數(shù)學(xué)分析2期末考試題庫

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數(shù)學(xué)分析 2 期末試題庫數(shù)學(xué)分析II 考試試題（ 1）一、 敘述題：（每小題6 分，共18 分）1、 牛頓 - 萊不尼茲公式2、an 收斂的 cauchy 收斂原理n 13、 全微分二、 計(jì)算題 ：（每小題8 分，共32 分）x2sin t 2 dt1、 lim0 x4x 02、求由曲線 yx 2 和 xy2 圍成的圖形的面積和該圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積。3、求x n的收斂半徑和收斂域，并求和n 1 n(n1)y2 u4、已知 ux z，求x y三、（每小題1

2、0 分，共 30 分）1、寫出判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性常用的三種方法并判別級(jí)數(shù)2、討論反常積分x p 1e x dx 的斂散性03、討論函數(shù)列 Sn ( x)x 21x (, ) 的一致收斂性n2四、 證明題 （每小題10 分，共 20分）1、設(shè) xn 0, xn111 (n1,2) ，證明xn 發(fā)散xnnn 12、證明函數(shù) f ( x, y)xyx 2y 20 x 2y2x 2y 2在（ 0， 0）點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo)，00但它在該點(diǎn)不可微。 ，數(shù)學(xué)分析II 考試題（ 2）一、 敘述題 ：( 每小題 5 分，共 10 分）1、 敘述反常積分bcauchy 收斂原理f (x)dx,a 為奇點(diǎn)收斂的a2、

3、二元函數(shù)f ( x, y) 在區(qū)域 D上的一致連續(xù)二、 計(jì)算題 ：（每小題 8 分，共 40 分）1、 lim (111 )nn1n 22n2、求擺線xa(tsin t) 0,2 與 x 軸圍成的面積ya(1tcost)3、求 (cpv)1xdx1x 24、求冪級(jí)數(shù)( x 1)n的收斂半徑和收斂域n 1n25、 uf (xy , x ) ， 求2uyx y三、 討論與驗(yàn)證題 ：（每小題10 分，共 30 分）1、 f (x, y)xy 2，求 limlim f (x, y),milmilf (x, y) ； limf (x, y) 是否存在？xyx 0y 0y 0 x 0(x, y)(0 ,0

4、)為什么？2、討論反常積分arctan x0 xpdx 的斂散性。3、討論n3 (2(1) n ) n的斂散性。n13n四、 證明題 ：（每小題 10分，共 20 分）1、 設(shè) f （x）在 a, b 連續(xù)， f ( x)0 但不恒為0，證明b( )0fx dxa2、 設(shè)函數(shù) u 和 v 可微，證明grad ( uv)= ugradv+vgradu數(shù)學(xué)分析II 考試題（ 3）五、 敘述題 ：（每小題5 分，共 15分）1、定積分2、連通集3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致連續(xù)性六、 計(jì)算題 ：（每小題7 分，共 35分）e1、 sin(ln x)dx12、求三葉玫瑰線ra sin 3 0, 圍成的面積3、求

5、 xnncos 2n的上下極限2n154、求冪級(jí)數(shù)( x1) n 的和n 12n5、 uf ( x, y) 為可微函數(shù)，求 (u )2(u ) 2 在極坐標(biāo)下的表達(dá)式xy七、 討論與驗(yàn)證題：（每小題10 分，共 30 分）1、已知(x 2y 2 ) sin 1 cos 1x0, y0，求 limf( ,y) ，問f ( x, y)0 xyx 0或 y 0( x , y) (0, 0)xlim limf ( x, y), lim limf ( x, y) 是否存在？為什么？x 0 y 0y0 x 02、討論反常積分1dx 的斂散性。0 xpxq3、討論 f n ( x)nxx 0,1的一致收斂性

6、。1nx八、 證明題 ：（每小題 10分，共20 分）1、 設(shè) f （x）在 a,+ ）上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，f (0)0，記它的反函數(shù)f -1 （ y），證明a()b1( )(0,0)fx dx0fy dy abab02、 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)xn收斂，證明級(jí)數(shù)xn2也收斂n 1n1數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（4）一 判斷題 （正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“” ；每小題 3 分，共 15 分）：1閉區(qū)間 a, b 的全體聚點(diǎn)的集合是a, b 本身。2函數(shù)lnxx 21是1在區(qū)間 1,內(nèi)的原函數(shù)。x 213若 fx在 a,b 上有界，則f x在 a,b上必可積。4若 fxFxxft dt為連續(xù)的偶函數(shù)，則0亦為偶

