《信號與系統(tǒng)》第五章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、第五章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析5.1 拉普拉斯變換5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 拉普拉斯變換逆變換5.4 復(fù)頻域分析 頻域分析以虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。 本章引入復(fù)頻率 s = +j，以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率 s ，故稱為s域分析。引言（1）掌握單邊拉普拉

2、斯變換的定義和性質(zhì)；（2）掌握拉普拉斯逆變換的計(jì)算方法（部分分式分解 法）；（3）掌握系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法；（4）掌握系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)的概念；（5）掌握系統(tǒng)的框圖表示。教學(xué)基本要求若乘一衰減因子 其中 為任意實(shí)數(shù)，則 收斂，便滿足狄里赫利條件一、從傅里葉到拉普拉斯變換有幾種情況不滿足狄里赫利條件：5.1 拉普拉斯變換相應(yīng)的傅里葉逆變換 為令 , ，有5.1 拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換對 稱為 的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)）， 稱為 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。 符號表示：5.1 拉普拉斯變換 從上述推導(dǎo)過程可得：（1） 可看成是信號 的傅里葉變換；（2）也可看成是信號 的雙邊拉氏變換；

3、（3） 是拉氏變換在 的特例； 物理意義：信號 可分解成復(fù)指數(shù)信號 的線性組合。5.1 拉普拉斯變換（4）許多原來不存在傅里葉變換的信號都可能存在拉氏變換；二、收斂域 拉氏變換存在的充分條件：（5）拉氏變換的物理概念不如傅里葉變換的概念清楚。使f(t)拉氏變換存在的的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域。 下面舉例說明拉氏變換收斂域的問題。5.1 拉普拉斯變換例1: 因果信號 ，求其拉普拉斯變換。 解： 對于因果信號，僅當(dāng)Res=時(shí)，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界因果信號的收斂域?yàn)槟持本€的右半平面5.1 拉普拉斯變換例2 :反因果信號 ，求其拉普拉斯變換。 解： 對于反因果信號，僅當(dāng)

4、Res=時(shí)，收斂域：Res當(dāng) 2Res= 3 3 2象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。5.1 拉普拉斯變換例5： 時(shí)間有限信號時(shí)間有限信號的收斂域?yàn)镾全平面。5.1 拉普拉斯變換通常遇到的信號都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換 5.1 拉普拉斯變換簡記為（1） 的單邊拉氏變換和雙邊拉氏變換可能相等也可能不相等；說明：（2） 的雙邊拉氏變換和 的單邊拉氏變 換相等；5.1 拉普拉斯變換（3）滿足 的信號稱為指數(shù)階信號，指數(shù)階信號的單邊拉氏變換一定存在；（4） 等信號比指數(shù)函數(shù)增長快，找不到收斂坐標(biāo)，為

5、非指數(shù)階信號，無法進(jìn)行拉氏變換；（5）有界的非周期信號的拉氏變換一定存在；（6）一般求信號的單邊拉氏變換可以不加注其收斂 范圍。5.1 拉普拉斯變換四、常用函數(shù)的拉普拉斯變換 1. (t) 2. (t)或1 3. 指數(shù)函數(shù) Res0(t) 0 01， - s， -1/s ， 05.1 拉普拉斯變換4. 周期信號 05.1 拉普拉斯變換5. 矩形脈沖信號 特例：5.1 拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 Res0 要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。 根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況： （1）0-2； F(j)=1/( j+2)5.1 拉普拉斯變換（2）0 =0，即F(s)的收

6、斂邊界為j軸， 如f(t)= (t)F(s)=1/s = () + 1/j （3）0 0，F(xiàn)(j)不存在。 如f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2； 其傅里葉變換不存在。5.1 拉普拉斯變換一、線性性質(zhì)例1：二、尺度變換5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例2：如圖信號 的拉氏變換求圖中信號 的拉氏變換 。解：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)三、時(shí)移（延時(shí)）特性 若 且有正實(shí)常數(shù)t00則與尺度變換相結(jié)合例3: 求下圖所示信號的單邊拉氏變換。5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)解：例4：例5:5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)解：例6: 已知 求5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)四、復(fù)頻移（s域平移）特

7、性 例7: 已知因果信號 的象函數(shù)求 的象函數(shù)。 且有復(fù)常數(shù)5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)五、時(shí)域的微分特性（微分定理） 若 為因果信號，則例8:例9: 例10:5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)六、時(shí)域積分特性（積分定理） 例11:5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例12:已知因果信號 如圖 ，求解：對 求導(dǎo)得 ，如圖結(jié)論：若 為因果信號，已知 則5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)七、卷積定理 時(shí)域卷積定理 若因果信號 則復(fù)頻域（s域）卷積定理 例14：例13：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)八、s域微分和積分 例15：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例16：例17：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)九、初值定理和終值定理 初值定理：設(shè)函數(shù)f(t)不含

