材料力學(xué)課件chapter

1、第十三章能量方法能量方法概述能量方法概述變形固體在受外力作用而變形時(shí)，外力和內(nèi)力都將作功外力所作的功稱之外力功由于內(nèi)力所作的功儲(chǔ)存在物體內(nèi)部，稱之物體的應(yīng)變能（變形能）對(duì)于彈性體，由于變形過程中沒有能量耗散，外力在相應(yīng)的位移上所作的功，等于彈性體內(nèi)部所儲(chǔ)存的應(yīng)變能彈性體的應(yīng)變能是可逆的，即當(dāng)外力逐漸撤出時(shí)，彈性體內(nèi)部的應(yīng)變能將全部轉(zhuǎn)換為其它形式的能量能量方法概述利用功和能轉(zhuǎn)換的概念求解變形固體的位移、內(nèi)力和變形等的方法，統(tǒng)稱為能量方法能量方法不僅適用于線性彈性體，而且也適用于非線性彈性體能量方法具有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)它又是有限元方法的重要基礎(chǔ)之一應(yīng)變能 余能應(yīng)變能 余能應(yīng)變能桿件軸向拉伸（壓縮）

2、時(shí)的應(yīng)變能在彈性變形范圍內(nèi)，應(yīng)變能為注：應(yīng)變能 Ve 是伸長量 l 或位移的函數(shù) 應(yīng)變能 余能這時(shí)應(yīng)變能可寫為對(duì)于線彈性問題，這時(shí)外力 P 與伸長量 l 之間的關(guān)系為線性關(guān)系由胡克定律得：線彈性問題：材料為線彈性，且?guī)缀侮P(guān)系也為線性的應(yīng)變能 余能應(yīng)變能密度（比能）：變形物體單位體積所儲(chǔ)存的應(yīng)變能在彈性變形范圍內(nèi)，應(yīng)變能密度為：對(duì)于線彈性問題，應(yīng)力 與應(yīng)變 之間的關(guān)系為線性關(guān)系注：應(yīng)變能密度 ve 是應(yīng)變 的函數(shù) 應(yīng)變能 余能這時(shí)應(yīng)變能密度可寫為：由胡克定律得：由應(yīng)變能和應(yīng)變能密度的定義，可知它們之間有如下關(guān)系：應(yīng)變能 余能對(duì)于線彈性問題，直桿的軸向拉伸（壓縮），由于橫截面上的應(yīng)力是均勻的，因此

3、有應(yīng)變能的定義或上述公式同樣對(duì)微元體也是成立的，如對(duì)于線彈性問題有應(yīng)變能 余能圓直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能 此時(shí)，與桿件軸向拉伸（壓縮）的情況類似，只需將外力 P 與伸長量 l 之間的關(guān)系以及應(yīng)力 與應(yīng)變 之間的關(guān)系換成外力矩（扭矩）Me 與橫截面扭轉(zhuǎn)角j 之間的關(guān)系以及切應(yīng)力 與切應(yīng)變 之間的關(guān)系即可在彈性變形范圍內(nèi)，應(yīng)變能和應(yīng)變能密度分別為：應(yīng)變能 余能對(duì)于線彈性問題，應(yīng)變能為：應(yīng)變能密度為：由應(yīng)變能和應(yīng)變能密度的定義，可知它們之間有如下關(guān)系：應(yīng)變能 余能對(duì)于線彈性問題，圓直桿的扭轉(zhuǎn)，按照橫截面上的切應(yīng)力公式，因此有應(yīng)變能的定義或上述公式同樣對(duì)微元體也是成立的，如對(duì)于線彈性問題有應(yīng)變能 余能直梁彎