7、函數(shù)。5正項(xiàng)級(jí)數(shù)10n是收斂的。n1 !n 1二填空題 （每小題3 分，共 15分）：1數(shù)列1 nn1的上極限為，下極限為。3n2 lim12n。n212n222n2n2n3 dtan xdtet。dx 04冪級(jí)數(shù)x n的收斂半徑 R。n 3nn 15 將 函 數(shù) f xxx展 開 成 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) ， 則 a0，an，bn。三計(jì)算題 （每小題7 分，共 28分）：1dxexx；2ee03xdx ；21440 x1xln x dx ；xdxx1四解答題 （每小題10 分，共 30 分）：1求由拋物線 y22x 與直線 yx 4 所圍圖形的面積。2判斷級(jí)數(shù)1 n tan 1是否收斂，若收斂

8、，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？n 1nx2 n 13確定冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1 2n1五證明題 （ 12 分）：證明：函數(shù) f xsin nx在,上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，并求f x 。n 4n 1數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（5）二 判斷題 （正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“” ；每小題 3 分，共 15 分）：1設(shè) a 為點(diǎn)集E 的聚點(diǎn)，則 aE。2函數(shù) ln xx 21 是1在,內(nèi)的原函數(shù)。x 213有界是函數(shù)可積的必要條件。4若 f x 為連續(xù)的奇函數(shù)，則Fxxf t dt亦為奇函數(shù)。05正項(xiàng)級(jí)數(shù)n 2是收斂的。n 1 2 n二填空題 （每小題3 分，共 15 分）：1數(shù)列21 n的上極限為，

9、下極限為。2 lim12n。n2nn22nn2n2n3 dsin xdtet。dx 04冪級(jí)數(shù)4nxn的收斂半徑R。n 2n 115 將 函 數(shù) f xxx展 開 成 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) ， 則 a0，an，bn。三計(jì)算題 （每小題7 分，共 28 分）：x31e x dx；2 dx ；129x03dx；1xdxx 2x 241 x 220四解答題 （每小題10 分，共30 分）：1求由兩拋物線y x2 與y2 x2 所圍圖形的面積。2判斷級(jí)數(shù)1 n ln n1是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？n 1n3確定冪級(jí)數(shù)n x n 1的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1五證明題 （ 12 分）：1

10、x2證明：函數(shù)n2上連續(xù)。f xn 1 n 2e在 0,數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（6）一判斷（ 2*7=14 分）（）1. 設(shè) x0為 f ( x)在 a ,b 上的極值點(diǎn)，則 f (x0 )0（） 2. 若在 a ,b內(nèi) f(x)g (x), f (b)g(b), 則對(duì) x a,b, 有 f (x) g(x)（）3. 若 x為點(diǎn)集 A的聚點(diǎn)，則必有 xA（） 4.若 F ( x)連續(xù)，則F ( x)dxF (x)C（）5. 若(）在,上連續(xù)，,則x 2( )(2 )bxfdtxf xaa btfa（）6. 若an收斂， bn發(fā)散，則 （an bn）必發(fā)散（） 7. 若 an2收斂，則an3必收斂

11、二填空（ 3*7=21 分）1. 已知f (ln x)2x,則f ( x)_2sin x ln( x21)dx_3. 設(shè) f（x）x2( x0)2f (x 1)dx_x( x0), 則e04 . 求 lim1x_sin t 2dtx0 x305. 求 yx3 x 21的拐點(diǎn)坐標(biāo) (_)6用定積分求 lim111_n1n 2nnn冪級(jí)數(shù)1 x n 的收斂半徑 R n 2n. 計(jì)算 （4*7=28 分） ( 要有必要的計(jì)算過程 )1. xex dx1dx2.x x2113.arcsin xdx0求曲線 y2x2與 yx所圍成的圖形的面積4四 判別級(jí)數(shù)的斂散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的過

