3,當 生=2時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？,并說明理由.EA（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當CE = m時，EP與EQ滿足的數(shù) EA量關(guān)系式為 ,其中m的取值范圍是 （直接寫出結(jié)論，不必證明）【探究二】若，AO 30cm,連續(xù)PQ設(shè)4EPQ的面積為S（cm2）,在旋轉(zhuǎn)過程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由.（2）隨著S取不同的值，對應(yīng) EPQ的個數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng) S值的取值范圍.（15

48、山東青島24題解析）24.（本小題滿分12分）解：(1)在 RtABB, ab=Jbc2 +AC2 =5,由題意知：AP = 5t, AQ = 2t,若 PQ/ BC 貝必 APQ sABC,AQ _ AP- AC - AB ?2t 5 -14 一 5107(2)過點P作PHHLAC于H.APH sMBC.PH AP. 一 ，BC AB.PH 5 _t一-3 -5-PH =3_t , 5/. y=1MAQxPH =2 父2tM(33t) =/t2+3t 6r2255(3)若 PQBABCW長平分，貝U AP+AQ=BP+BC+CQ二(5 -t) +2t =t+3+(42t),解得：t=1.若P

49、QBABCffi積平分，則 s&pq =3 s密bc ,即-5 t2 + 3t=3.; t=1代入上面方程不成立，.二不存在這一時刻t,使線段PQ巴RtACB的周長和面積同時平分. 9(4)過點 P作 PMLAC于M, PN!BC于 N,若四邊形PQP C是菱形，那么P0 PCV PML AC于 M. QM=C MPNL BC于 N,易知 PBINh ABCPNACBPAB PN4二 PN4t5，/. QM =CM =-5，44t t 2t =4 , 55圖解得：t =10.9 當t =10時，四邊形PQP C是菱形.9此時 PM =3_3t=1CM =，t =953 59 在RtFlW,匹3

50、2=3=等,菱形PQP C邊長為等.127.（15山東棗莊）25.（本題滿分10分）把一副三角板如圖甲放置，其中 / ACB =/DEC =90：: /A=45：: / D =30 ,斜邊AB=6cm, DC=7cm.把三角板DC窿點C順時針旋轉(zhuǎn)15得到 DCE （如圖 乙）.這時AB與CD相交于點O,與DE相交于點F.（1）求/OFE1的度數(shù);（2）求線段AD的長;（3）若把三角形DCE繞著點C順時針再旋轉(zhuǎn)30得DCE,這時點8在4A（15山東棗莊25A )25.(本題滿分10分)解：（1）如圖所示,3=15 , ZE1 =90 ,DCE的內(nèi)部、外部、還是邊, TOC o 1-5 h z /

51、1=/C75,.E-BC又；/B=45,，（甲）丁. /OFE1 =/B +/1 =45, +750 =120 . 3 分(2) ：/OFE1=120,./ DFO=60：/CD1E1 =30，,/4=90，. 4 分又；AC=BC, AB=6,，OA = OB = 3. TOC o 1-5 h z 111八； /ACB =90，. . CO = AB =父6 = 3 . 5 分22又；CD1=7,OD1 =CD1OC =73 = 4 .在 RtzXADQ 中，AD1 = JOA2 +OD12 73 +42 = 5 . 6 分（3）點B在D2CE2內(nèi)部. 7分理由如下：設(shè)BC （或延長線）交D2E2于點P,則/PCE2=15+30；45 .7:2在 RtzPCE2 中，CP =72CE2 = , 9 分7、2.CB =3應(yīng),即 CB。，點 B 在 AD2cE2 內(nèi)部. 102分8 15浙江金華）（本題答案暫缺）24.（本題12分）如圖1 ,在平面直角坐標系中，己知A AO眼等邊三角