《常微分方程》課程教學大綱

1、常微分方程課程教學大綱一、課程基本信息課程代碼： 12130109課程英文名稱： Ordinary Differential Equation 課程面向專業(yè)：信息與計算科學專業(yè)課程類型：選修課先修課程：數(shù)學分析、高等代數(shù)學分： 3總學時：60 二、課程性質與目的常微分方程是一門與微積分一起成長起來的學科，是自然科學中表述各種基本規(guī)律的根本工具之一，已經(jīng)成為數(shù)學聯(lián)系實際問題的重要手段之一。近些年來，常微分方程的研究與應用已經(jīng)深入到自然科學和社會科學的眾多領域，并且成功地揭示了許多自然和社會現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。本課程的任務是要使學生掌握常微分方程的基本理論和方法，增強運用數(shù)學手段解決實際問題的能力。學

2、習本課程，學生應具備微積分和高等代數(shù)的基礎知識。通過本課程的學習，還能為其它后繼課程，如微分幾何、數(shù)學物理方程和泛函分析初步等課程的學習做好必要的準備。三、課程教學內(nèi)容與要求（一）初等積分法1、教學內(nèi)容與要求（1）了解常微分方程與解的概念，掌握方程類型的判別。（2）熟練掌握初等積分法中的變量分離方程解法、常數(shù)變易法和全微分方程解法（含積分因子的解法），掌握參數(shù)法和降階法。（3）會把實際問題抽象為常微分方程的方法。2、教學重點五種基本方程（變量分離方程，齊次方程，一階線性方程，貝努里方程及恰當方程）的解法及參數(shù)法。3、教學難點方程類型的判斷及其解法。（二）解的存在定理 1、教學內(nèi)容與要求（1）理

3、解解的存在與唯一性定理的證明，熟練掌握皮卡逼近法。（2）了解解的延拓及解對初值的連續(xù)依賴性定理及其證明。（3）了解奇解定義與奇解的包絡線求法。2、教學重點解的存在與唯一性定理，皮卡逼近法。 3、教學難點解的存在與唯一性定理的證明。（三）線性微分方程 1、教學內(nèi)容與要求（1）了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理，理解n階線性微分方程解的結構、通解基本定理、常數(shù)變易法。（2）熟練掌握n階常系數(shù)線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法、待定系數(shù)法。（3）熟練掌握求一般非齊次線性微分方程的特解的常數(shù)變異法。（4）了解二階齊線性方程特解的冪級數(shù)解法。2、教學重點n階線性微分方程的通解基本定理、n階常系數(shù)線性微分

4、方程的解法。 3、教學難點線性非齊次微分方程的特解的求法。（四）線性微分方程組 1、教學內(nèi)容與要求（1）理解線性微分方程組的解的存在唯一性定理及證明，進一步熟悉皮卡逼近法。（2）掌握線性微分方程組求解的關鍵是求基解矩陣，掌握常數(shù)變易法。（3）熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組基解矩陣的求法（單特征根情形），了解重根時基解矩陣的求法。（4）掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關系，能在統(tǒng)一的觀點下理解這兩部分內(nèi)容。2、教學重點線性微分方程組解的結構，常系數(shù)線性微分方程組的解法。3、教學難點常系數(shù)線性微分方程組的重特征根情況。（五）穩(wěn)定性理論簡介1、教學內(nèi)容與要求（1）理解穩(wěn)定性有關定義。（2）熟練掌

5、握奇點的分類方法，會判別線性近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）知道簡單的李雅普諾夫函數(shù)的構造方法，了解周期解和極限環(huán)。2、教學重點平面自治系統(tǒng)的奇點分析。 3、教學難點穩(wěn)定性有關定理的證明。四、學時分配學時分配表序號教學內(nèi)容學 時課堂講授實驗課習題課討論課其它1初等積分法1222解的存在定理823線性微分方程1224線性微分方程組1025定性理論簡介82小計5010比例83%17%合計60五、教學環(huán)節(jié)與教學要求教學環(huán)節(jié)含四個方面：課堂講授、習題課、輔導答疑、作業(yè)布置與批改。課堂講授：采用啟發(fā)式教學，引導、激發(fā)、調動學生主動學習的積極性，部分教師采用多媒體教學。習題課：方式靈活多樣，可老師講，可部分學生講，可師生討論，力爭將所學單元知識系統(tǒng)化、明朗化，并適當加深加寬知識面。輔導答疑：教師安排好答疑時間、地點、方式。作業(yè)布置與批改：題量適中，教師批改作業(yè)量不少于二分之一。六、課程考核辦法1平時成績（作業(yè)、課堂參與）：30%2期末考試：（閉卷）筆試：70%七、教材與主要參考書 1、常微分方程第二版王高雄 高等教育出版社19832、 常微分方程及其應用周義倉科學出版社20033、 常微分方程林武忠科學出版社20034、 常微分方程東北師大數(shù)學系高