大學(xué)物理教案機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波講解學(xué)習(xí)

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除教學(xué)目標(biāo) 1.把握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義、表達(dá)方式、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成方法；明白自由、阻尼、強(qiáng)迫等各類簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律；2.把握振動(dòng)和波的關(guān)系、波的相干條件、疊加原理、駐波的形成條件、駐波的振幅、相位和能量的空間分布,半波損 失；3.學(xué)會(huì)建立波動(dòng)方程；教學(xué)難點(diǎn)多自由體系的小振動(dòng)第十一章機(jī)械振動(dòng)振動(dòng) 是指物體或系統(tǒng)在其平穩(wěn)位置鄰近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)；壓、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等 ；例子：物體位置、電流強(qiáng)度、電物體或系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)數(shù)是無窮的,自由度數(shù)也是無窮的,因此存在空間分布和時(shí)間分布,需要用偏微分方程描述 假如一個(gè)微分方程中顯現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),或未知函數(shù)與幾個(gè)變量有關(guān), 而且未知

2、函數(shù)對(duì)應(yīng)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù),那么這種微分方程就是偏微分方程；例如弦包含許多的質(zhì)點(diǎn), 不能用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律爭(zhēng)論,但是可以將其細(xì)分成如干個(gè)微小的小段,每小段可以抽象成一個(gè)質(zhì)點(diǎn),用微分的方法爭(zhēng)論質(zhì)點(diǎn)的位移,其是這點(diǎn)所在的位置和時(shí)間變量的函數(shù),依據(jù)張力,就可以建立起弦振動(dòng)的偏微分方程 ；一、簡(jiǎn)諧振動(dòng) 單自由度體系無阻尼自由小振動(dòng) 雖然多質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)要用偏微分方程描述,但是我們可以簡(jiǎn)化或只考慮細(xì)分成的每一小段,那么就成為單質(zhì)點(diǎn)單自由度 只需一個(gè)坐標(biāo)變量 的振動(dòng)；F kx a F kx,令 k 2m m m2 2a 2x a d x2 d x2 2x 0dt dti i tx A cos t Ae e A 振幅

3、 、 初相位 都是 積分常數(shù) ,k 為倔強(qiáng)系數(shù)；特點(diǎn)方程 : 2 20特點(diǎn)根：i在微分方程中所顯現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為這個(gè)方程的 階；形如 dxP t x Q x 的方程為線性方程,其特點(diǎn)是它關(guān)于未知函數(shù) x 及其導(dǎo)數(shù)dx 都是dt dt一次 的；如 Q x 0,就 dx P t x 0 稱為 齊次 的線性方程；dt二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法：由xAcost12iAxce1tc e2ttc 2sint12xc 1c t et1,2vxetc 1cossintword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除A cos t A cos t T按周期定義,同時(shí)滿意以上兩方程的

4、T 的A sin t A sin t T最小值應(yīng)為2p,所以 T = 2 p,于是 n = 1 , w = 2 pn,w稱為 圓頻率 或角頻率 ；不像 A 、w w T, 由初始條件打算,w由固有參量 k 和 m 打算,與初始條件無關(guān),故稱為振子的 固有頻率；簡(jiǎn)諧振動(dòng)的狀態(tài)的物理量位置和速度隨時(shí)間變化,但只要 t 相同,振動(dòng)的狀態(tài)就相同, 所以 t 是打算振動(dòng)狀態(tài)的物理量,稱為 位相 ；w 是位相的變化速率,單位是弧度 / 秒；由于復(fù)數(shù)平面上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量,仍可以用一個(gè)在相空間中,簡(jiǎn)諧振動(dòng)由一條橢圓曲線所描述：旋轉(zhuǎn)矢量 來描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)；位移和動(dòng)量xA c o s t1 , pm vmA s

5、i n t滿意橢圓方程x2p22A2mA舉例：?jiǎn)螖[的搖擺 彈簧振子和單擺都是在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的保守系統(tǒng),稱為 諧振子 ；由于 彈性力是保守力,簡(jiǎn)諧振動(dòng)中機(jī)械能是守恒的,于是Ep1kx21kA22 cos tt,p2m Asint22Ekp21,km2A22 sin 2 m2mEEpE k1kA22振動(dòng)的合成與分解同方向、同頻率的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成矢量法 i A e2i A e3i etp 的偶數(shù)倍時(shí),xx 1x 2x 3Aei1I.j2-j1=2kp,k=0,北 1,2,就A=A 1+A 2,即當(dāng)兩分振動(dòng)的相位差為合振動(dòng)的振幅為兩分振動(dòng)振幅之和；II.j2-j1= 2 k+ 1