4、曲問題的應(yīng)變能 下面以簡支直梁的純彎曲為例（如圖所示），與前兩種情況類似，此時(shí)，外力矩（彎矩）為 M ；梁的彎曲稱圖為橫截面的轉(zhuǎn)角 對(duì)于線彈性問題，按照直梁的彎曲理論，這時(shí)外力矩（彎矩） M 與橫截面的轉(zhuǎn)角 之間的關(guān)系為線性關(guān)系應(yīng)變能 余能對(duì)于線彈性問題，應(yīng)變能為：應(yīng)變能密度為：應(yīng)變能的定義或上述公式同樣對(duì)微元體也是成立的，如對(duì)于線彈性問題，按照直梁的彎曲理論有應(yīng)變能 余能針對(duì)桿件的基本變形情況，對(duì)于線彈性問題，已分別得到了它們的應(yīng)變能與外力的關(guān)系，從中可以看出共同的一個(gè)特點(diǎn)。可以將軸力 FN ，扭矩 T 和彎矩 M 看作廣義力，而軸向伸長量 l ，橫截面的扭轉(zhuǎn)角 j 和轉(zhuǎn)角 看作廣義位移應(yīng)變

5、能的一般表示形式 注：P 為廣義力， 為廣義位移桿件的應(yīng)變能可寫成統(tǒng)一的形式：應(yīng)變能 余能在計(jì)算外力功時(shí)，還應(yīng)注意它們的位置和方向，即應(yīng)理解廣義力和廣義位移的含義廣義力廣義位移力線位移力偶轉(zhuǎn)角上述結(jié)論也適用于對(duì)桿件或變形體同時(shí)受多個(gè)廣義力的情況對(duì)于線彈性問題，且載荷為靜載情況應(yīng)變能 余能若桿件或變形體同時(shí)受廣義力 P1 , P2 , , Pn 的作用，其相應(yīng)的廣義位移（無剛體位移）分別為1 , 2 , , n，則應(yīng)變能可寫成如下形式：上述公式可應(yīng)用到桿件的組合變形中（微元體或整個(gè)桿件上）應(yīng)變能 余能互等定理 考慮圖示結(jié)構(gòu)，廣義力為 P1 , P2 ，其相應(yīng)的廣義位移分別為1 , 2 。應(yīng)變能為

6、對(duì)于線彈性問題，利用應(yīng)變能的概念，現(xiàn)推導(dǎo)功的互等定理和位移互等定理 應(yīng)變能 余能現(xiàn)將原問題分為兩步疊加而成第一步：僅有廣義力 P1作用，其相應(yīng)于原廣義力P1 和P2作用位置的廣義位移分別為11 , 21 廣義位移 ij 表示在廣義力Pj單獨(dú)作用下引起在廣義力 Pi 的作用處且在廣義力 Pi 方向上的廣義位移第二步：在廣義力 P1作用后，再加載廣義力P2 ，此時(shí)它引起原廣義力P1 和P2作用位置的廣義位移分別為12 , 22應(yīng)變能 余能應(yīng)變能為由得功的互等定理應(yīng)變能 余能功的互等定理功的互等定理：廣義力 Pi 在由廣義力 Pj 單獨(dú)作用下引起的廣義位移 ij 上作的功等于廣義力 Pj在由廣義力

7、Pi單獨(dú)作用下引起的廣義位移 ji 上作的功上述結(jié)論可推廣到多個(gè)廣義力作用下的情況。即，第一組廣義力在第二組廣義力作用下引起所對(duì)應(yīng)的廣義位移上作的功等于第二組廣義力在第一組廣義力作用下引起所對(duì)應(yīng)的廣義位移上作的功應(yīng)變能 余能功的互等定理在上面功的互等定理中若考慮廣義力 Pi和Pj均為單位廣義力的情況，則有位移互等定理位移互等定理：單位廣義力 Pi 單獨(dú)作用下引起的廣義位移 ji 等于單位廣義力 Pj 單獨(dú)作用下引起的廣義位移 ij 上述結(jié)論表示廣義位移僅在數(shù)值上是相等的，量綱上不一定是相同的，這取決于廣義力的類型應(yīng)變能 余能余能下面以桿件軸向拉伸（壓縮）情況為例簡單介紹余能等有關(guān)概念在彈性變形

