數(shù)值積分與微分方法

1、數(shù)值積分與微分摘要本文首先列舉了一些常用的數(shù)值求積方法，一是插值型求積公式，以NC-公式為代表，并分析了復(fù)合型的Newton-Cotes公式；另一個是Gauss-Ledendre求積公式，并給出幾個常用的Gauss-Ledendre求積公式。其次，本文對數(shù)值微分方法進行分析，主要是差分型數(shù)值微分和插值型數(shù)值微分，都給出了幾種常用的微分方法。然后，本文比較了數(shù)值積分與微分的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)值積分與微分都與插值或擬合密不可分。本文在每個方法時都分析了誤差余項，并且在最后都給出了MATLAB的調(diào)用程序。關(guān)鍵詞：插值型積分Gauss-Ledendre差分?jǐn)?shù)值微分插值型數(shù)值微分MATLAB 一、常用的積分方

2、法計算積分時，根據(jù)Newton-Leibniz公式，Jbf(x)dx=F(b)-F(a)a但如果碰到以下幾種情況：被積函數(shù)以一組數(shù)據(jù)形式表示；被積函數(shù)過于特殊或者原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示原函數(shù)十分復(fù)雜難以計算這些現(xiàn)象中，Newton-Leibniz公式很難發(fā)揮作用，只能建立積分的近似計算方法數(shù)值積分是常用的近似計算的方法。1.1插值型積分公式積分中的一個常用方法是利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式，具體的步驟如下：在積分區(qū)間上a,b上取一組節(jié)點：x,x,x，,x(axxxb)。已知f的012n01n(xk)函數(shù)值，作f的n次插值多項式，則(x)f=L(x)+R(x)=Ff(x)l(x)+k=0(

3、x)nn其中，(x)為n次插值基函數(shù)，則得Jbf(x)dx=Jb(L(x)+R(x)dxaann=工Jbl(x)dxf(x)+akkk=02w(x)kk(n+1)!n+1Jbf(n+i)g(x)w(x)dx(n+1)!an+1公式寫成一般形式：Jbf(x)dx=HAf(x)+Rfakkn其中，k=04Jbl(、門Jb(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)TOC o 1-5 h zA=Jl(x)dx=ok-i屮odxkaka(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)k0kk-1kk+1k01Rf=Jbf(+1)g(x)W(x)dxn(n+1)!an+1顯然，當(dāng)被積函數(shù)f為次數(shù)小于等于n的多項式時

4、，其相應(yīng)的插值型求積公式為準(zhǔn)確公式，即：Jbf(x)dx=HAf(x)akkak=01.1.1求積公式的代數(shù)精度定義：求積公式對于任何次數(shù)不大于m的代數(shù)多項式f(x)均精確成立，而對于f(x)=xm+i不精確成立，則稱求積公式具有m次代數(shù)精度。定理：含有n+1個節(jié)點x(k=0,1,n)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n。k1.2Newton-Cotes公式1.2.1Newton-Cotes公式將積分區(qū)間等分，并取分點為求積公式，這樣構(gòu)造出來的插值型求積公式就是Newton-Cotes公式。fbf（x）dx=（b一a）工C（n）（x）kka其中，b一a=（b一a）C（n）kk=0k=0且Cote

5、s系數(shù)滿足重要的關(guān)系式：C(n)=1(k=0,1,2,n)kk=0n=1時，求積公式為梯形公式(兩點公式)：bafbf(x)dx沁f(a)+/(b)a2梯形公式具有1階代數(shù)精度，余項為：Rf=-一3f(n)nea,bT12n=2時，求積公式為Simpson公式(三點公式)：fbf(x)dx沁畤f(a)+4f(學(xué))+f(b)a62Simpson公式具有3階代數(shù)精度，余項為：Rf=一秒(一)5f們)nea,bS902n=4時，求積公式為Cotes公式(五點公式)：fbf(x)dx咯7f(x)+32f(x)+12f(x)+32f(x)+7f(x)a9001234其中，,b一ax=a+kk4Cotes

6、公式具有5次代數(shù)精度，余項為：R/=一縣（字）7/（n）nea,bC94541.2.2復(fù)合Newton-Cotes公式當(dāng)積分區(qū)間過大時，直接使用Newton-5es公式所得的積分的近似值很難得到保證，因此在實際應(yīng)用中為了既能夠提高結(jié)果的精度，又使得算法簡便且容易在計算機上實現(xiàn)，往往采用復(fù)合求積的方法。所謂復(fù)合求積，就是先將積分區(qū)間分成幾個小區(qū)間，并從每個小區(qū)間上用低階Newton-Cotes公式計算積分的近似值，然后對這些近似值求和，從而得到所求積分的近似值，由此得到一些具有更大實用價值的數(shù)值求積公式，統(tǒng)稱為復(fù)合求積公式。將a,b區(qū)間n等分，記分點為x=a+kh(k=0,1,n)，其中，h=-

