北師大版必修5高中數(shù)學(xué)第二章《正弦定理》word教案1

1、名師精編 優(yōu)秀教案其次章 解三角形 課標(biāo)要求 : 本章的中心內(nèi)容 是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最終 落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上；通過(guò)本章學(xué)習(xí),同學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探究,把握正弦定理、余弦定理,并能解決 一些簡(jiǎn)潔的三角形度量問(wèn)題；（2）能夠嫻熟運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問(wèn)和方法解決一些與測(cè)量和幾何運(yùn)算有關(guān) 的生活實(shí)際問(wèn)題；編寫(xiě)意圖與特色 1數(shù)學(xué)思想 方法的重要性數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分,解和把握；有利于同學(xué)加深數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的理本章重視與內(nèi)容親密相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),并且在提出問(wèn)題、 摸索解決問(wèn)題的策略等方面對(duì)

2、同學(xué)進(jìn)行詳細(xì)示范、引導(dǎo)； 本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理,它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論；在中學(xué),同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān) 系的定性的知識(shí),就是“ 在任意三角形中有大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角”邊及其所夾的角相等 , 那么這兩個(gè)三角形全” 等；,“ 假如已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)教科書(shū)在引入正弦定理內(nèi)容時(shí),讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問(wèn)動(dòng)身,提出探究性問(wèn)題：“ 在任意三角形中有大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系. 我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢 .” ,在引入余弦定理內(nèi)容時(shí),提出探究性問(wèn)題 “ 假如已知三角形的兩條邊及其所夾的角 , 依據(jù)三角形全等的判定方法,這個(gè)三角形是大小、外

3、形完全確定的三角形 . 我們?nèi)耘f從量化的角度來(lái)爭(zhēng)論這個(gè)問(wèn)題,也就是爭(zhēng)論如何從已知的兩邊和它們的夾角運(yùn)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題；” 設(shè)置這些問(wèn)題,都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；2留意加強(qiáng)前后學(xué)問(wèn)的聯(lián)系加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系,留意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容,并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好預(yù)備, 能使整套教科書(shū)成為一個(gè)有機(jī)整體,學(xué)習(xí)和鞏固；提高教學(xué)效益, 并有利于同學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系,與中學(xué)學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系,已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的學(xué)問(wèn)有著親密聯(lián)系；教科書(shū)在引入正弦定理內(nèi)容時(shí),讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問(wèn)動(dòng)身,提出探究性問(wèn)題 “ 在任意三角形中有大

4、邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角名師精編 優(yōu)秀教案的邊角關(guān)系 . 我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系精確量化的表示呢 時(shí),提出探究性問(wèn)題 “ 假如已知三角形的兩條邊及其所夾的角.”,在引入余弦定理內(nèi)容 , 依據(jù)三角形全等的判定方法,這個(gè)三角形是大小、外形完全確定的三角形 . 我們?nèi)耘f從量化的角度來(lái)爭(zhēng)論這個(gè) 問(wèn)題,也就是爭(zhēng)論如何從已知的兩邊和它們的夾角運(yùn)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題；” 這樣,從聯(lián)系的觀點(diǎn), 從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題,使同學(xué)對(duì)于過(guò)去的學(xué)問(wèn)有了新的熟悉,同時(shí)使新知識(shí)建立在已有學(xué)問(wèn)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上,形成良好的學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)；課程標(biāo)準(zhǔn)和教科書(shū)把“ 解三角形” 這部分內(nèi)容支配在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容,位置相對(duì)靠后

5、, 在此內(nèi)容之前同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面對(duì)量、 直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系親密的內(nèi)容,這使這部分 內(nèi)容的處理有了 比較多的工具,某些內(nèi)容可以處理得更加簡(jiǎn)潔； 比如對(duì)于余弦定理的證明,常用的方法是借助于三角的方法,需要對(duì)于三角形進(jìn)行討論,方法不夠簡(jiǎn)潔,教科書(shū)就用了向量的方法,發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力；在證明白余弦定理及其推論以后,教科書(shū)從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個(gè)摸索問(wèn)題 “ 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理就指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”,并進(jìn)而指出,“ 從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,假如一個(gè)三角形兩邊