8、范圍內(nèi)，外力 P 與伸長量 l 之間的關(guān)系如圖所示。稱積分為外力 P 在位移 Dl 上的余功應(yīng)變能 余能可見，余功具有功的量綱，但要注意余功沒有具體的物理意義類似，在彈性變形范圍內(nèi)，可定義余能和余能密度余能密度：余能：應(yīng)變能 余能同樣，余能具有功和能的量綱，但要注意余能沒有具體的物理意義顯然，對(duì)于線性彈性問題，在數(shù)值上具有關(guān)系然而，在概念上它們是截然不同的應(yīng)變能 余能從概念上講：外力功 W 的宗量是位移，而余功 W c 的宗量是外載荷，二者截然不同應(yīng)變能密度 ve 的宗量是應(yīng)變，余能密度 vc 的宗量是應(yīng)力，二者截然不同應(yīng)變能 余能例 1. 長為l、抗彎剛度為EI的簡支梁承受均布載荷q的作用，

9、確定其應(yīng)變能。lq解：梁任一截面 n-n 上的彎矩為nn從而整個(gè)直梁的應(yīng)變能為應(yīng)變能 余能另一方面，根據(jù)梁的彎曲理論，在均布載荷q的作用下，梁的撓度為lq利用外力功等于梁的應(yīng)變能，有應(yīng)變能 余能例 2. 計(jì)算原為水平位置的桿系在垂直力P 作用下的應(yīng)變能解：設(shè)桿系中的兩桿在載荷由零增至 P 時(shí)，每根桿伸長 Dl，桿的軸力為FN ，力 P 作用點(diǎn)產(chǎn)生鉛直位移 dlPlda桿的軸力和伸長的關(guān)系為從而，桿伸長后的長度為lPl應(yīng)變能 余能利用幾何關(guān)系，力作用點(diǎn)的垂直位移為這里，由于桿的伸長Dl是小量，故略去高階量da利用平衡條件，可得由于角度a 很小，近似有應(yīng)變能 余能得：可見，盡管材料為線彈性的，然而

10、，位移 d 和載荷 P 之間的關(guān)系卻是非線性的，這種非線性稱之為幾何非線性問題利用dPdalPl應(yīng)變能 余能當(dāng)外載荷為P 時(shí)，桿系的應(yīng)變能另一方面，桿系的應(yīng)變能等于外力功，從而卡氏定理卡氏定理卡氏第一定理考慮廣義力P1、P2、P3 、 、 Pn 作用下的桿件系統(tǒng)（以梁為例）設(shè)桿系發(fā)生變形后，在 P1、P2、P3Pn 作用方向上的廣義位移分別為 d1、d2、d3dn。根據(jù)應(yīng)變能與外力功的關(guān)系，有卡氏定理即應(yīng)變能 Ve 是所有廣義力 Pi 相應(yīng)廣義位移 di 的函數(shù)設(shè)與第 i 個(gè)廣義力 Pi 相應(yīng)的廣義位移 di 有一個(gè)微小增量 ddi，則系統(tǒng)應(yīng)變能的增量為對(duì)應(yīng)于此微小增量 ddi ，外力功的增量

11、為（只有Pi作了功）卡氏定理由于卡氏第一定理表明，彈性桿件的應(yīng)變能對(duì)桿件上與某一廣義力所相應(yīng)的廣義位移的變化率，就等于該廣義力卡氏第一定理既適用于線彈性問題，也適用于非線性彈性問題卡氏第一定理卡氏定理克羅第 恩格塞定理考慮廣義力P1、P2、P3 、 、 Pn 作用下的桿件系統(tǒng)（以梁為例）設(shè)桿系發(fā)生變形后，在 P1、P2、P3Pn 作用方向上的廣義位移分別為 d1、d2、d3dn。根據(jù)余能與外力余功的關(guān)系，有卡氏定理即余能 Vc 是所有廣義力 Pi 的函數(shù)設(shè)第 i 個(gè)廣義力 Pi 有一個(gè)微小增量 dPi，則系統(tǒng)余能的增量為對(duì)應(yīng)于此微小增量 dPi ，外力余功的增量為（只有i 作了余功）卡氏定理由

