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1、7.1 圖的概念/Introduction of Graph7.2 圖的術語/Graph Terminology7.3 圖的表示與同構/ Representing Graph and Graph Isomorphism7.4 連通性/Connectivity7.5 歐拉道路與哈密爾頓道路/ Euler and Hamilton Paths7.6 最短道路問題/Shortest Path Problem7.7 平面圖/Planar Graphs7.8 圖的著色/Graph Coloring祛痘 8/29/202217.5 Euler and Hamilton PathKonigsberg(哥尼斯

2、堡)七橋問題問題：能否從河岸或小島出發(fā)，通過每一座橋，而且僅僅通過一次回到原地。8/29/20222 Euler(歐拉)1736年對這個問題，給出了否定的回答。將河岸和小島作為圖的頂點，七座橋為邊，構成一個無向重圖，問題化為圖論中簡單道路的問題：定義歐拉道路（回路）： （，），稱包含中所有邊的簡單道路為歐拉道路/Euler Path/E道路。 包含中所有邊的簡單回路為歐拉回路/Euler Circuit/E回路。8/29/20223定理1（歐拉定理）： 沒有次為的孤立頂點的無向圖存在歐拉道路的充要條件是： (1)圖是連通的； (2)圖中奇次頂點個數(shù)是個或2個。8/29/20224證明： 必要性

3、： 若存在歐拉道路，且沒有次頂點，則每個頂點都有邊關聯(lián)，而邊又全在歐拉道路上，故所有頂點都連通。 除了起點，終點外，歐拉道路每經(jīng)過一個頂點，使頂點的次增加，故只有起點和終點才可能成為奇次頂點，而一個奇次頂點是不可能的，當無奇次頂點時，是歐拉回路。充分性： 若(1），(2)成立,構造歐拉道路.8/29/20225 若圖存在奇次頂點，任取一個作為起點，若不存在，則任取一個頂點作為起點。 若此圖有條邊，總次為。每進入或離開一個頂點，讓此頂點的次減，由于除了兩個（或沒有）奇次頂點外，其余頂點次為偶數(shù)，只要進得去，一定出得來，直至進入另一個奇次頂點（或起點）作為終點。這樣構造的是簡單道路，如果經(jīng)過所有的

4、邊，即得到一條歐拉道路。 不然，記走過的簡單道路為1，1上頂點集1，邊集1，1（1，1）是的子圖。8/29/20226 若2（2，2）是1的關于的余圖，21，但12，否則不連通，設12，從出發(fā)，用上面方法作2的簡單回路2 回到,這能做到。 因為作好1后，留下頂點的次都是偶次。若12經(jīng)過所有邊，則歐拉道路是1走到時，先把2走完，最后走完1的余下道路。 若12仍未經(jīng)過所有邊，將12視為1重復上述過程，由于邊有限，故存在歐拉道路。8/29/20227例1：（1）頂點的次：A(3) , B(2) , C(4) , D(2) , E(6), F(2) , G(6) , H(2) , I(4) , J(3

5、）。其中奇次頂點A，J（2）從A出發(fā)，走一條道路 （A,C,E,A,B,C,D,E,G,J）8/29/20228（3）1（1，1） 1 A，B，C，D，E，G，J 1 （A，B），（B，C），（A，C），（C，D），（C，E），（D，E），（E，G），（G，J） 2（2，2） 2 （E，F(xiàn)），（F，G），（E，J）， （G，H），（G，I），（I，J），（H，I） 2 E，F(xiàn)，G，H，I，J E（12）8/29/20229（4）從E出發(fā)回到E的回路（E，F(xiàn)，G，I，J，E），加入到P1中 1 （A，C，E，F(xiàn)，G，I，J，E，A，B，C，D，G，J）（5）還有未經(jīng)過的邊，重復上述過程 ，從G出

