高二數(shù)學同步作業(yè)：第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第一課時《正、余弦定理在實際中的應(yīng)用》（新人教A版必修五）

1、1.2應(yīng)用舉例【選題明細表】知識點、方法題號測量距離問題1、2、3測量高度問題7、8測量角度問題4、6、9、11其他問題5、10基礎(chǔ)達標1.學校體育館的人字形屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4 m,A=30,則其跨度AB的長為(D) (A)12 m(B)8 m(C)3 QUOTE m(D)4 QUOTE m解析:由正弦定理得 QUOTE = QUOTE ,由題意得C=120,B=30,AB= QUOTE = QUOTE =4 QUOTE (m).故選D.2.如圖,為了測量A、B兩點間的距離,在地面上選擇適當?shù)狞cC,測得AC=100 m,BC=120 m,ACB=60,那么A、B的距離為

2、(B) (A)20 QUOTE m(B)20 QUOTE m(C)500 m (D)60 QUOTE m解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60=1002+1202-2100120 QUOTE =12400,AB=20 QUOTE (m),故選B.3.(2014濮陽高二期末)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與燈塔B的距離為(B) (A)a km(B) QUOTE a km(C) QUOTE a km(D)2a km解析:由題意得ACB=120,AB2=a2+a2-2a2c

3、os 120=3a2,AB= QUOTE a.故選B.40 m,水流的速度是每分鐘20 m,如果船從岸邊A處出發(fā),沿著與水流垂直的航線到達對岸,那么船前進的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為(B)(A)15(B)30(C)45(D)60解析:如圖,sinCAB= QUOTE = QUOTE ,CAB=30,故選B.5.(2014臨沂質(zhì)量抽測)一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15,與燈塔S相距20海里,隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘到達N處后,又測得燈塔在貨輪的北偏東45,則貨輪的速度為(B)(A)20( QUOTE + QUOTE )海里/時(B)20( QUOT

4、E - QUOTE )海里/時(C)20( QUOTE + QUOTE )海里/時(D)20( QUOTE - QUOTE )海里/時解析:由題意得SNM=105,NSM=30, QUOTE = QUOTE ,MN= QUOTE = QUOTE ,貨輪速度v= QUOTE = QUOTE =20( QUOTE - QUOTE ).故選B.,沿BE方向前進30 m至點C處測得頂端A的仰角為2.繼續(xù)前進10 QUOTE m至D點,測得頂端A的仰角為4,則等于.解析:畫出示意圖,在ABE中,AC=BC=30 m,CD=DA=10 QUOTE m,cosACD=cos 2= QUOTE = QUOTE

5、 =15.答案:15BCD=15,BDC=30,CD=30米,并在點C測得塔頂A的仰角為60,則塔高AB=.解析:由題意可知在BCD中,BCD=15,BDC=30,CD=30,則CBD=180-BCD-BDC=135.由正弦定理可得BC= QUOTE = QUOTE =15 QUOTE .又在RtABC中,ABC=90,ACB=60,AB=BCtanACB=15 QUOTE QUOTE =15 QUOTE (米).答案:15 QUOTE 米能力提升8.如圖,某城市的電視臺發(fā)射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC為35米,在地面上有一點A,測得A,C間的距離為91米,從A觀測電視發(fā)射塔CD的視角

6、(CAD)為45,則這座電視臺發(fā)射塔的高度CD為.解析:AB= QUOTE =84,tanCAB= QUOTE = QUOTE = QUOTE .由 QUOTE =tan(45+CAB)= QUOTE = QUOTE .得CD=169.答案:169米方向的B處,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船速度是乙船速度的 QUOTE 倍,問甲船應(yīng)取什么方向前進才能在最短時間內(nèi)追上乙船?此時乙船行駛了多少海里?解:設(shè)甲船沿直線行駛與乙船同時到C點,則A、B、C構(gòu)成ABC,如圖.設(shè)乙船速度為v,則甲船速度為 QUOTE v,設(shè)到達C處用時為t. 由題意,BC=vt,AC= QUOTE vt,ABC=12

7、0.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120,3v2t2=a2+v2t2+avt.2v2t2-avt-a2=0,解得vt=- QUOTE (舍去)或vt=a.BC=a,在ABC中AB=BC=a,BAC=ACB=30,60-30=30.即甲船應(yīng)取北偏東30的方向去追乙船,此時乙船行駛了a海里.10.如圖,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水面A處測得B、D兩點的仰角分別為75,30,于水面C處測得B、D兩點的仰角分別為60,60,AC=0.1 km,試探究圖中哪兩點間距離與BD相等,并求BD(計算結(jié)果精確到0.0

8、1 km, QUOTE 1.414, QUOTE 2.449) 解:在ACD中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,CD=AC,又BCD=180-60-60=60=ACB,ACBDCB,AB=DB.在ABC中,ABC=75-ACB=15.由正弦定理得AB= QUOTE sin 60= QUOTE (km).BD= QUOTE 0.33(km).即A、B兩點距離與BD相等,BD約為0.33 km.探究創(chuàng)新11.(2013年高考江蘇卷)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從

9、A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m130 m/min,山路AC長為1260 m,經(jīng)測量,cos A= QUOTE ,cos C= QUOTE .(1)求索道AB的長;(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解:(1)在ABC中,因為cos A= QUOTE ,cos C= QUOTE ,所以sin A= QUOTE ,sin C= QUOTE .從而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= QUOTE QUOTE + QUOTE QUO

10、TE = QUOTE .由正弦定理 QUOTE = QUOTE ,得AB= QUOTE sin C= QUOTE QUOTE =1040(m).所以索道AB的長為1040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) QUOTE =200(37t2-70t+50).由于0t QUOTE ,即0t8,故當t= QUOTE (min)時,甲、乙兩游客距離最短.(3)由正弦定理 QUOTE = QUOTE ,得BC= QUOTE sin A= QUOTE QUOTE =500(m).乙從B出發(fā)時