8、(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)終值定理： 若f(t)當(dāng)t 時(shí)存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，則 注意：終值定理是取S 0的極限，因而S=0的點(diǎn) 應(yīng)在SF(S)的收斂域內(nèi)，否則不能應(yīng)用終值定理5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例18：解1：解2：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例19：解：解：例20：假分式5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例21：例22：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)線性時(shí)域微分時(shí)移頻移尺度變換5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)終值定理卷積定理初值定理時(shí)域積分時(shí)域積分時(shí)域積分5.2 拉普拉斯變換性質(zhì) 直接利用定義式求反變換-復(fù)變函

9、數(shù)積分，比較困難。 通常的方法 （1）查表 （2）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開 -結(jié)合 一般象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為 若mn （假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。 5.3 拉普拉斯逆變換由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。 一、查表法 見課本5.3 拉普拉斯逆變換ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。s1, s2, sm是B(s)=0的根，稱為F(s)的零點(diǎn)p1, p2, pn是A(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)二、部分分式展開法分解5.3

10、拉普拉斯逆變換 找出F(s)的極點(diǎn) 將F(s)展開成部分分式 求f(t)2、部分分式展開法 (真分式，mn)1、拉氏逆變換的過程根據(jù)極點(diǎn)的情況分別討論： F（s）有實(shí)單極點(diǎn) F（s）共軛單極點(diǎn) F（s）有重極點(diǎn)5.3 拉普拉斯逆變換（1）F(s)為單階實(shí)極點(diǎn)例1：5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換例2：5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換（2）F(s)包含共軛單極點(diǎn)(p1,2 = j)K2 = K1* f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若寫為K1,2 = A jBf1(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t) (t) 5.3 拉普拉斯逆變換例3：5.3

11、拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換例4：例5：5.3 拉普拉斯逆變換（3）F(s)有重極點(diǎn)（重根） 若A(s) = 0在s = p1處有r重根， K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 5.3 拉普拉斯逆變換例6：5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換2.含e-s的非有理式三、F(s)兩種特殊情況1.非真分式真分式多項(xiàng)式 （作長除） 5.3 拉普拉斯逆變換一、微分方程的變換解 描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。

12、思路：用拉普拉斯變換微分特性若f (t)在t = 0時(shí)接入系統(tǒng)，則 f (j )(t) s j F(s)5.4 復(fù)頻域分析yzs(t)Yzi(s)Yzs(s)yzi(t)y(t)=+5.4 復(fù)頻域分析例1： 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)f (t) = 5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解： 方程取拉氏變換，并整理得Yzi(s)Yzs(s)若已知y(0+)=1，y(0+)= 95.4 復(fù)頻域分析y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (

13、t) + yzi(t)yzs (t)自由響應(yīng)(暫態(tài)響應(yīng))強(qiáng)迫響應(yīng)(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))5.4 復(fù)頻域分析總結(jié)：與時(shí)域分析的不同：初始值的關(guān)系：5.4 復(fù)頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù) H(s)的求解方法：1. 2. 已知微分方程，在零狀態(tài)下做拉氏變換3. 已知系統(tǒng)框圖，找出零狀態(tài)下系統(tǒng)的響應(yīng)與 激勵(lì)的關(guān)系；4. 已知電路圖，由電路圖的s域模型來求解。5.4 復(fù)頻域分析例2： 已知當(dāng)輸入f (t)= e-t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為

14、y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆變換 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 再求g(t)?若y(0-)=1, y(0-)=-1,求yzi(t)5.4 復(fù)頻域分析例3:描述一線性時(shí)不變因果連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 （1）求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 和頻率響應(yīng) 。 （2）初始狀態(tài) , ，試求零輸入響 應(yīng) 。（3）若輸入信號為 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。5.4 復(fù)頻域分析三、系統(tǒng)的s域框圖 （因果信號）時(shí)域模型S域模型5.4 復(fù)頻域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例4： 如下框圖，列出其微分方程解： 畫出s域框圖,s-1s-1F(s)Y(s) 設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代數(shù)方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) 微分方程： y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求h(t)?5.4 復(fù)頻域分析四、電路的s域模型 1、電阻 u(t)= R i(t)2、電感 U(s)= R I(s)5.4 復(fù)頻域分析U(s