12、程 )1 .2nn!n 1 nn2 . 判別( 1)nn）上是否一致收斂，為什么在（ ,n 1n 2x2五證明： (9+10=19 分)1設(shè)級(jí)數(shù)an2 與bn2 都收斂，證明：a b 絕對(duì)收斂n n2設(shè) f ( x)在 a , b 上二階可導(dǎo)， f (a) f (b)0 ，證明：存在一點(diǎn)(a ,b) ，使得4f ( )(b a) 2 f (b)f (a)數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（7）一判斷（ 2*7=14 分）（）1.設(shè) f ( x0 )0 ，則x0必為 f ( x) 的極值點(diǎn)（） 2. 若在 a ,b內(nèi) f (x)g (x), f (b) g(b), 則對(duì)x a, b, 有f (x) g (x)

13、（）3. 若 x為點(diǎn)集 A的聚點(diǎn)，則 x可能不屬于 A（） 4.若 F x 連續(xù)，則FxdxF x)C( )( )(（）5. 若 f (x）在 a,b 上連續(xù)， xbf (t)dtf ( x)b, a ,則x（）6. 若limun 1，則級(jí)數(shù)un收斂unl 1n（） 7.冪級(jí)數(shù)an xn 至少存在一個(gè)收斂點(diǎn)二填空（ 3*7=21 分）1. 已知f(1)x22,則()_xfx2 已知1cosxdx1cosx_1x4A, 則x4dx1013. 設(shè)f（x）x1(x0)2_x2(x, 則f ( x 1)dx0)04 . 求 lim 1x1cost dt_x0 x0t5. 求 f ( x)1x31x21

14、的極大值為 f (_)_326用定積分求 lim 112n_nnnnn7. 冪級(jí)數(shù)2n xn 的收斂半徑 R n三 .計(jì)算 （4*7=28 分） ( 要有必要的計(jì)算過程 )1.x ln xdx2.13.1dxx arctanxdxxx2 10求曲線yx3從x0到x1的弧長(zhǎng)4四 判別級(jí)數(shù)的斂散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的過程 )1nn21 .1n 1 2nn2 . 判別(1)nn在（ ,）上是否一致收斂，為什么n 1n 2x2五證明： (9+10=19 分)1設(shè)級(jí)數(shù)an 2 與bn 2 都收斂，證明：(anbn ) 2 收斂2 若 fx 在 ab 上連續(xù)， f xbdx證明： f x

15、， xabf x0,)( ),( ) 0,( )(0,a數(shù)學(xué)分析（二）測(cè)試題（8）三 判斷題 （正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“” ；每小題 3 分，共 15 分）：1開區(qū)間a, b的全體聚點(diǎn)的集合是a, b本身。2函數(shù)lnxx 21是1在區(qū)間 1,內(nèi)的原函數(shù)。x 213若 f x 在 a,b 上有界，則f x在 a,b 上必可積。4若 fx為 a,b 上的連續(xù)函數(shù)，則F xax ft d t 在 a,b 上可導(dǎo)。5正項(xiàng)級(jí)數(shù)1是收斂的。n1n二填空題 （每小題4 分，共 16分）：1 lim12n。2122222nnn2nndx t2 d x0 ed t。3冪級(jí)數(shù)x n的收斂半徑 R。n 3nn 1

16、4 將 函 數(shù) f xxx展 開 成 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) ， 則 a0，an，bn。三計(jì)算題 （每小題10 分，共 30 分）：1d x；2 1e ln xd x ；3xdx ；1x201 x 4四解答題 （每小題10 分，共 30 分）：1求由拋物線 y22x與直線 yx 4 所圍圖形的面積。2判斷級(jí)數(shù)1 n 1是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？n 1n23確定冪級(jí)數(shù)n x n 1的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1五證明題 （ 9 分）：1x2證明：函數(shù)n2上連續(xù)。f xn 1 n 2e在 0,參考答案（ 1）一 、 1 、 設(shè) f ( x) 在 a, b 連續(xù) ， F ( x) 是 f

17、 ( x) 在 a,b 上 的一個(gè)原函數(shù)，則成 立bF (b)F (a)f (x) dxa2、0. N0, 使得mn N ，成立 an 1 an 2am3 、設(shè) DR 2為 開 集 ， zf ( x, y), ( x, y)D 是 定 義 在 D 上 的 二 元 函 數(shù) ，P0 ( x0 , y0 )為 D 中的一定點(diǎn)，若存在只與點(diǎn)有關(guān)而與x, y無關(guān)的常數(shù)AB和 ，使得z A xByo( x 2y2 ) 則稱函數(shù) f在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 處是可微的，并稱x B y 為在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 處的全微分二、 1、分子和分母同時(shí)求導(dǎo)x 2sin t 2dt4lim02x s