6、 p,k=0, 1, 2,就A=A 1-A 2,即當(dāng)兩分振動(dòng)的相位差為p 的奇word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 數(shù)倍時(shí),合振動(dòng)的振幅為兩分振動(dòng)振幅之差；III.j2-j1為一般值,就A 1-A 2AA 1+A 2；同方向、不同頻率的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成三角函數(shù)法 參見 拍振動(dòng)方向垂直的兩諧振動(dòng)的合成三角法、運(yùn)算機(jī)法word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除x=A 1cos w t+ j1,y=A 2cos w t+ j22x=cos w tcos j1-sinw tsinj1,y=cos w tcos j2-sinw tsinjA 1xA 2 . T .tcos

7、j2=cos w tcos j1cos j-1cos j22sinw tsinjA 1ycos j1=cos w tcos j2cos j1-sinw tsinj2cos j12-j1A 2xcos j2-ycos j1=sinw tsin j2-j1.A 1A 2x2cos 2j2+y2cos 2j1-2xycos j1cos j2=sin2w tsin2 jA 1 2A 2 2A A 1 2xsinj2=cos w tcos j1si nj2-sinw tsinj1sinj2 . y . .tTA 1ysinj1=cos w tcos j2sin j1-sinw tsinj2sinj12-

8、j1A 2xsinj2-ysinj1=cos w tsin j2-j1.A 1A 2x22 cosj2+y22 cosj1-2xysinj1sinj2=2 cosw tsin2 j2 A 12 A 2A A 2x2+y2-2xycos2-j1=2 sin j2-j12 A 12 A 2A A 2其軌跡稱為李薩如頻率比為簡(jiǎn)潔整數(shù)比,就合成曲線是穩(wěn)固的封閉的,運(yùn)動(dòng)也具有周期性,如圖形；I.如jj2-jj1=0,就y=A 2x1A 1II.如j22-11=p,y= -A 2xA 1III.如-j=p,y=x2+2 y=122 A 12 A 2IV. 如j2-j1=3 p,y=2 x+y2= -22

9、A 12 A 2二、單自由度體系的小振動(dòng)單自由度 指只需要一個(gè)坐標(biāo)就可以確定系統(tǒng)的位置；1. 自由振動(dòng)勢(shì)能V q 在平穩(wěn)位置q0q 鄰近綻開得q 012 d Vq 0qq 02V q V qdVq0qdq2dq2word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除第一項(xiàng)為常數(shù),可取為勢(shì)能的零點(diǎn)；因在穩(wěn)固平穩(wěn)位置勢(shì)能取駐值導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn),在駐點(diǎn)取得的函數(shù)值為駐值,而極值點(diǎn)x 是指函數(shù)在鄰域x 0,x 0內(nèi),fx 0是函數(shù)的最大值或最小值,第 2 項(xiàng)中的一階導(dǎo)數(shù)為零；記k12 d Vq 02dq2xqq0得V12 kx2考慮到對(duì)穩(wěn)固約束r0,依據(jù)r ir iqr i,可得動(dòng)能qt

10、im ir ir iqtT1im ir iqr i21im ir ir iq q2qt2qqqt1im ir i22t； A 為振幅,為T1a q q21mx2,其中ma q022于是拉氏函數(shù)LTV12 mx12 kx ；代入拉氏方程得22mxkx0 或x2x0其中k為振動(dòng)頻率；上述方程有自由振動(dòng)解：xAcostm初相位；附注：拉格朗日方程m x ii,m y iY m z iZ i1,2,NT12 m x 12 y 12 z 11m N2 x Ny22 z N1iN2 m x i2 y i2 z1-11-2 N2221假如爭(zhēng)論是“ 保守力系”指力學(xué)系統(tǒng)中的力所作之功,僅與起末位置有關(guān),而與詳