6、的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是直角； 假如小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；假如大于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是銳角 . 從上可知,余弦定理是勾股定理的推廣 . ”3重視加強(qiáng)意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐才能學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué),而如今比較突出的兩個(gè)問(wèn)題是,同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng),制造才能較弱； 同學(xué)往往不能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去,對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的實(shí)際背景明白不多,雖然同學(xué)氣械 地仿照一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法的才能較強(qiáng),但當(dāng)面臨一種新的問(wèn)題時(shí)卻方法不多,對(duì)于諸如觀看、 分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)覺(jué)問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)思維方

7、法明白不夠；針對(duì)這些實(shí)際情況,本章重視從實(shí)際問(wèn)題動(dòng)身,引入數(shù)學(xué)課題,最終把數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題；教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)支配建議1.1 正弦定理和余弦定理（約 3 課時(shí)）評(píng)判建議1要在本章的教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)依據(jù)教學(xué)實(shí)際,啟示同學(xué)不斷提出問(wèn)題,爭(zhēng)論問(wèn)題；在對(duì)于正弦定理和余弦定理的證明的探究過(guò)程中,問(wèn)題的方一直啟示同學(xué)得到自己對(duì)于定理的證明；應(yīng)當(dāng)因勢(shì)利導(dǎo), 依據(jù)詳細(xì)教學(xué)過(guò)程中同學(xué)摸索 如對(duì)于正弦定理, 可以啟示得到有應(yīng)用向名師精編 優(yōu)秀教案量方法的證明, 對(duì)于余弦定理就可以啟示得到三角方法和解析的方法；在應(yīng)用兩個(gè)定懂得決有關(guān)的解三角形和測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程中,一個(gè)問(wèn)題也經(jīng)常有多種不同的解決方案,應(yīng)當(dāng)勉勵(lì)學(xué)生提出自己

8、的解決方法,并對(duì)于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較；對(duì)于一些常見(jiàn)的測(cè)量問(wèn)題甚至可以勉勵(lì)同學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序,得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法；2適當(dāng)支配一些實(shí)習(xí)作業(yè),目的是讓同學(xué)進(jìn)一步鞏固所學(xué)的學(xué)問(wèn),提高同學(xué)分析問(wèn)題的解決實(shí)際問(wèn)題的才能、動(dòng)手操作的才能以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)習(xí)過(guò)程和實(shí)習(xí)結(jié)果才能,增強(qiáng)同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐才能；老師要留意對(duì)于同學(xué)實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo),包括對(duì)于實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的挑選,準(zhǔn)時(shí)訂正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤,解決測(cè)量中顯現(xiàn)的一些問(wèn)題；11 正弦定理（一）教學(xué)目標(biāo)1學(xué)問(wèn)與技能 : 通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探究,把握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定懂得 2. 過(guò)

9、程與方法 : 讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問(wèn)動(dòng)身斜三角形的兩類基本問(wèn)題；, 共同探究在任意三角形中,邊與其對(duì)角的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀看, 推導(dǎo),比較,由特別到一般歸納出正弦定理,并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作；3情態(tài)與價(jià)值：培育同學(xué)在方程思想指導(dǎo)下處懂得三角形問(wèn)題的運(yùn)算才能；培育同學(xué)合情推理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想才能,通過(guò)三角形函數(shù)、 正弦定理、 向量的數(shù)量積等學(xué)問(wèn)間的聯(lián)系來(lái)表達(dá)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一；教學(xué)重點(diǎn) ：正弦定理的探究和證明及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn) ：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判定解的個(gè)數(shù)；學(xué)法： 引導(dǎo)同學(xué)第一從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：aAbBcC,接著就一般斜sinsinsi