12、于克羅第 恩格塞定理表明，彈性桿件的余能對(duì)桿件上某一廣義力的變化率，就等于該廣義力所相應(yīng)的廣義位移克羅第 恩格塞定理既適用于線彈性問題，也適用于非線性彈性問題克羅第 恩格塞定理卡氏定理卡氏第二定理對(duì)于線彈性問題，由于這時(shí)有 W = Wc，Ve = Vc ，克羅第 恩格塞定理可改寫為卡氏第二定理卡氏第二定理表明，彈性桿件的應(yīng)變能對(duì)桿件上某一廣義力的變化率，就等于該廣義力所相應(yīng)的廣義位移卡氏第二定理僅適用于線彈性問題應(yīng)用卡氏第二定理時(shí)應(yīng)變能應(yīng)寫成廣義力或內(nèi)力的函數(shù)卡氏定理卡氏第二定理應(yīng)用到桿件的組合變形中注：這里桿件的內(nèi)力（軸力 FN(x) ，彎矩 M(x) 和扭矩 T(x) ）不僅依賴坐標(biāo) x（

13、橫截面的位置），而且還依賴外載荷（廣義力）P1、P2、P3 、 、 Pn卡氏定理例 1.圖示桁架的桿件AB、BC的截面積均為A，材料相同，彈性模量為E，在結(jié)點(diǎn)B處承受集中力P的作用，求節(jié)點(diǎn)B的位移解：設(shè)節(jié)點(diǎn) B 的水平和垂直位移分別為 D1 和 D2 ，變形后節(jié)點(diǎn) B 的位置為 B 點(diǎn)PABCl450BD1D2卡氏定理利用幾何關(guān)系，可知桿AB的伸長量和桿BC 的壓縮量分別為桿件系統(tǒng)的應(yīng)變能為卡氏定理應(yīng)用卡氏第一定理，有即由此解得：思考如何用卡氏第二定理求節(jié)點(diǎn) B 的位移 ?卡氏定理例 2. 圖示桁架的桿件AB、AC的截面積均為A，長度為l，材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 求節(jié)點(diǎn)A的鉛垂位移e

14、s解：由結(jié)點(diǎn)A的平衡，可得桿件AB、AC的內(nèi)力卡氏定理利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可得每根桿件的余能密度為es卡氏定理?xiàng)U件系統(tǒng)的余能為利用克羅第 恩格塞定理，得結(jié)點(diǎn)A的垂直位移為es卡氏定理例 3.各桿抗彎剛度均為EI的Z字形平面鋼架承受集中載荷P的作用，設(shè)材料為線彈性的，并且不計(jì)軸力和剪力的影響，利用卡氏第二定理求自由端A的線位移和轉(zhuǎn)角解：為求得 A 端的水平位移和轉(zhuǎn)角，在 A 端虛設(shè)水平集中力 PH 和力偶 MA ，并在每根直桿上建立局部坐標(biāo)系oxPABCD3a4axxxPHMA卡氏定理則每根直桿上的彎矩分別為AB段BC段CD段從而，Z字形平面鋼架的余能（此時(shí)余能等于應(yīng)變能）為xxxPHMAPABC

15、D3a4aq卡氏定理即注意到卡氏定理從而， A端的水平位移為這里，負(fù)號(hào)表明A端的水平位移與PH反向PABCD3a4axxxPHMAq卡氏定理A 端的鉛垂位移為xxxPHMAPABCD3a4aq卡氏定理A 端的轉(zhuǎn)角為xxxPHMAPABCD3a4aq虛功原理虛功原理對(duì)于一變形體或桿件結(jié)構(gòu)，在外力的作用下其變形體或結(jié)構(gòu)將發(fā)生變形，同時(shí)，通過一定的變形其變形體或結(jié)構(gòu)達(dá)到新的平衡狀態(tài)外力：集中力，力偶（扭矩和彎矩）；連續(xù)分布力（線分布，面分布和體分布），連續(xù)分布的扭矩和彎矩變形：對(duì)變形的刻畫有位移和應(yīng)變（線應(yīng)變，切應(yīng)變）。本課程中一般不考慮剛體位移虛功原理內(nèi)力：變形體或結(jié)構(gòu)通過變形達(dá)到新的平衡狀態(tài)后，