11、細(xì)路徑無關(guān)；具有此性質(zhì)的力場(chǎng),肯定可以引入一位置函數(shù)V x y z ,而此力所作之功為F dxF dyF dzdV ,按功與路徑無關(guān)的性質(zhì),dV 應(yīng)為一全微分V,由此得到dVVdxV ydyVdz,兩式比較得iV,YV,Zixzxiy iz iword 可編輯dTd m x im id x im x idtx idtdt資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除1-6 于是,由 1-1得dTV0,dTV0,dTV0dtx ixdty iy idtz iz引入拉格朗日函數(shù)LL x 1,y 1,z 1,x N,y N,z,x,y,z,N x,N y,N zTV,可將1-6 式寫成將方程 1-7的直角坐

12、標(biāo)dLL0i1,2,N1-7 dtx ix ix y z 換成廣義坐標(biāo),即得描述具有s 個(gè)自由度系統(tǒng)的拉氏方程；dLL0 i1,2, dtq iq i2. 阻尼振動(dòng) 當(dāng)速度不大時(shí),阻力與速度的一次方成正比,方向相反,即運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?m +kR =-b x2x =020,解出=2i1-8 x = - x ,即x+x +其中b,令x,其中Aet,代入 1-8 ,得2+m2=22由于阻尼系數(shù)通常很小 ；于是1-9 xAe2 cost當(dāng)存在阻尼時(shí),解是隨時(shí)間減小的；3. 受迫振動(dòng)其中如系統(tǒng)除存在阻尼外,仍有固有性外力策動(dòng)力 ,F t =Fcost,就運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)閤+bx + x =Fcost1-10

13、即x+x +2x =fc o st1-9 之和； 后者隨時(shí)fF,式 1-10的通解可寫成一個(gè)特解與相應(yīng)的齊次方程的通解m間衰減,逐步趨向于零；其特解摸索形式為xAcost代入 1-10得A2222coscossin0f可解得sinword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除A-f22-2f22-2-22sin22-2242sin2f2-2cos-sin222- 222cos-sin22-2cos2sin2222sin22-22cos2sin2-2-222-222-222 coscos2sin22-2222A22-cosf2-2sin02-224A-11A*,* A is A ij-1

14、ijMijtransposeA-1 AA2-2-2cosA-1fA2sin0sin-ftan-ffarctan2-222當(dāng)時(shí),發(fā)生 共振 ,振幅為Af；舉例 1：弦振動(dòng)方程弦上取一段微元,x xx ,在任一時(shí)刻t 這一段弦所受諸力應(yīng)當(dāng)平穩(wěn),即張力+慣性力+外力 =0；慣性力：xx2u x t , dx2u x t , xx 方向的投影的代數(shù)和為零；xt2t2外力：xxf x t dxf , xxx , x 均為,x xx 中的點(diǎn)；張力：慣性力和外力均垂直于x 軸,故張力在T xxcos2T x cos10,1是張力T x 的方向與水平方向的夾角cos112111u2| x11 tanxcos2

15、11211u2| xx12 tanxword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除張力在 u 軸方向的重量為于是FTsin2Tsin1xu x t xTx2 u0 x t x xx xxsin1tan1u| xxsin2tan2u|xxFTu xxx tx22u x t , xT2u x tTxf x t , t2x2兩端除以,并令x0,即得2ua22 uf x t , ,其中a2t2x2舉例 2： 平面電磁波的波動(dòng)方程.E =-.Bt . .E = . . . E . 2E.H = J + .Dt .E =-. .抖抖 Bt t . . m H m. .t . . H .D = v

16、.y 麥克斯韋方程組及電留戀續(xù)性方程；同理 .BJ = -= 0. t v .t . = m2E 抖 抖-tme 驏琪 琪桫 J抖 +抖 2t E2 Dt= m = mJ 抖t 抖 J+ t. +e mer 2t E22. 2H-me . H= -. . J. 2t第一個(gè)方程指時(shí)變磁場(chǎng)激發(fā)感應(yīng)電場(chǎng)和自由電荷激發(fā)庫侖電場(chǎng)；其次個(gè)方程指磁場(chǎng)強(qiáng)度H 沿閉合路徑的線積分等于該路徑所包圍的電流 I 傳導(dǎo)電流的代數(shù)和 ,對(duì)靜態(tài)場(chǎng)D 0,它化為安培環(huán)路定律；此方程也說明磁場(chǎng)存在著漩渦源 J ；第三個(gè)方程的 D 包括t庫侖電場(chǎng),也包括感應(yīng)電場(chǎng),感應(yīng)電場(chǎng)不是起源于電荷,取 0 ,從而得 D = 0,是無散場(chǎng)；三

