部分課外平面幾何定理證明

1、部分課外平面幾何定理證明一.四點共圓很有用的定理，下面的定理證明中部分會用到這個，這也是我把它放在第一個的原因。這個定理根據(jù)區(qū)域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，據(jù)筆者所知，北京中考是可以直接用的。其余的還是問問老師比較好。起碼在選擇題是大有用處的。對角互補四點共，同向同張角相尊，童思ft：K在線段的同一個方向上的張角相等那么四點共圓2,對角互補時四點共圓匚如果四點共國，哲我要利吊圓內(nèi)的知識：同弦所対的圓周角相尊-四邊形對角線対應(yīng)戰(zhàn)比例，四邊形的卩龜尊于它的內(nèi)對角：弄等?？荚嚂r可以畫上輔期圓來強題.四點共國是初中虺它看時很重要很有必要大家證明一下同向同張角相等，四垃共回：（利巨相似轉(zhuǎn)化

2、成對驚互補即可）Ml.BRtAzBC4.4D14CfAI康OlfeM邊上jft,曲$0空于F,cmOB交事Qia干I:TuiJd忻IttBVVAx.t(.4.統(tǒng)怨和tn：斗耳j神必虬m沖咐i）.itp寺O知4C込中=：tL晳西：.Frj-倍OE4(-Z)i*雷“ffisl己蛉:LEJiFAfiCCH*EJAW5中點.fffADX笫H-Wjeoo,涉.6DF網(wǎng)邙傭oovijq隔序Moag唯.oo=pc.zC=ODEOFEOFE-ABCHrnOF/OE=AC/AB=i弟三閩：H：rtWOF/OE=AC/ABrt-舟.BED-K.0.FC3E于邛G.BH?j：WC2FC子H,金櫓DW*1iFliE：

3、EDK(2)：DGHa*!*SRt=ft.三角形三垂線交于一點四點共圓的一次運用。很多人都知道三垂線交于一點，在這里給出證明三肅形的三垂踐艾于一點如酥-EEC-鄧-HDC1強B求證，ArC90證:T-拉疋*一亡芒用1的七GDH、鎂虱-甘d少3又T一血-一辺號就：4罠小娛團BAD-3ED-BaD-DCD又T一朋”-CSF.CfB4DB90:三三角形垂心是連接三垂直所得到新三角新的內(nèi)心由三角形的三垂線可得多組四點共圓，一般有垂心的題都離不開四點共圓。估計這個結(jié)論在中考是不能直接用的，如果地區(qū)允許四點共圓的話稍微證一下就行了。BD莆形的垂沁塞接垂足得到新用影的內(nèi)心如臥點H罷ABC的壘心貝怕龍ADEF

4、的內(nèi)心證明：ViU5Z-*FB.AM.朕風(fēng)JRD-JFDTBFC-JC臥C.E、玦團，-HSD-FCMFD-5C.艮MH平分-DFii同理可得3A跖整在DE用J總芋氓蛭點娛AD曰啲阿心四圓幕定理（在這里只是一部分）為割線定理、切割線定理于相交弦定理的總稱。這個應(yīng)該是很多地方都允許用的，如果不能用的話也是稍微證一下就行了。矗線定1罷魁典一盧引兩彖帯耀交于也眈苗點.；SnSPA-PC=PB-PD證明，D=PAE.APABcAPDC切劃繪宦理：從閱外-MP引圓的切勢$嚴(yán)如圖卿PB:-PAPC相交弦宦理；囲內(nèi)的兩秦弦相交.如圖則有AGBG=CGDG-BDC-CAB-ABD=-DCH._GDB.CrAC

5、GDGB=nAG*BG=CG-DGGAGC五射影定理（歐幾里得定理）什么也不說了，初中幾何里應(yīng)該是比較常用的。目測考試隨便用射彭定理;：如圖，在RtABC中(BAC=90;),APC則ABBD-BCACD-CBAD:=BDCB易證得M丸、Adba.AaicS-tg似.45j?cACCBadCD則.BDABCDACBD.3:.4B：BD3CAC1CDCBAD-BDc5貶用-iC2*sc2-2itCT-44氐V4J-3D1又叮-.c;-o;(5D-CB-CDAC*-2CB.O-C02aC-C32-1C3CD.-iJ?-3C:-2-CS-C：i八弦切角定理很簡單，估計每個地方都允許的。就算不把它當(dāng)定