6、發(fā)，（G，H，I，G），再加入即得歐拉道路。8/29/202210說明： 哥尼斯堡七橋問題，由于四個頂點都是齊次的，不可能有歐拉道路。應用與推廣： （1） 一筆畫問題； （2） 如果齊次頂點個數(shù)為2K個，此問題是K筆畫問題。 8/29/202211例個頂點均為3次，至少要筆。8/29/202212推論（歐拉定理）： 沒有次為的孤立頂點的無向圖存在歐拉回路的充要條件是： (1)圖是連通的； (2)圖中沒有奇次頂點。8/29/202213定理2（有向圖的歐拉定理）： 不含出/入次為的孤立頂點的有向圖具有歐拉道路的充要條件是：(1）弱連通；(2) 除了可能有個頂點，一個入次比出次大，一個出次比入次大

7、，其余頂點出次等于入次。推論不含出/入次為的孤立頂點的有向圖具有歐拉回路的充要條件是：（1）弱連通；（2）所有頂點出次等于入次。8/29/202214Hamilton(哈密頓)道路問題： 年發(fā)明的一種游戲。 在一個實心的正十二面體，20個頂點標上世界著名大城市的名字，要求游戲者從某一城市出發(fā)，遍歷各城市一次，最后回到原地。 這就是“繞行世界”問題。即找一條經(jīng)過所有頂點（城市）的基本道路（回路）。8/29/202215定義哈密頓道路/回路： （，），G中經(jīng)過中所有頂點的基本道路稱為哈密頓道路/Hamilton Path，簡稱道路。 （，），G中經(jīng)過中所有頂點的基本回路稱為哈密頓回路/Hamilt

8、on Circuit，簡稱回路。8/29/202216圖 每個頂點都是奇次的，不存在歐拉道路，但有道路。 圖存在歐拉道路，不存在道路。8/29/202217定理3：設（，）是個頂點的簡單圖，如果任何一對頂點的次之和，則中一定有道路（n=2）。證明： 1、一定連通，否則分為二個不連通的分圖1，2，其中1有1個頂點，2有2個頂點，1中每個頂點次1，2中每個頂點次2，從1中取一個頂點，2中取一個頂點，這一對頂點之和1212，與定理的假設矛盾。8/29/2022182、用歸納法證明中存在道路： (1)任取一條邊（1，2），是含個頂 點的基本道路。 (2)如果已有個頂點的基本道路 （1，2，p），（）

9、必能構造個頂點的基本道路。 ）如果在1，2，p中存在與1或p相鄰的頂點，則基本道路自然可以擴充一個頂點。 ）如果1，p僅與1，2，p中頂點相鄰，則1，2，p必可適當排列，形成回路。8/29/202219 如果1與p相鄰，顯然成了環(huán)。不然，由于1，p僅與1，2，p中頂點相鄰，1，p的次。不妨設1的次為，分別記相鄰頂點為i1，i2，ik，它們前面的頂點（指在基本道路1，2，p中的序）為 ，p必與中某頂點相鄰，否則p的次，1與p的次之和，與任一對頂點次之和矛盾。 不妨p與j-1相鄰，1與j相鄰。將1與j連起來，p與j-1連起來，并將j-1到j的邊去掉，就形成一個環(huán)，如下圖所示。8/29/202220

10、 又由的連通性，總可在1，2，p中找到一個點x，與1，2，p中某一頂相鄰，不妨與k相鄰，k1，kp，連上x與k的邊，去掉k-1到k的邊，可以從k-1為起點，一直走到k，再到x，這是一條個頂點的基本道路。8/29/202221 如果，仍繼續(xù)擴充基本道路內(nèi)的頂點，直至達到。注意: 此定理條件顯然不是必要條件，如的邊形，二個頂點次之和，而邊形顯然有道路。推論： （，）是的簡單圖，若任何一對頂點的次之和，則必有哈密頓回路。8/29/202222 由于推論條件也必滿足定理3條件，存在道路，可類似于定理一的方法找到一條回路。定理4： 有向完全圖一定存在道路。8/29/202223小 結1、E圖：簡單道路+所有邊2、H圖：基本道路+所有頂點8/29/202224進一步的思考1、E圖/H圖的應用2、E圖/H圖的判定8/29/202225 要判別一個圖不存在道路，回路，也不是很容易的，只能對無向圖給出一些必要條件：（1）道路存在必要條件： ）連通 ）至多只能有二個頂點的次，其余頂點的次。bcda8/29/202226（2）回路存在必要條件： 對的任一非空真子集，的連通分圖個數(shù)|。 8/29/202227