2015版高數(shù)作業(yè)冊參考答案

1、1第八節(jié) 連續(xù)函數(shù)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的間斷點(diǎn)小結(jié) 思考題 作業(yè) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2間變化很小時(shí),生物生長的也很少.在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.在自然界中,許多事物的變化是連續(xù)的,如氣溫變化很小時(shí),單擺擺長變化也很小.時(shí) 在高等數(shù)學(xué)中,主要的研究對象就是連續(xù)函數(shù).這種現(xiàn)象從直觀上不妨這樣說, 連續(xù)函數(shù)的特征就是它的圖形是連續(xù)的,也就是說,可以一筆畫成. 連續(xù)函數(shù)31. 函數(shù)的增量自變量稱差為自變量在的增量;函數(shù)隨著從稱差為函數(shù)的增量.如圖:一、函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)4連續(xù),2. 連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù) f (x)在內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f

2、(x)的連續(xù)點(diǎn).定義2若則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù). 把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值. 自變量在x0點(diǎn)的增量為無窮小時(shí),函數(shù)的增量也為無窮小.形象地表示了連續(xù)性的特征.采用了無窮小定義法充分必要條件 連續(xù)函數(shù)5連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有但本質(zhì)相同.f (x)在內(nèi)有定義;(1)(2)(3)三個(gè)要素:定義3 把極限定義嚴(yán)密化,便于分析論證.存在; 連續(xù)函數(shù)6注 一般講,證明的命題用函數(shù)連續(xù)的定義1方便;是判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否連續(xù)用判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù),尤其定義2方便.某一鄰域而言.由上述定義可知,f(x)在x0點(diǎn)的連續(xù)性

3、是描述 f(x)在x0點(diǎn)鄰域的性態(tài)的.即它是對因此在孤立點(diǎn)處無連續(xù)可言. 連續(xù)函數(shù)7例證都是連續(xù)的.類似可證,是連續(xù)的.即 連續(xù)函數(shù)8例證定義2試證函數(shù)處連續(xù). 連續(xù)函數(shù)93. 左、右連續(xù)左連續(xù)(continuity from the右連續(xù)(continuity from theleft);right).左連續(xù)右連續(xù) 連續(xù)函數(shù)10定理1 此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性. 連續(xù)函數(shù)11例解右不連續(xù).所以左連續(xù), 連續(xù)函數(shù)124. 連續(xù)函數(shù)(continous function)與連續(xù)區(qū)間上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間在開區(qū)間右連續(xù)左端點(diǎn)右端點(diǎn)這時(shí)也

4、稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)13例如,有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)內(nèi)是連續(xù)的.因此有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù)只要都有因此有理整函數(shù)在都是連續(xù)的. 連續(xù)函數(shù)14定理1如,則由于1、四則運(yùn)算的連續(xù)性 也在點(diǎn) x0連續(xù); 在其定義域內(nèi)連續(xù). 在點(diǎn) x0連續(xù); 在點(diǎn) x0連續(xù).二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 連續(xù)函數(shù)15如, 結(jié)論: 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)定理2故同理,2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)增加且連續(xù),單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).也是單調(diào)增加且連續(xù).單調(diào)減少且連續(xù).單調(diào)增加且連續(xù).單調(diào)減少且連續(xù). 連續(xù)函數(shù)16定理3設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與

5、函數(shù)復(fù)合而成,而函數(shù)連續(xù),則 連續(xù)函數(shù)意義可交換次序;1. 變量代換的理論依據(jù). 2. 在定理的條件下,17例解由所以定理3則有 連續(xù)函數(shù)18例解這里不連續(xù),但所以定理3則有 連續(xù)函數(shù)19定理4設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成,若函數(shù)連續(xù),而函數(shù)連續(xù),則復(fù)合而成也連續(xù).是由連續(xù)函數(shù)因此復(fù)合而成 例 連續(xù)函數(shù)20三角函數(shù)及反三角函數(shù)(1)(2)(3)是連續(xù)的;3、初等函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)且連續(xù);指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)且連續(xù);(4)冪函數(shù)連續(xù);討論不同值.在它們的定義域內(nèi) 連續(xù)函數(shù)21定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義