16、其內(nèi)部將存在內(nèi)力（如軸力，剪力，扭矩或彎矩）。對(duì)內(nèi)力集度的刻畫有應(yīng)力（正應(yīng)力和切應(yīng)力）虛功原理：若變形體或結(jié)構(gòu)在外力的作用下通過一定的變形達(dá)到新的平衡狀態(tài) 該變形體或結(jié)構(gòu)上的外力對(duì)其任一虛位移上所作的功 We 總等于該變形體或結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力對(duì)相應(yīng)的虛變形上所作的功 Wint ，即 We = Wint 虛功原理是力學(xué)中一個(gè)重要和應(yīng)用非常廣泛的定理。對(duì)剛體和變形體均適用；對(duì)材料的彈性和非彈性以及幾何上的線性和非線性均沒有限制虛功原理關(guān)于虛功原理的有關(guān)解釋和說明設(shè)對(duì)于給定的若變形體或結(jié)構(gòu)，在給定的外力的作用下通過一定的變形達(dá)到新的平衡狀態(tài)允許位移：所有滿足該變形體或結(jié)構(gòu)的約束和連續(xù)條件的位移稱為該變形

17、體或結(jié)構(gòu)的允許位移真實(shí)位移：其平衡狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的位移（設(shè)無剛體位移）稱為該問題的真實(shí)位移虛位移：允許位移與真實(shí)位移的差稱為該變形體或結(jié)構(gòu)的虛位移。一般來說總認(rèn)為虛位移是微小的，即在真實(shí)位移的附近虛功原理關(guān)于虛功原理的有關(guān)解釋和說明虛變形：虛位移的另一解釋，主要是對(duì)變形體或結(jié)構(gòu)的內(nèi)部而言在使用虛功原理中，應(yīng)注意，此時(shí)外力和內(nèi)力均已是確定的值而不是由零逐漸增加到給定值，因此，在計(jì)算 We（外力虛功）和 Wint （虛變形能）時(shí)應(yīng)是：力乘以距離下面以桿件的組合變形為例來說明虛功原理的使用和相應(yīng)的表示形式虛功原理設(shè)一桿件受外力作用變形后達(dá)到平衡狀態(tài)，外力包括有：集中力（偶）Pi , Mei , Mi ；

18、分布力（偶）q (x), t (x), m (x) 。內(nèi)力包括有：軸力FN(x)， 扭矩 T(x) ，彎矩 M(x)現(xiàn)對(duì)上述問題給任一虛位移，相對(duì)應(yīng)于外力的虛位移分別為: ; ,相對(duì)應(yīng)于內(nèi)力的虛變形分別為： 由虛功原理有虛功原理例 1.圖示桁架，設(shè)三桿件的截面積均為A，材料相同且為線彈性，彈性模量為E，求各桿的內(nèi)力解：一次超靜定問題，由對(duì)稱性，節(jié)點(diǎn) A 僅有垂直位移D ，變形后節(jié)點(diǎn) A 的位置為 A 點(diǎn)由變形的協(xié)調(diào)性，三個(gè)桿的伸長量分別為：虛功原理由胡克定律，三個(gè)桿件的內(nèi)力分別為：假設(shè)結(jié)構(gòu)有一虛位移：考慮一特殊情況，即，節(jié)點(diǎn) A 僅有垂直位移 D ，變形后節(jié)點(diǎn) A 的位置為 A 點(diǎn)由該虛位移引