7、_a稱為步長，kn然后在每個小區(qū)間內(nèi)利用梯形公式，即可導(dǎo)出復(fù)合梯形公式：Jbf(x)dx=工Jxkf(x)dxh工f(x)+f(x)ax12k1kk=1k1k=1若將所得積分近似值記為T，并注意到Jba其余項為：x=a,x=b，則復(fù)合梯形公式為:n0nf(x)dxT=hf(a)+2藝f(x)+f(b)kk=1n2R=(b-a)h2藝f(H,)_Tn121類似可得復(fù)合Simpson公式:Jbf(x)dxS=hf(a)+4藝f(x)+2藝f(x)+f(b)an6k+1kk=0k2k=1nk=0(bJ2f如)Hea,b其中，x=x+1h.其余項為:k+1/2k2鷺=-罟(2)4f皿)Xa，b1.2.

8、3NewtonCotes公式在MATLAB中的實現(xiàn)1）復(fù)合梯形數(shù)值積分:調(diào)用形式:Z_trapz（X,Y）其中，X,Y分別代表數(shù)目相同的向量或者數(shù)值，Y與X的關(guān)系可以是函數(shù)形態(tài)或者離散形態(tài)；Z代表返回的積分值。2）自適應(yīng)Simpson公式基本調(diào)用格式:q_quad（fun，a，b，tol，trace，p1，p2）其中:fun代表被積函數(shù)；a，b為積分的上下限；q為積分結(jié)果；tol為默認(rèn)誤差限，默認(rèn)了1.e-6；trace表示取0表示不用圖形顯示積分過程，非0表示用圖形顯示積分過程；p1，p2為直接傳遞給函數(shù)fun的參數(shù)3）自適應(yīng)Lobatto法數(shù)值積分:quadl（）Quadl是高階的自適應(yīng)N

9、ewton-Cotes數(shù)值積分法函數(shù)，比quad函數(shù)更有效，精度更高，使用方法與quad完全相同。1.3GaussLedendre求積公式1、精度較高GaussLedendre公式（1）Ledendre多項式。以Gauss點xk為零點的n次多項式：p（x）=（xx）（xx）（xx）n12n上式稱為Ledendre多項式（2）GaussLedendre求積公式。以Ledendre多項式的n個實根為節(jié)點的插值求積公式為GaussLedendre求積公式?？紤]在1,1上Gauss求積公式的構(gòu)造1）一個節(jié)點rf(x)dx沁2f(0)-12)兩個節(jié)點二次Ledendre正交多項式P2(x)二2(3x2-

10、1)所以兩點的Gauss-Ledendre求積公式為：rf(x)dx沁f(-咅)甘(占)對于一般區(qū)間的積分，可以用x二出+匕t將a，b區(qū)間轉(zhuǎn)化為-1，1,即22J1f(x)dx二匕J1f(凹+匕t)dt-12-122然后用相應(yīng)的Gauss-Ledendre求積公式計算。(3)一般形式的Gauss-Ledendre求積公式為：fbw(x)f(x)dxq工Af(x)a=jj其中w(x)是一個權(quán)重函數(shù)，A為系數(shù)，x為橫坐標(biāo)上的節(jié)點。因為w(x)=1，所以，一個n點的求積公式具有如下形式：f1f(x)dxq工Af(x)-1jjj=1其中，f(x)是函數(shù)f(x)在節(jié)點x處的值，節(jié)點x是Ledendre正

11、交多項式的根。jjjA=2jP(x)2(1x2)給出x和A的表格：njjnLedendre正父多項式xkAk1P1(x)=x022P(x)=(3x21)220.5775313p(x)=丄(5x3一3x)320.774600.000000.55556,0.888894p(x)=1(35x4一30 x2+3)480.86114,0.339980.34785,0.652152、在MATLAB中的實現(xiàn)MATLAB沒有提供Gauss-Ledendre的有關(guān)計算函數(shù),此處給出一部分的編程代碼:functionq=gaussL(f，a，b，x，A)N=length(x)；T=zeros(1，N)；T=(a+

