力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法張量

1、力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法張量第1頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一在分量表示法中，與分量指標(biāo)相配的基矢量被省略了，但隱含如下約定：所討論的同階張量都具有相同的基，并且張量指標(biāo)的正常排列順序應(yīng)和基矢量的順序相同，否則就是轉(zhuǎn)置張量。例如：一、隱含約定對1，2指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：而張量S的按其分量應(yīng)記為：故(見：黃克智等張量分析第2版，清華大學(xué)出版社，p31)第2頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一二、 二階張量的分解任何一個(gè)一般二階張量 都可以分解成一個(gè)對稱張量和一個(gè)反對稱張量之和，即：反對稱張量對稱張量第3頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星

2、期一三、 高階張量的對稱和反對稱高階張量可以是關(guān)于一對下標(biāo)(或上標(biāo))對稱或反對稱。例如置換張量，它關(guān)于任一對下標(biāo)是反對稱的：第4頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一四、兩個(gè)二階張量點(diǎn)乘有下面性質(zhì)證明：1）1）第5頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一2）證明：利用即2）第6頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一五、實(shí)對稱方陣的本征值(特征值)與本征矢量（特征向量）實(shí)對稱方陣對應(yīng)實(shí)對稱二階張量在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，常出現(xiàn)下述形式的齊次代數(shù)方程參見：匡震邦非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ)和黃克智等張量分析（可寫成 ）（可寫成 ）特征值特征方程對應(yīng)三個(gè)

3、根 的三組非零解 ，各自構(gòu)成不同的矢量方向，稱為特征矢量第7頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一1）坐標(biāo)變換x y zx y z六、坐標(biāo)變換與二階張量不變量兩個(gè)直角坐標(biāo)系，基矢量分別為兩個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸夾角余弦基矢量間的變換第8頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一有9個(gè)分量，構(gòu)成二階張量注意到同理第9頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一張量記法矩陣記法是正交張量，是歸一化正交矩陣坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)第10頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一類似于矢量的坐標(biāo)變換二階張量的坐標(biāo)變換第11頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一2）二階變量的不變量由第12頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一由第13頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一七、各向同性張量在所有正交變換下分量都相同的張量，稱為各向同性張量第14頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一1.5 張量的微分與積分 第15頁，共17頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)16分，星期一一、微分運(yùn)算 梯度1）標(biāo)量場的梯度 例如：笛卡爾直角坐標(biāo)系下第16頁，共17頁，202