6、理，自己也能發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論B弦切借定理弦切箱竽于其瓠的_APQ=_ABP弦切角宜線PQOO切于點P.冥過P點的弦AP月直線PQ的夾甬_APQf?為金的弦切博遠科：連鏤OVOP,jAPQ無_JjyZOPA90s-Z1一AOP=18(-lOPA=lS(r-290c-ZlJ=180=-1SO=+21ABP=丄ZAOPw/l九燕尾定理（共邊比例定理）面積法思想，出現(xiàn)中點時可以用來證線段相等（例如下一個，重心），另外用于比例也是挺好使的。中考的時候，直接用的話估計老師會認為你跳躍度太大，考慮的時候想到這個，證明的時候用面積法就行了。弄涯厶上玄申拄意一點Kix丸、ccpc.aC-尿于如、E、F*5j-京報d

7、辿邂.弘曲84気心%心證：Hjttc.sn一二越垂iK.m3X-yif3：-l3._C2?.VC1ZCD只”込空辿吃-處逛竺WSiooo也g弘OCV2舶.心3_處如.龜舟?S$AC0H加8十.海倫公式已知三角形三邊可求其面積，可用余弦定理和正弦求面積公式推導(dǎo)，但余弦定理是高中知識（在后面會放出來）所以不用在這里。另外公式里帶根號，若三邊中有根號的配湊一下應(yīng)該可以開根。這里是海倫公式的一個探討，推廣至n邊形面積。在第五頁有海倫公式的各種變形，其中變形的個邊帶有平方，可以解決邊長帶根號的問題，缺點是過于冗繁。吧友可以根據(jù)自己的情況進行探討。中考嘛，一直不是很喜歡，過多的限制，不能發(fā)揮自己的能力。這

8、個公式就不推薦考試的時候用了。齊倫去孔，設(shè)的三邊為乩證明=生AB匚MjpfPYHp-b*J?-CJ.重心三中線交于一點。同垂心三呼妹菠于一出點扛禪刷右G“沖點，且用倍厭r仟占J攣tilOJCffl*P*ii朗如下.壯曲一*F思蠹0疔生皿空y/sMgwF則孔i邙-弘jets-SzijfG又由載尿宦理視免心-級SA.1AG533=2十二.重心定理：重心把中線分為2:1兩部分。總的來說這些定理考試能用否得問老師，不能用的話，作平行線把推導(dǎo)過程代進證明過程就算是側(cè)面使用定理了，肯定不會扣分的。證明|逹接EFEFGMBCGEFEGEGIBC_CG2丄AG-2DGEG=2EGCG=LFG十三歐拉線由重心定

9、理簡單得出估計中考題都不會考共線神馬的（起碼廣東這地方是不會考的）踐疑穌三螢羽甲命豪“垂心共竝程爭冊粗且妣對心就離代斶i2i泌心沖取處乂坤歡JbW則決MIL0延氏tx汪.晦憶*：cX、廷療點3HaG2C.l/HG2GO曲.旳sZOG口AM3fO又7OU/J.je觀-B心.潭D,話Cft爭心汗、G幟瞇十四.托勒密定理很好用的一個競賽定理。中考填空就能用這個解，作垂線設(shè)方程就得出來了，其他人還向外做了正三角形神馬的。所以個人感覺了解多點知識對于考試或?qū)τ谂d趣都是挺好的留邊形若兩粗對邊乘積之荊尊于対用線之積則四點冀托勒空圧理四邊財若四處共團則期蜩邊菜稅之和尋于對危緒的枳如圖劃BD-BCAD=CDAB

10、證明jHD上取慮壬使-DBE=ABC：心DBEABChBDEmBAC,ABDEwZkBAChdd蒼一=BDAC-DE酣BAAC：WBDE=jiABC/.eABD二CBE又jBCEBADACBEcnAABD卜五.余弦定理AC-3-5C：咖*.2aBaC.1.C-3C-.87JC-WL十七.賽瓦定理（ceva定理）賽瓦定理克GSZXjA匸內(nèi)任賁一點，則RDCEAf.DCEAFB證】由燕冕定理得仏碇、込氏G沁必$ACG$氏垃%CSGBDCEAFM.-ZXT4FE又；5.i3G.%JOG?$AC疋=J$C尸是占詔円的三案CfvaP由心苗定理得B亡V.&D十=hSPFCxBD=CDx3PCD.BPP、9

