空間位置關(guān)系的判斷與證明

1、空間位置關(guān)系的判斷與 證明模 塊 框高 考 要要求層重難點(diǎn)次空空間線、面間中的的位置關(guān)系線面關(guān)系公理1，公理 2，公理 3，公理 4，定理*B 理解空 間直線、平面位置關(guān)系的定 義，并了解如下可以作 為推理依據(jù)的公理和定理A公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直 線上所有的點(diǎn)在此1平面內(nèi)公理 2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它 們有且只有一條過該 點(diǎn)的公共直 線公理 4：平行于同一條直線的兩條直 線互相平行定理：空間中如果一個(gè)角的兩 邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)以立體幾何的上述定義、公理和定理為

2、出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空 間中線面平行、垂直的有關(guān)性 質(zhì)與判定理解以下判定定理如果平面外一條直2線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂 線，那么這兩個(gè)平面互相垂直理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過該 直線的任一個(gè)平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么3它們的交線相互平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直 線平行如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直 線

3、與另一個(gè)平面垂直能運(yùn)用公理、定理和已 獲得的 結(jié)論證 明一些空間位置關(guān)系的 簡(jiǎn)單命題公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么 這條直線在此平面內(nèi)公理 2：過不在一條直 線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它 們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直 線公理 4：平行于同一條直線的兩條直 線平行定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條 邊分別對(duì)應(yīng) 平行，那么這兩個(gè)角相等或互 補(bǔ)知 識(shí) 內(nèi)41集合的語言：我們把空間看做點(diǎn)的集合，即把點(diǎn)看成空 間中的基本元素，將直線與平面看做空 間的子集，這樣便可以用集合的 語言來描述點(diǎn)、直線和平面之 間的關(guān)系：點(diǎn)A在直線 上，記作：；點(diǎn) 不

4、在直線 上，記作；lA lAlAl點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作：；點(diǎn) 不在平面內(nèi)，記作；AAA直線 l 在平面內(nèi)（即直線上每一個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)），記作 l；直線 l 不在平面內(nèi)（即直線上存在不在平面內(nèi)的點(diǎn)），記作；直線 l 和 m 相交于點(diǎn) A ，記作 lm A平面與平面相交于直 線 a ，記作2平面的三個(gè)公理：，簡(jiǎn)記為 lmA ； 公理一：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么 這條直線上所有的點(diǎn)都在 這個(gè)平面內(nèi)圖形語言表述：如右圖：ABl符號(hào)語言表述：Al ,Bl, A, Bl5 公理二：經(jīng)過不在同一條直 線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，也可以簡(jiǎn)單地說成，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面圖形語言表述：如右圖，A

5、BC符號(hào)語言表述：A, B,C 三點(diǎn)不共 線有且只有一個(gè)平面，使A,B,C 公理三：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條 過這個(gè)點(diǎn)的公共直 線圖形語言表述：如右圖：Aa符號(hào)語言表述：Aa, Aa 如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交， 這條公共直 線叫做兩個(gè)平面的交 線3平面基本性質(zhì)的推論：推論 1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面6推論 2：經(jīng)過兩條相交直 線，有且只有一個(gè)平面推論 3：經(jīng)過兩條平行直 線，有且只有一個(gè)平面4共面：如果空間中幾個(gè)點(diǎn)或幾條直 線可以在同一平面內(nèi)，那么我們說它們共面1公理反映了直線與平面的位置關(guān)系，由此公理我 們知道如果一條

6、直 線與一個(gè)平面有公共點(diǎn)，那公共點(diǎn)要么只有一個(gè)，要么直線上所有點(diǎn)都是公共點(diǎn)，即直線在平面內(nèi)2公理可以用來確定平面，只要有不在同一條直 線上的三點(diǎn)，便可以得到一個(gè)確定的平面，后面的三個(gè)推論都是由這個(gè)公理得到的要 強(qiáng)調(diào)這 三點(diǎn)必須不共線，否則有無數(shù)多個(gè)平面 經(jīng)過它們確定一個(gè)平面的意思是有且僅有一個(gè)平面3公理反應(yīng)了兩個(gè)平面的位置關(guān)系，兩個(gè)平面（一般都指兩個(gè)不重合的平面）只要有公共點(diǎn)，它 們的交集就是一條公共直線此公理可以用來 證明點(diǎn)共線或點(diǎn)在直 線上，可以從后面的例 題中看到74平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是不需要 證明的，后面的三個(gè)推論都可以由 這三個(gè)公理得到推 論與直接在直線上取點(diǎn)，利用公理與便可得到