18、in x1（8 分）x6lim6x53x 0 x 02、 、兩曲線的交點(diǎn)為（0， 0），（ 1，1）（ 2 分）所求的面積為：1( xx 2 )dx1（ 3 分）031x5 )dx3所求的體積為：(x（ 3 分）01013、 解：設(shè) f ( x)x n1)， lim(n 1)( n2)1 ，收斂半徑為1，收斂域n 1 n( nn1n(n1)-1 ， 1（ 2 分）f ( x)x n111ln(1x), (0 x1),n 1 (n1)xx2f ( x)xf (t)dt11x ln(1x), (0 x1) (3 分）0 xx=0 級(jí)數(shù)為 0， x=1，級(jí)數(shù)為1， x=-1 ，級(jí)數(shù)為1-2ln2 （

19、 3 分）4、解：yln x （ 3 分）2uyln xy1 (5 分）u = x zx zx z1yzx yzx三、1、解、有比較判別法， Cauchy,DAlembert,Raabe判別法等 （應(yīng)寫出具體的內(nèi)容4 分）(n1)!lim(n1) n 1lim (11) ne 1 （ 4 分）由 DAlembert判別法知級(jí)數(shù)收斂（ 1 分）nn!nn 1nnx p 1e xdx11e x dxx p1e x dx （ 211e x dx ，由于2、解：0 x p1分），對(duì)x p00 x1p x p1 e x1(x0) 故 p01xdx 收斂 （ 4x p 1 e x dx ， 由于時(shí) x p

20、 1 e分）；01x2 x p 1e x0( x) （ 4分）故對(duì)一切的px p 1 e xdx 收斂，綜上所述 p0，積分1收斂3、解： Sn ( x)x21分） limsupSn ( x)x0 所以函數(shù)列n2 收斂于 x （ 4nx( ,)一致收斂性（ 6 分）四、 證明題 （每小題10 分，共20 分）1、證明： x3x4xnxn1 2n21xn1x2 , (n2) （ 6 分）x2 x3xn 1x22 3 n 1 n 1n 11發(fā)散，由比較判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散（4 分）n 2 n12、證明：0|xy| xy | （ 4 分）limxy=0 所以函數(shù)在（ 0，0）x 2y2x 2y2( x,

21、 y) (0 ,0)點(diǎn) 連 續(xù) ，（ 3 分 ） 又 l i m 00 ， f x (0,0), f y (0,0)存 在 切 等 于0 ，（ 4 分 ） 但x 0 xl i mxy不存在，故函數(shù)在（0， 0）點(diǎn)不可微（ 3 分）( x,x2y2y )(0 ,0)參考答案（ 2）0.0, 使得 0 1a21、2，成立f ( x)dxa12 、 設(shè) DR 2 為 點(diǎn) 集 ，f : DRm 為 映 射 ，0.0, 使 得x1x2, x1, x2D ，成立 f ( x1 )f ( x2 )二、 1、由于1在 0， 1 可積，由定積分的定義知（2 分）1xlim (111) = lim111111ln

22、 2（ 6(12)dxnn 1 n 22nnn 1n01 xn11nn分）4、 、所求的面積為：2a(1 cosx)2 dx3 a 2 （ 8 分）05、 解： (cpv)1xdxlimA1xdx(3 分）1x2A1x2A4、解： lim n11 ， r=1 （ 4 分）x2n由于 x=0， x=2 時(shí)，級(jí)數(shù)均收斂，所以收斂域?yàn)? ， 2 （ 4 分）5、解：u= f 1xf 2x（3 分）2uf 2x（ 5 分）yy2xyf12f11 xy f 223yy三、 1、解、lim limxy 2xxy 2limy 20（ 5 分）由于沿 ykx 趨于（0，0）lim1, lim limx 0 y