10、n三角形進(jìn)行探究,發(fā)覺(jué)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo),讓同學(xué)發(fā)覺(jué)向量學(xué)問(wèn)的簡(jiǎn)捷,新奇；教學(xué)設(shè)想 創(chuàng)設(shè)情形 如圖 11-1 ,固定 ABC的邊 CB及 B,使邊 AC圍著頂點(diǎn) C轉(zhuǎn)動(dòng)； A 摸索：C的大小與它的對(duì)邊 AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？明顯,邊 AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而增大；能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？ B C 探究爭(zhēng)論 名師精編優(yōu)秀教案圖 11-1 在中學(xué), 我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形,下面就第一來(lái)探討直角三角形中,角與邊的等式關(guān)系；如圖 11-2 ,在 Rt ABC中,設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 依據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函

11、數(shù)的定義,有 a c sin A,b c sin B,又 sin C 1 c c, A 就aAbcCcBc b c C a B sinsinBsinabC從而在直角三角形ABC中,Asinsinsin 圖 11-2 摸索：那么對(duì)于任意的三角形,以上關(guān)系式是否仍舊成立？（由同學(xué)爭(zhēng)論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情形：如圖 11-3 ,當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí),設(shè)邊AB上的高是 CD,依據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,有 CD= sinBb sinA, 就aAbB,sinsin C c 同理可得 sinCbB, b a 圖 11-3 sin從而aABbcC A c B sinsinsin 摸索：是

12、否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題；（證法二）：過(guò)點(diǎn) A 作 j AC,由向量的加法可得 AB AC CB C 就j ABcos 900jABjAC CB A B aja C ,即 sinAc jABjAC jCBA0j CBcos 900C sinAsinsinC同理,過(guò)點(diǎn)C作 jBC ,可得名師精編優(yōu)秀教案bcsinBsinC從而abc（由同學(xué)課后自己推導(dǎo)）從sinAsinBsinC類似可推出,當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí),以上關(guān)系式仍舊成立；上面的研探過(guò)程,可得以下定理正弦定理： 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即a b csin A sin B sin C

13、 懂得定理 : （1）正弦定理 說(shuō)明同一三角形中,邊與其對(duì)角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù) k 使 a k sin A,b k sin B,c k sin C；（2）sin aA sin bB sin cC 等價(jià)于 sin aA sin bB, sin cC sin bB, sin aA sin cC從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊,如absinA；sinB已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值；一般地,已知三角形的某些邊和角,求其他的邊和角的過(guò)程叫作 解三角形 ； 例題分析 : 例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B0

14、 81.8,a42.9cm,解三角形；0 66.2 ；解：依據(jù)三角形內(nèi)角和定理,C1800AB0 1800 32.00 81.8 依據(jù)正弦定理,basinB0 42.9sin81.80 sin32.080.1 cm ；sinA依據(jù)正弦定理,casinC74.1 cm .42.9sin66.20sinAsin32.00評(píng) 述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用運(yùn)算器；例 2在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形 （角度精確到0 1 ,邊長(zhǎng)精確到 1cm）；解：依據(jù)正弦定理,sinBbsinA28sin4000.8999.,casinC20sin76030 cm .a20由于0

15、0 B 0 180 ,所以B640,或B0 116 . 當(dāng)B640時(shí),C1800A B 18004000 64 760sinAsin400 當(dāng)B1160時(shí),C1800AB 18004000 116 240,casinC013 cm .20sin24 0 sin40sinA評(píng)述：應(yīng)留意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),可能有兩解的情形；名師精編 優(yōu)秀教案 隨堂練習(xí) 第 47 頁(yè)練習(xí) 1、2 題；例 3已知 ABC中,A 60 ,0a 3 , 求 a b csin A sin B sin C分析：可通過(guò)設(shè)一參數(shù) kk0 使 a b c k , sin A sin B sin C證明出 a b c

16、 a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C解：設(shè)sin aA sin bB sin cC k k o 就有 a k sin A,b k sin B ,c k sin C從而 sin A asin bB csin C = k sinsin AA ksin sinB Bsin k sinC C =k又sin aA sin60 30 2 k ,所以sin A asin bB csin C =2 評(píng)述：ABC中,等式 a b c a b c k k 0 恒成立；sin A sin B sin C sin A sin B sin C 補(bǔ)充練習(xí) 已知 ABC中, sin A :s