7、結(jié)論，推論是由平行的定義得到存在性的，再由公理保證唯一性線線關(guān)系與線面平行1平行線：在同一個(gè)平面內(nèi)不相交的兩條直 線平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直 線與這條直線平行公理（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直 線互相平行；等角定理：如果一個(gè)角的兩 邊和另一個(gè)角的兩 邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等2空間中兩直線的位置關(guān)系：共面直 線：平行直線與相交直 線；異面直 線：不同在任一平面內(nèi)的兩條直 線3空間四邊形：順次連結(jié)不共面的四點(diǎn)所構(gòu)成的 圖形這四個(gè)點(diǎn)叫做空 間四邊形的頂點(diǎn)；所連結(jié)的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連結(jié)不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空 間四邊形的對(duì)角線8如右圖中

8、的空間四邊形 ABCD ，它有四條邊 AB, BC,CD, DA ，兩條對(duì)角線 AC,BD 其中 AB,CD ；AC,BD ；AD,BC 是三對(duì)異面直線ABDC4直線與平面的位置關(guān)系：直 線 l 在平面內(nèi)：直線上所有的點(diǎn)都在平面內(nèi)，記作，如圖；直 線 l 與平面相交：直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)A ；記作A ，如圖；直 線 l 與平面平行：直線與平面沒有公共點(diǎn)， 記作 l / /，如圖lllA1235直線與平面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條9直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行符號(hào)語言表述：l / /l,m,l / /m圖象語言表述：如右圖：lm6直線與平面平行的性 質(zhì)定

9、理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這 條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行符號(hào)語言表述：m l / / ml / / ,l,圖象語言表述：如右圖：lm1畫線面平行 時(shí)，常常把直線畫成與平面的一條邊平行；2等角定理證明：已知：如圖所示，BAC 和B A C 的邊AB/AB ，AC /AC ，且射線 AB與 AB 同向，射線 AC與10AC 同向求證： BACBAC證明：對(duì)于BAC 和BAC 在同一平面內(nèi)的情形，在初中幾何中已經(jīng)證明，下面證明兩個(gè)角不在同一平面內(nèi)的情形分別在BAC的兩邊和BA C 的兩邊上截取線段AD、AE 和 AD、AE ，使ADAD ,AEAE ，因?yàn)?

10、AD/ /AD，所以 AA D D 是平行四 邊形所以 AA/ /DD 同理可得 AA / /EE ，因此DD / / EE 所以 DD E E 是平行四 邊形因此DEDE于是所以ADEA D EBACB A CECADBECADB3根據(jù)等角定理可以定 義異面直 線所成的角的概念：過11空間一點(diǎn)作兩異面直 線的平行線，得到兩條相交直線，這兩條相交直線成的直角或 銳角叫做兩異面直 線成的角異面直線所成角的范 圍是(0,24線面平行判定定理（ l,m,l / /ml / /），即線線平面，則線面平行要證明這個(gè)定理可以考慮用反 證法，因?yàn)榫€線 平行（l/ /m ），所以它們可以確定一個(gè)平面， 與已知

11、平面的交線恰為 m ，若線面不平行，則線面相交于一點(diǎn)，此點(diǎn)必在兩個(gè)平面的交 線 m 上，從而得到 l 與 m 相交，與已知矛盾5線面平行性 質(zhì)定理，即線面平行，則線線 平行，這平行的定義立即可得（共面且無交點(diǎn)）面面平行的判定與性 質(zhì)1兩個(gè)平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面,平行：沒有公共點(diǎn)，記為/ /；畫兩個(gè)平行平面 時(shí)，一般把表示平面的平行四 邊形畫成對(duì)應(yīng)邊平行，如右圖：12兩個(gè)平面,相交，有一條交線，l 2兩個(gè)平面平行的判定定理 ：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直 線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語言表述：a, b, abA, a / /,b / / /推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直 線分別平行

12、于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直 線，則這兩個(gè)平面平行3兩個(gè)平面平行的性 質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語言表述：/ /,a,ba / /b 圖象語言表述：如右圖：ab131畫兩個(gè)平面相交 時(shí)，可以先畫出交線，再補(bǔ)充其它，平面被遮住的部分畫成虛線或不畫如右圖所示：2面面平行的判定定理可以由線面平行的性 質(zhì)直接得到，如果滿足定理?xiàng)l件的兩個(gè)平面相交，則這兩條相交直 線都平行于平面的交 線，與過直線外一點(diǎn)只能作一條直 線與已知直線平行的公理矛盾故 這兩個(gè)平面不相交，是平行平面3面面平行的性 質(zhì)定理可以直接由兩條交 線無交點(diǎn)且共面得到4在證明線面平行，線線平行和面面平行的