12、b)/2+(b-a)/2)*x;q=(b-a)/2)*sum(A.*feval(f.T);其中，f為被積函數(shù)；x和A的值可有上表查到。二、數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分的建立常用的三種思路：1、直接從微分的定義出發(fā)，通過近似的處理(泰勒展開)，得到數(shù)值微分的近似公式；2、利用插值的基本思想，采用插值近似公式，對插值公式的近似求導(dǎo)得到原數(shù)值微分的近似公式3、根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用最小二乘擬合的方法，得到近似的函數(shù)，然后對此近似函數(shù)求微分就可以得到數(shù)值微分的近似公式。2.1差分法近似微分1、計算公式在微積分中，一階微分的計算可以在相鄰點x+h和x間函數(shù)取得極限求得。hh八x)二limf(x+h)-f(x)二limf

13、(x)-f(x-h)二limf(十2)f(2)hOhhOhhOh所以給出下列差分近似式子：一階向前差分：f(x)=f(x+h)-f(x)一階向后差分：f(x)=f(x)一f(x一h)h精度較高的一階中心差分：2、在MATLAB中的實現(xiàn)調(diào)用形式：Y=diff(X,n)其中：X表示求導(dǎo)變量，可以是向量或者矩陣。如是矩陣形式則按照各列做差分；n表示n階差分，即差分n次；用diff函數(shù)進行離散數(shù)據(jù)的近似求導(dǎo)與向前差分近似，但誤差較大?？梢詫?shù)據(jù)利用插值或者擬合得到多項式，然后對近似多項式進行微分。2.2插值型近似微分1、方法概述Lagrange插值公式，使得f(+D匡(x)(n+1！w(x)n+1f(

14、x)=L(x)+R(x)nn其中，L(x)=l(x)f(x)，nkkk=0利用插值公式近似替代原函數(shù)，再對插值公式求導(dǎo)，可得插值型求導(dǎo)公式為f(m)(x)=L(m)(x)n余項為：dkf(n+心(X)R(k)(x)=w(x)ndxk(n+1！)n+1特別的，n=l時，可得一階微分兩點公式為：廣(x)=f(x+hf(x)hf(x)=f(X)一f(X一h)hn=2時，f(X)沁L(X)=3f(X)+4f(X)-f(X)TOC o 1-5 h z0202h0l2f(x)沁L(x)=1-f(x)+f(x)l2l2h02f(x)沁L(x)=丄f(x)-4f(x)+3f(x)2222h012下面給出一個常

15、用的五點公式：f(X)沁1f(X)-8f(X)+8f(X)-f(X)012h-2-1122、三次樣條插值函數(shù)求微分的MATLAB函數(shù)由于三次樣條插值的導(dǎo)數(shù)近似被插值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的效果很好，此處給出三次樣條插值函數(shù)的MATLAB調(diào)用步驟：Stepl：對離散數(shù)據(jù)用csapi函數(shù)(或者spline函數(shù))，得到其三次樣條插值函數(shù)調(diào)用形式pp=csapi(x，y)其中，x,y分別為離散數(shù)據(jù)對的自變量和因變量；pp為得到的三次樣條插值函數(shù)Step2：用fnder函數(shù)求三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)調(diào)用形式fprime=fnder(f，dorder，其中，f為三次樣條插值函數(shù)，dorder為三次樣條插值函數(shù)的求導(dǎo)階數(shù)；

16、fprime為得到的三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值Step3:用fnval函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)在未知點處的導(dǎo)數(shù)值調(diào)用形式v=fnval(fprime，x，其中，fprime為三次樣條插值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)；x為未知點處自變量值；v為未知點處的導(dǎo)數(shù)值。三、數(shù)值積分與微分的比較l、數(shù)值解法微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在實際工程中有許多重要的應(yīng)用。微積分的數(shù)值解法，是不同于高等數(shù)學(xué)中的解析方法，適合求解沒有或者很那求出微分或者積分解析表達式的實際問題的計算。2、數(shù)值積分與微分與插值和擬合的關(guān)系數(shù)值微分與數(shù)值積分依賴插值和擬合，二者之間密不可分。比如在進行數(shù)值微分時，針對離散的數(shù)據(jù)點，常常利用插值和擬合來減少數(shù)據(jù)誤差。數(shù)值積分的基本思路也來自于插值法。比如當(dāng)所積函數(shù)的形式比較復(fù)雜或是通過表格形式給出，則可以通過構(gòu)造插值多項式來代替原函數(shù)，簡化問題。插值型求積公式是以構(gòu)造插值函數(shù)代替原函數(shù)進行積分：Jbf(x)dx=Jb(L(x)+R(x)dxaann=工fbl(x)dxf(x)+1Jbf(n+i)g(x)w(x)dx“