11、B、C雖以一組調(diào)和點列證華丄f4Z厝分山Q_.1島ZXC蹇一粗詛和點列上逑辭中，任畫兩個爾立則第三牛也廣立命題II（=5）:已如I丹分詁技且3_佔則盛D、CE是一組iA和點孰證：廷長血至慮站使如七C逕陳逐出千磕XAABC,由帚平分我定理得竺竺ACDC直線丘心載心Ud由血:昴軸定理得EBCNMl.呦C.WAB丫：1EMCT上“匚叮ADMG_or-90d筋證iVt?g:中x-1CEABEBAC百CaB-,即BxDCB）-CECDC3、D、C是一組調(diào)和點列證舉證：輔勁妓如上詢題所作聞平廿張疋理得克線?門犧4SCXL由用：;-.i!n淀瑾得分-乩!U仙_.if：罠D、Ch是弓且謁和點列上堆棊件中，任宜

12、兩個成立則弟三個也成立命題【II（伽=:己知-辺平號-滋匚且品D.C忑是一組謂和點列貝仙-JE代入中得CVcv=w易得一丄、芒蠱匕小對則上4JWC=90俶丁AD/fMC:AD1AE證畢.4BBDCEXMAB丈二忙=.丄忖EBWAC,.X11X皿1CEMfAB由EBCXDC.*.XX1CENMBDv3.D-C.是粗詢和點列.BDCECDBE亠BDBlcBceBDCE=XCDBE牡評分-3AC止J丄月三占、D、CyE是一組調(diào)和點列上述弟件中.任意兩個戚立則第三牛也成立命題IV（n）i已知.3丄”沱且D、6三杲一組調(diào)和點列剛川評分一5月匸uEl過點灘衛(wèi)確平行線交”富M于點M.V則有一D_V=9MDB

13、DCD_D.VjJ=sF,ce7=F又TMD、C三是一組調(diào)和點列SDxCEhBChEEgDX-.aEaE由-ZXDX=90S.-.如平分厶證畢此證法由吧友ii提供二十中線定理表述了三角形三邊與中線長的關(guān)系三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。即，對任意三角形ABC設(shè)I是線段BC的中點，AI為中線，則有如下關(guān)系：ABA2+ACA2=2BIA2+2AIA2或作ABA2+ACA2=1/2BCA2+2AL2卜一.角平分線定理角平分線的比例性質(zhì)證法一：面積法過D做DE1AB*DF垂宜于AC,垂足為E、F證法二；比例線段過C作CEVAR,交AD延長線干EZE-ZB.W-Z

14、DJCCAECBDBAABj5c_ce_acABBD1CCD二十二九點共園定理（歐拉圓、費爾巴赫圓）三角形三邊的中點，三條高的垂足，垂心與各頂點連線的中點這九點共圓二十三張角定理在厶ABC中，D是BC上的一點，連結(jié)AD那么sin/BAD/AC+sin/CAD/AB=sin/BAC/AD逆定理：如果sin/BAD/AC+sin/CAD/AB=sin/BAC/AD,那么B,D,C三點共線。定理的推論：在定理的條件下，且/BAD=/CAD即AD平分/BAC貝UBDC共線的充要條件是：2cos/BAD/AD=1/AB+1/AC二十四蝴蝶定理由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：圓0中

15、的弦PQ的中點M過點M任作兩弦AB,CD弦AD與BC分別交PQ于X，Y,貝UM為XY之中點。二十五清宮定理設(shè)P、ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關(guān)于三邊BCCAAB的對稱點分別是U、V、W,且QUQVQW分別交三邊BCCAAB或其延長線于D、E、F,貝UD、E、F在同一直線上p二十六.西姆松定理(cave定理)過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。二十七.角元塞瓦定理設(shè)P為平面上一點(不在AB、BCAC三條直線上),且(sinBAP/sinPAC)(sinACP/sinPCB)(sinCBP/sinPBA)=1則ADBE、CF三線共點或互相平行.推論若所引的三條線段都在ABC內(nèi)部，則這三條直線共點?！緯簳r缺圖】二十八莫利定理將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。二十九.斯坦納定理如果三角形中兩內(nèi)角平分線相等，則必為等腰三角形三十斯臺沃特定理（斯氏定理）任意三角形ABC中，D是底邊BC上一點，聯(lián)結(jié)AD,則有：ABA2CD+ACABD=（ADA2+BDB