13、題時(shí)，常常遇到平行關(guān)系的 轉(zhuǎn)化，要靈活運(yùn)用兩個(gè)性 質(zhì)定理與兩個(gè)判定定理，證明要求的 結(jié)論由于空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系是高考的核心內(nèi)容，因此在出題時(shí)經(jīng)常會(huì)有所 結(jié)合，本板塊專門就平行知 識(shí)的題目類型歸納，更綜合的題目會(huì)在第十一 講中詳細(xì)講解由于線面與面面 問題之間都是互相轉(zhuǎn)化的，因此本板 塊中的面面平行題目較少，多數(shù)都為線面平行 問14題本板塊題 目多采用兩種方法，事 實(shí)上就是兩種思路 證明線面平行，一種方法 線線平行線面平行，另一種方法是面面平行線面平行線面垂直1線線 垂直：如果兩條直線相交于一點(diǎn)或 經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角 為直角，則稱這兩條直 線互相垂直由定 義知，垂直有相交垂直和異

14、面垂直2直線與平面垂直：概念：如果一條直 線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)O ，并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)的任何直 線都垂直，則稱這條直線與這個(gè)平面互相垂直這條直線叫做平面的垂 線，這個(gè)平面叫做直 線的垂面，交點(diǎn)叫垂足垂線上任意一點(diǎn)到垂足 間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂 線段垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的距離如果一條直 線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直畫直線與平面垂直 時(shí)，通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形15的一邊垂直，如右圖l直線 l 與平面互相垂直，記作 l線面垂直的判定定理：如果一條直 線與平面內(nèi)的兩條相交直 線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條

15、垂直于平面，那么另一條直線也垂直于 這個(gè)平面線面垂直的性 質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行1如果定義了異面直 線所成角，則異面垂直即異面直線所成角為90 2線面垂直的判定定理把定義中的與任意一條直線垂直這個(gè)很強(qiáng)的命題，轉(zhuǎn)化為只需證明與兩條相交直 線垂直這個(gè)問題，從而大大簡(jiǎn)化了線面垂直的判斷16AmBnCDEA要證明判定定理，只能用定義，若，要證AA ，AA m, AA n,m n B m,n在平面內(nèi)任選一條直線 g ，去證 AA g ，結(jié)合右圖，通過全等三角形的 證明可得到，從而得到判定定理，具體的證法略3線面垂直的性 質(zhì)定理，可以用同一法 證明，如圖：mlmABa直線

16、 l,m，若直線 l, m 不平行，則過直線 l 與平面的交點(diǎn) B 作直線 m/ /l，從而有 m又相交直 線 m, m 可以確定一個(gè)平面，記a ，則因?yàn)?m, m 都垂直于平面，故m,m 都垂直于交 線 a 這與在一個(gè)平面內(nèi)， 過直線上17一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直 線垂直相矛盾故 m, m 重合，m / / l ，性質(zhì)定理得證由同一法 還可以證明：過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線只有一條點(diǎn)面距離與 線面角（一）主要方法：本板塊所學(xué)內(nèi)容 為點(diǎn)面距離與 線面角，求點(diǎn)面距離有兩種方法，首先可以通 過直接法作面的垂 線，其次可以通過體積法轉(zhuǎn)化，或者將問題轉(zhuǎn)化為與面平行的直 線上的點(diǎn)到面的距離；線面角問

17、題屬于線面關(guān)系的一種，是線面垂直與面面垂直定理的應(yīng)用點(diǎn)、斜線、斜線段及射影點(diǎn)在直 線上的射影自點(diǎn)A 向直線 l 引垂線，垂足A1 叫做點(diǎn) A 在直線 l 上的射影點(diǎn) A 到垂足的距離叫點(diǎn)到直 線的距離點(diǎn)在平面內(nèi)的射影自點(diǎn) A 向平面 引垂線，垂足 A1 叫做點(diǎn) A 在平面內(nèi)的射影，這點(diǎn)和垂足 間的線段叫做 這點(diǎn)到平面的垂 線段垂線段的長度叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離斜線在平面內(nèi)的射影一條直 線和一個(gè)平面相交，但不和 這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜 線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，180 ,90斜線上一點(diǎn)和斜足 間的線段，叫做這點(diǎn)到平面的斜 線段過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直 線叫做斜線在這平面內(nèi)的射影，垂足與斜足 間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜 線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影2直線和平面所成的角直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：直線和平面斜交 時(shí)，線面所成的角是 這條直線和它在平面內(nèi)的射影所成的 銳角；直 線和平面垂直 時(shí)，直線和平面所成的角的大小為 90 ；直