17、、多自由度體系的小振動(dòng)自由振動(dòng)V q V0V0q1q2 V0q qq2qword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除將ak1q2 Vkmq q2q0V1kq q2T1a q q q2 q 在平穩(wěn)位置綻開,只保留零階項(xiàng),并記T1 2ma0m于是體系的拉氏函數(shù)為代入拉氏方程dLLT0Vq1mq qkq q2L i1,2, ,得dtq iq im qk0 由于 q、q是相互作用的 寫成矩陣形式為：M .m 11m 12m 1s,Mq . .Kq . .0k1 s,q .q 11-11k 11k 12m 21m 22m 2sK .k 21k22k2sq2m s 1m s2m ssks 1ks

18、 2kssqs設(shè)1-11 有形式解A 1q .A . i etA 2i t e代入式 1-11得2M .K .A . 0,即A s這是一個(gè)關(guān)于m 11,2k 11m 122k 12m 1s2k 1 sA 1m 212k21m 222k 22m 2s2k 2sA 201-12m s 12ks 1m s22k s 2m ss2k ssA sA 1,A s的線性齊次方程組,稱為本證方程 ；它具有非零解的條件是系數(shù)行列式為零,即word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除2det m k 0 1-13該方程稱為 本證值方程 ,從它可解出 s 個(gè) 2 ,可以證明它們?nèi)钦?；?duì)每個(gè) 2 ,存在

19、 兩個(gè)頻率值,所以解可寫成q . A . e i t e i t或 q . A . cos t 考慮方程 1-13 解得 s 個(gè)非負(fù) 值就行了； 將它們依次記為 1, , s,并稱之為 簡(jiǎn)正頻率 ；對(duì)每一個(gè)簡(jiǎn)正頻率 l,可從方程 1-12解出一組振幅 A 1, , A ,它們對(duì)應(yīng)于一組廣義坐標(biāo)的解q 1 lA 1 lcosltlq 2lA 2 lq slA sl或簡(jiǎn)記為假如把. l1,q .lA .lcosltl1-14, s 看作是 s 維笛卡爾坐標(biāo)空間中的矢量,就可以引入它們以M 或. K 為度法規(guī)陣的內(nèi)積和矢量. l A的長(zhǎng)度A .lA .l,A .mA .lMA . .m與. l A對(duì)

20、應(yīng)的單位矢量為A .lA .l,A .la .lA .l可以證明,總可適當(dāng)選取矢量A .l,使它們彼此正交,即A .l,A .mllm相應(yīng)的單位矢量是正交歸一的,即其中l(wèi)m為克龍尼克 Kroneck 記號(hào)；a .l,a .mlmword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除方程 3-11的通解為各頻率成分3-14 的線性疊加,即cosltl1-15q .C q .lA C . lll引入 簡(jiǎn)正坐標(biāo)lClcosltll1, 每個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)以單一的簡(jiǎn)正頻率振蕩；于是方程1-15可寫成矩陣形式可簡(jiǎn)記為q .q 11A 11A 12A 1s1q 2A .lA .2A .s2A 21A 22A 2

21、s2q ssA s 1A s2A sssA . . 或.A q . 1.,即廣義坐標(biāo)與簡(jiǎn)正坐標(biāo)相差一線性變換；可以證明矩陣.A 使矩陣M 和. K 同時(shí)對(duì)角化A MA . T . .A KA . T . .依據(jù)以上兩式,體系的動(dòng)能和勢(shì)能可分別寫成T1q Mq T . .1. . A MA T . .1. T.1llllll22222V1q Kq T . .1. . A KA T . .1. T.122222于是拉氏函數(shù)LTV1lll21ll2l22代入拉氏方程,得其中l(wèi)lllll0或l2l0l為簡(jiǎn)正頻率；上面的方程說明如一開頭就采納簡(jiǎn)正坐標(biāo),就運(yùn)動(dòng)方程是退l耦的；第十二章 機(jī)械波聲波需要介質(zhì)才