23、 0 xyx 0 xy 0 x 0 xyy 0 y極限為1所以重極限不存在（5 分）1 karctan x1 arctan x2、解：dxdxxp0 xp0 x p 1 arctan x1(x0) 故 p11p2，積分收1xpdx 收斂，綜上所述3、解： limn3 2 ( 1) n n2 11所以級(jí)數(shù)收斂（10 分）3n3n四、 證明題 （每小題10 分，共20 分）1、證明：由f ( x)0但不恒為0，至少有一點(diǎn)x0a b（ ）在連續(xù)（分），存 , f x a, b2在包含 x0 的區(qū)間 c,d a,b ，有 f ( x)b( )d( )0 （4 分）0 （ 4 分），ffdxax dxx

24、c2、證明：以二元函數(shù)為例grad (uv)(u xvvxu,u y v v y u)(ux v, u yv)(vxu, vyu)v(u x , uy )u(vx , vy ) vgradu ugradv10 分）參考答案（ 3）一、 1、設(shè)有定數(shù)I ，0.0, 使得對(duì)任意的分法ax0 x1xnb 和任意的點(diǎn)i xi 1 , xi ，只要max ( xi )，成立1 innf (i )xiIi12、 S的任意兩點(diǎn) x，y 之間，都存在S 中的一條道路r ，則稱 S為連通集3、0. N () 0, 使得mnN ，成立 an 1an2amex sin ln x |1eeesin1ecos11e二、

25、1、 sin(ln x)dxcos(ln x)dxsin(ln x)dx111e1 (esin 1ecos11) （ 2 分）（ 5 分）sin(ln x)dx126、 由對(duì)稱性知，所求的面積為：6a22 sin 2 3 da 2（ 7 分）2047、 解：上極限為0.5 ，下極限為 1 cos 4(7 分）254、解： lim n11， r=2 （3 分）2n2n收斂域?yàn)椋?-3 ，1），級(jí)數(shù)的和為1（ 4 分），1x5、解： 設(shè)極坐標(biāo)方程為xr cos, yr sinu= u x cosu y sinur sinu xr cosuyx（ 5 分） ( u ) 2( u )2 =( u) 2

26、1 ( u )2（ 2 分）xyrr 2三、 1、解、由于 sin1 cos 1有界， x2y2 為無窮小，limf ( x, y)0 （5 分）xy( x, y)( 0, 0)lim lim ( x2y 2 ) sin 1 cos 1lim ( lim x 2 sin 1 cos 1limy 2 sin 1 cos 1 )，而x0 y0 xyx0 y0 xyy 0 xyl211極限不存在，lim211 極限存在，故整體極限不存在，同理x i smicnosysincosy0 xyy 0 xylim lim f ( x, y) 不存在（ 5 分）y0 x02、解：1dx11dx1dx （ 21

27、1dx ，xpxqxpxqxpxq分），對(duì)xpxq0010由 于 x m i np(,q )11( x0) 故 min( p, q)1 時(shí)11dx 收 斂 （ 4分 ）；0 x px q1x px qpa,q ) x1(1qdx，由于x mq1( x)（ 4分）故xpxxpxmax( p, q) 11q dx 收斂，綜上所述min( p, q)1 ， max( p, q)1 時(shí)，積分收1xpx斂（ 2 分）3、解： lim fn ( x)x f (x) （ 3 分）， lim sup fn ( x)f (x)lim supxx201 n xnnnx所以函數(shù)列一致收斂（7 分）四、 證明題 （每

28、小題10 分，共20 分）證明：當(dāng) bf ( a) 時(shí)，af (x)dxbab(a0,b0) （ 4 分）10f 1 ( y)dy0當(dāng)bf (a)時(shí)，a( )f ( a)1()(0,0)（ 3 分）0fx dxfy dyabab0當(dāng) bf (a) 時(shí)，f1 (b)b1 ( y)dy ab(a0,b0) （ 3 分）0f ( x)dxf02、證明：由于收斂xn ，故 lim xn0 （ 2 分），于是，總存在n0 使得 nn0 時(shí)，n 1n有0 xn 1，從而，當(dāng) nn0 時(shí)，有 0 xn2xn（ 5 分），由于級(jí)數(shù)xn 收斂，當(dāng)然xnn1nn0收斂，故級(jí)數(shù)xn2收斂，從而xn2 也收斂（ 3