6、區(qū)間內(nèi)連續(xù)1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注在其定義域內(nèi)不一定連續(xù); 連續(xù)函數(shù)22例解2. 初等函數(shù)求極限的方法注代入法. 連續(xù)函數(shù)23解答思考題如果函數(shù) f (x)、g(x)至少有一個(gè)在點(diǎn)x0不那么, f (x) + g(x)在該點(diǎn)是否連續(xù)?連續(xù),(1) 若兩個(gè)函數(shù) 中只有一個(gè)在點(diǎn)x0不連續(xù),則f (x) + g(x)在點(diǎn)x0必不連續(xù). 用反證法證之:不妨設(shè)在點(diǎn)x0, 并假設(shè) f (x) + g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 則由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有:在點(diǎn)x0連續(xù),與已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在點(diǎn)x0不連續(xù). f (x)連續(xù), g(x)不連續(xù); 連續(xù)

7、函數(shù)24解答思考題如果函數(shù) f (x)、g(x)至少有一個(gè)在點(diǎn)x0不連續(xù),(2) 若f (x)、g(x)在點(diǎn)x0均不連續(xù),則 在f (x) + g(x)在點(diǎn)x0可能連續(xù),那么, f (x) + g(x)在該點(diǎn)是否連續(xù)?也可能不連續(xù).如:在 x = 0處均不連續(xù),在 x = 0處在 x = 0處連續(xù).在 x = 0處均不連續(xù),在 x = 0處亦不連續(xù). 連續(xù)函數(shù)25思考題26思考題解答且27但反之不成立.例但2829三、函數(shù)的間斷點(diǎn)301.跳躍間斷點(diǎn)例解312.可去間斷點(diǎn)例32如上例中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)333.第二類間斷點(diǎn)例解34例解注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)

8、別的幾個(gè)點(diǎn).35狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.36間斷點(diǎn)分為兩類:第二類間斷點(diǎn)(discontinuity point of the second kind):第一類間斷點(diǎn)(discontinuity point of the first kind):及均存在,及中至少一個(gè)不存在.若稱 為可去間斷點(diǎn).若稱 為跳躍間斷點(diǎn).若其中有一個(gè)為振蕩,若其中有一個(gè)為稱 為無窮間斷點(diǎn).稱 為振蕩間斷點(diǎn). 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)37可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx38可能是連續(xù)點(diǎn), 初等函數(shù)無定義的點(diǎn)是間

9、斷點(diǎn).分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn),也需要判定. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)39練習(xí)解函數(shù)無定義,是函數(shù)的間斷點(diǎn).由于所以是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn),且是無窮型.由于所以是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn),且是跳躍型.并指出其類型. 連續(xù)函數(shù)40練習(xí)設(shè)解因?yàn)樗员匦枨抑恍杓幢匦枨抑恍杓?連續(xù)函數(shù)41定義例設(shè)f (x)在區(qū)間I上有定義,使得當(dāng)恒有若存在點(diǎn)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小 值,記為則稱(大)1、最大值和最小值定理四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 連續(xù)函數(shù)42在閉區(qū)間上連續(xù)的注 (1) 定理1中的條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)性” 定理1(最大值和最小值定理)函數(shù)一定有最大值和最小值.是不可少的. 連續(xù)函數(shù)43在開區(qū)間(0,

10、1)內(nèi)連續(xù), 在(0,1)內(nèi)又如:在閉區(qū)間0,2上有函數(shù)f (x)在0,2上既沒有最大值,如:函數(shù)沒有最大值或最小值.也沒有最小值.間斷點(diǎn)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)44(2) “閉區(qū)間”和“連續(xù)性”在開區(qū)間取得最小值函數(shù) 處取得最大值 1.而不是必要條件.如函數(shù)內(nèi)連續(xù),但它在處取得最大值1;又如在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)取得最小值但它在僅是定理的充分條件, 連續(xù)函數(shù)45證由定理1(最值定理),定理2(有界性定理)有取則有 連續(xù)函數(shù)46例證：47的零點(diǎn).定理3(方程實(shí)根的存在定理)使得 零點(diǎn)定理幾何意義:如圖所示.2、介值定理 連續(xù)函數(shù)48定理4(介值定理)使得證零點(diǎn)定理 輔助函數(shù) 連續(xù)函數(shù)49幾何意義:至少有一個(gè)交點(diǎn). 連