22、能傳播,真空中不能傳播聲波；電磁波卻可以在真空中傳播；光即具有粒子性也有波動(dòng)性；雖然各種類型的波有其特別性,但也有普遍的共性,即它們都有類似的波動(dòng)方程；機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波 ,波分為橫波 transverse wave 和 longitudinal wave ；聲波是縱波,又稱疏密波；琴弦波、電磁波 電場(chǎng)、磁場(chǎng)和波的傳播方向相互垂直是橫波；word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除橫波和縱波的形成條件：振源 +彈性介質(zhì)1. 沿直線傳播的簡(jiǎn)諧波對(duì)于質(zhì)點(diǎn)許多的多自由度體系,或者單質(zhì)點(diǎn)多自由度,未知函數(shù)是多個(gè)變量的函數(shù),需要用偏微分方程來描述波動(dòng)方程；沿 x 軸正方向傳播

23、的平面簡(jiǎn)諧波,如下列圖,在原點(diǎn) O 處有一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng),方程為yAcostyoryAcosxtkx沿 x 軸正方向上取一點(diǎn)P ,它距 O 點(diǎn)的距離為 x ,當(dāng)振動(dòng)從 O 點(diǎn)傳播到 P 點(diǎn)時(shí), P 點(diǎn)在 t 時(shí)刻的位移為yAcostxAcostxuoryAcos 2 txorAcos 2 tT2. 平面波和球面簡(jiǎn)諧波如在空間的任一方向k 傳播的平面波,就sA costk r；平面波的等相位面是一個(gè)平面, 故稱平面波, 等相位面又稱波陣面；波陣面上任一點(diǎn)r 處的相位應(yīng)與P點(diǎn)的相位相同,而 P 點(diǎn)與 O 點(diǎn)的相位差為 k r ,球面波可表示為sAcostk rr它的振幅隨球面半徑增大而減??；3.

24、簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程1. 沿直線傳播的波動(dòng)方程分別對(duì)yAcostkx 關(guān)于 t 和 x 的偏導(dǎo)數(shù)2y22y2y2 v2y2yA2costkx t2t2k2x22yAk2costkx t22 xkv2 x2. 平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程12s2s2s2sv2t2x2y2z24. 疊加原理x 1 A 1 cos 1 t k z設(shè)有兩列波,一個(gè)沿 z 軸x 2 A 2 cos 2 t k y傳播,一個(gè)沿 y 軸傳播,它們?cè)谀滁c(diǎn)相遇,波的疊加原理指出：1. 除相遇外,各點(diǎn)的振動(dòng)仍由上式給出；word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 2. 在相遇點(diǎn),幾列波互不影響,各自給出自己的一份奉獻(xiàn),使該點(diǎn)作合成

25、運(yùn)動(dòng)；如對(duì)幾列波賜予肯定的條件,可使得疊加結(jié)果簡(jiǎn)潔 幾列簡(jiǎn)諧波在相遇點(diǎn)合成仍為諧振動(dòng) 、穩(wěn)固 相遇點(diǎn)的振幅不隨時(shí)間變化 ； 疊加原理并不是普遍成立的,只有當(dāng)波的強(qiáng)度較小時(shí),它才正確；這些條件是 幾列波振動(dòng)方向相同；幾列波的頻率相同；幾個(gè)波源的相位差恒定；上述特別條件下的疊加稱為“ 相干疊加” 或“ 干涉”件稱為“ 相干條件”；令；對(duì)于以上參加合成的幾列波所加的條令xA 1txx 1A 1cost10kr 1,x 2A 2cost20kr 220kr 2x 1x 2A 1cost10kr 1A 2cost20kr 2costcos10kr 1sintsin10kr 1A 2costcossins

26、in20kr 2costA 1cos10kr 1A 2cos20kr 2sintA 1sin10kr 1A 2sin20kr 2A 1cos10kr 1A 2cos20kr 2=Acos0A 1sin10kr 1A 2sin20kr 2Asin0A2 A 12 A 22A A 1 2cos2010k r2r 1tg0A 1cos10kr 1A 2cos20kr 2A 1sin10kr 1A 2sin20kr 22010k r2r 1A 可以通過矢量的加法來求得：2 AA 1cos11A 2cos22A 1sin1A 2sin222 A 12 cos12 A 22 cos22A A 2cos1cos22 A 1sin22 A 2sin222A A 2sin1sin22 A 12 A 22A 1A 2cos1cos2sin1s