直線與二次曲線

1、16 4m(*)3P,代B,C共線且P在線段AB 上,- 2X1_云2X22 a直線與二次曲線題型預(yù)測直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是高考考查的重中之重主要涉及弦長、 弦中點、對稱、參量的取值范圍、求曲線方程等問題解題中要充分重視韋 達(dá)定理和判別式的應(yīng)用.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達(dá)定理求弦長，根的 分布找范圍，曲線定義不能忘” 范例選講例1.已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x物線的定義可知：AF =點A到直線x=啲距離=2 .所以，【4x2 y2 = 2 .2 所以，拋物線頂點G的軌跡C的方程為：x2 丿 1 x= 1 . (U)因為m是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱

2、坐標(biāo)，由MN所唯 一確定.所以，要求m的取值范圍，還應(yīng)該從直線l與軌跡C相交入手. y10 x 20 = 0 相切.過點P -4,0作斜率為1的直線I，使得I和G交于A,B兩點，和y軸2交于點c，并且點P在線段AB上，又滿足PA - PB| = PC .(I)求雙曲線G的漸近線的方程；(U)求雙曲線G的方程；(E)橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸.如果S中垂直于I的 平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程.講解：(I)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為：y二kx，則由漸近線與圓 |5k|x2 y2 -10 x 20 =0 相切可得：5 .2Vk +11所以，k .2雙曲

3、線G的漸近線的方程為：y =.2(U)由(I)可設(shè)雙曲線G的方程為：x2-4y2=m .1把直線I的方程y x代入雙曲線方程，整理得3x2 -8x -16-4m = 0 .48則 xA x , XaXb3v PA，PB|=|PC ，2 2(川)由題可設(shè)橢圓S的方程為：= 1 a 2行.下面我們來求 28 a2出S中垂直于l的平行弦中點的軌跡.設(shè)弦的兩個端點分別為M x1, y1 ,N x2,y2 ，MN的中點為P x,y，貝U兩式作差得：g嚴(yán)4al=0由于 上=-4，為 X2 = 2x0,% y2 二 2y% - x2所以，蘭_馬 ,28 a2所以，垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線 = 0截在

4、橢圓S內(nèi)的28 a2部分.又由題，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以，旦=丄.所 112 22 2以，a2 = 56，橢圓S的方程為：1 .2856點評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到坐標(biāo)軸上(也即化 線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系)是常用的簡化問題的手段； 有關(guān)弦中點的問題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解 決直線與圓錐曲線問題的常用工具).例2 .設(shè)拋物線過定點A -1,0，且以直線x = 1為準(zhǔn)線.(I)求拋物線頂點的軌跡C的方程；(U)若直線l與軌跡C交于不同的兩點 M , N，且線段MN恰被直線1x八？平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y

5、=kx，m，試求m的取值范圍.講解：(I)設(shè)拋物線的頂點為G x,y，則其焦點為F 2x-1,y .由拋2 Xp -Xa Xb -Xp 二 Xp -Xc ，即：Xb4-4-Xa=16，整理得：4Xa，XbXaXb3 0將(*)代入上式可解得：m = 28 .2 2所以，雙曲線的方程為x - y =1.287顯然，直線丨與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，1l : y 丄x b，代入橢圓方程得：k設(shè)直線l的方程為4k2 +12 2bx u2, cx -+b 4 = 0 k由于I與軌跡C交于不同的兩點4b2 44k24上式得：k =-衛(wèi).又點ply/|在弦MN的垂直平分線上，所以,I 2*丿,3m = yk

6、y.4M,N ，1y - k m .所以，2由點P -, y0在線段12，丿1BB 上（B為直線_2與橢圓的交點，如*4k2 +1b2 -4 O即卩4k2 -k2b2 10 k = 0 .嚴(yán)圖），所以，yB，c y0 c yB .也即：-J3 y0 J3 .1又線段MN恰被直線-平分，所以,Xm Xn2bk4k224k2 +1所以，bk二空 1-23代入（*）可解得：- :k2下面，只需找到m與k的關(guān)系，即可求出m的取值范圍. 為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦 MN的中點由于y = kx m所以，邑3：m：乞3且m=o44點評：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，對于消元后的一元二次 方程，必

7、須討論二次項系數(shù)和判別式，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便.涉及弦中點問題，利用韋達(dá)定理或運用平方差法時（設(shè)而不求），必須以 直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法.從構(gòu)造不等式的角度來說，“將直線I的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式（1 大于0”與“弦MN的中點P -，y在橢圓內(nèi)”是等價的.I 2丿咼考真題11在l：y - - x b中，令x -，可解得：k21, -2k2將點Py = kx m，可得:yoI 1j2，y0 .21,1 4k 1 小b2 k.2k 2k 2k3km -2所以，-3：3且m=0 .44從以上解題過程來看，求m的取值范圍，求m與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個有關(guān)參量

8、的不等式.發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：主要有兩個關(guān)鍵步驟：一是尋從這兩點出解法二.設(shè)弦MN的中點為P -1,y0，則由點M,N為橢圓上的I 2丿4Xm yM - 44Xn2 yN2 =4點，可知:兩式相減得:又由于4 Xm -XnXm - Xn yM 一 yNyM yN =0Xm XnT, yM yN =2y, yM _yN =Xm Xn （1991年全國高考）雙曲線的中心在坐標(biāo)原點0，焦點在x軸上，過 雙曲線右焦點且斜率為|的直線交雙曲線于P、Q兩點.若0P0Q，且PQ = 4，求雙曲線的方程. （1994年全國高考）已知直線I過坐標(biāo)原點，拋物線C頂點在原點， 焦點在x軸正半軸上.若點A（-1,0）和點B（0,8）關(guān)于I的對稱點都在C 上,求直 線I和拋物線C的方程.（1996年全國高考）已知Ii,I2是過點P（- 2,0）的兩條互相垂直的直線, 且Ii,I2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，分別為A1