19、起三個(gè)桿的虛伸長量（虛變形）分別為：應(yīng)注意各桿虛變形的計(jì)算 ?虛功原理外力在該虛位移上所作的功為：由虛功原理，有三個(gè)桿的內(nèi)力在該虛變形上所作的功為：單位載荷法 莫爾積分單位載荷法 莫爾積分問題：對(duì)于一桿件結(jié)構(gòu)，在外力的作用下發(fā)生變形，通過一定的變形后其結(jié)構(gòu)達(dá)到新的平衡狀態(tài)。現(xiàn)如何利用虛功原理求該結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)給定方向的位移（廣義位移） ？分析和解決步驟：對(duì)于確定的桿件結(jié)構(gòu)，在給定的外力的作用下，首先平衡方程和截面法求出結(jié)構(gòu)各個(gè)部分的內(nèi)力（如軸力 FN，剪力 Fs ，扭矩 T，彎矩 M 等）。通過相應(yīng)的變形條件可求出該受力結(jié)構(gòu)各個(gè)部分的變形（ ）單位載荷法 莫爾積分對(duì)于所要求的某一點(diǎn)給定方向的廣

20、義位移，考慮該桿件結(jié)構(gòu)單獨(dú)受一單位廣義力作用的情況，廣義力的作用點(diǎn)和作用方向以及廣義力的類型應(yīng)與上述所要求的廣義位移保持一致。該受力結(jié)構(gòu)亦成為輔助受力結(jié)構(gòu)對(duì)于輔助受力結(jié)構(gòu)，用平衡方程和截面法求出該受力結(jié)構(gòu)各個(gè)部分的內(nèi)力（如軸力 ，剪力 ，扭矩 ，彎矩 等）。應(yīng)注意到一般輔助受力結(jié)構(gòu)比原受力結(jié)構(gòu)簡單且易計(jì)算單位載荷法 莫爾積分比較原受力結(jié)構(gòu)和輔助受力結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)相同，而僅是受力的情況不同而已，因此，它們的變形均可看作對(duì)方的一個(gè)虛位移和虛變形解決問題的關(guān)鍵取原受力結(jié)構(gòu)的變形作為輔助受力結(jié)構(gòu)的一個(gè)虛位移和虛變形，有虛功原理（對(duì)輔助受力結(jié)構(gòu)）有：單位載荷法；右端的積分稱為莫爾積分單位載荷法 莫爾積分

21、對(duì)于線彈性問題，原受力結(jié)構(gòu)各個(gè)部分的內(nèi)力(如軸力 FN，扭矩 T，彎矩 M 等)與變形 d(l ) ， dj ， d 有如下關(guān)系：單位載荷法或莫爾積分簡化為：lABq0例 2. 抗彎剛度為EI的懸臂梁承受三角形分布載荷的作用，設(shè)材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 并且不計(jì)剪力對(duì)撓度的影響，求自由端的撓度單位載荷法 莫爾積分yxx解：建立局部坐標(biāo)系，懸臂梁任一橫截面上的彎矩為單位載荷法 莫爾積分現(xiàn)討論內(nèi)力與變形的關(guān)系，由梁的彎曲理論，有：lABq0yxx Q =1 lAB單位載荷法 莫爾積分現(xiàn)考慮輔助受力懸臂梁的內(nèi)力（彎矩） yxx由虛功原理，得單位載荷法 莫爾積分例 3. 計(jì)算圖示剛架的支反力，

22、已知兩桿的抗彎剛度為EI，并且不計(jì)剪力和軸力對(duì)剛架變形的影響。其中，q = 10kN/m，m = 50kNm，a = 5m解：此問題是一次超靜定的，取可移簡支端A處的支反力X為多余約束反力，則基本靜定系統(tǒng)如圖所示單位載荷法 莫爾積分剛架各段的彎矩方程為輔助受力剛架各段的彎矩方程為AD段DB段BC段AB段BC段單位載荷法 莫爾積分由虛功原理，得由此可得約束支反力X單位載荷法 莫爾積分求得約束支反力X后，利用基本靜定系統(tǒng)的整體平衡，可得 C 端的支反力HARAMA( )單位載荷法 莫爾積分例 4. 圖示的兩端固定半圓環(huán)在對(duì)稱截面上承受集中力P的作用，環(huán)軸線的半徑為R，抗彎剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)圓環(huán)變形的影響，求對(duì)稱截面上的內(nèi)力解：將此半圓環(huán)沿對(duì)稱面截，由對(duì)稱性可知，截面上的