29、分）nn0n1標(biāo) 準(zhǔn) 答 案 （ 4）四 判斷題 （正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“” ；每小題3 分，共15 分）：12345二填空題（每小題3 分，共15 分）：11 ，1；21ln 2 ；3 e tan x sec2 x ；43；3325 a00 ， an0， bn1 n 1 2n三計(jì)算題 （每小題7 分，共28 分）：1edxexd e x arctan e xC ；x1e 2 x（ 4 分）1 x 2（3 分） 1 e21 x22 xln x dx ln x d1 x 2 ln x 11ex dxeeee1122212411e21 ；4（ 4 分）（ 3 分）x 4bx4 dx 1 lim

30、bd x21 lim arctan x2b3 dx lim4 00001 xb1 x2 b1 x2 b；4（ 2 分）（ 2 分）（ 2 分）（ 1分）2232xdx limxdx lim2 x18 。41a1 22 x 1 2 x 1a 1x 1a 13a3（ 2 分）（ 3 分）（ 2 分）四解答題 （每小題10 分，共30 分）：1求由拋物線y22x與直線yx4所圍圖形的面積。解：兩交點(diǎn)為2,2 ,8, 4 ，則（ 3 分）4y2y 2y34Sy4dy4 y 1822262（ 3 分）（ 3 分）（1 分）2判斷級(jí)數(shù)1 ntan 1是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？n 1n解：設(shè)

31、antan1， an0 ， 則 anan1,an0 n，（ 3n分）由 Leibniz判別法知，級(jí)數(shù)1 ntan 1收斂。（ 3n1n分）tan 11而由 limn1知，級(jí)數(shù)（ 41tan發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。nn1nn分）3確定冪級(jí)數(shù)x2 n1的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1 2n1n1x1lim2n2解：因?yàn)閤2n1x，所以（ 2n2n1分）當(dāng) x1 時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)x 1冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑 R 1。（ 2分）又當(dāng) x1時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)?,1 。（ 2分）設(shè)S xx 2n1，則 Sxx 2 n211，從而（ 2n 1 2n1n 1x 2分）111 x（ 2x，x1, 1。S

32、 x0 1 x 2 dx2 ln 1 x分）五證明題 （ 12 分）：證明：函數(shù)f xsin nx,上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，并求fx 。n 1n4在證明：因?yàn)閤,，有sin nx1sin nxcosnx1 ，cosnxsin nx1（ 3n 4n4 ，n 4n3n3n 3n 2n 2分）111sin nxcosnxsin nx而級(jí)數(shù)n 4,n 3,n 2都收斂，故級(jí)數(shù)n 1 n4,n 1n3,n 1n2，都在,上一致收斂。（ 3分）又 級(jí) 數(shù) 的 每 一 項(xiàng) 都 是 連 續(xù) 的 ， 故 由 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 連 續(xù) 性 和 可 微 性 知 ，f x , f x ,fx都在,上連續(xù)，且（ 3

33、分）f xcosnx，f xs i nnx，x,。（ 2n3n 1n2n 1分）標(biāo) 準(zhǔn) 答 案 （ 5）五 判斷題 （正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“” ；每小題 3 分，共 15 分）：12345二填空題 （每小題3 分，共 15分）：1 3，1；2 1ln 2 ；3 e sin x cos x ；4 1 ；45 a0ann12bn0，1n2，三計(jì)算題 （每小題7 分，共 28分）：1x3dx 1 x2 d x2 119d x2 1 x 29 ln 9 x 2C ；9 x 229 x 229 x 222（2 分）（ 3 分）（ 2 分）1x1tt11t2e dx2 t e dt t e2e dt2

34、；20000（xt ）（ 3 分）（ 3 分）（1 分）322dx lim 22dx1lim 2bbxx2bxx23 b（ 2 分）（ 3 分）11dx 2 ln 2 ；x 1x 23（2 分）41xdx 2 limaxdx 2 lim1x2a 1 。0001 xa 11xa1（ 2 分）（3 分）（1 分）四解答題 （每小題10 分，共 30 分）：1求由兩拋物線y x2與 y2 x2所圍圖形的面積。解：兩交點(diǎn)為1, 1 ,1, 1 ，則（ 3 分）S12 x 2x2 dx2x2 x 31 83311（ 3 分）（ 3 分）（ 1 分）2判斷級(jí)數(shù)1 n ln n 1是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收

35、斂還是條件收斂？n 1n解：設(shè) anln n 1，an0， 則 anan1 , an0 n，（ 3n分）由 Leibniz 判別法知，級(jí)數(shù)1 n ln n 1收斂。（ 3n 1n分）ln n1n1而由 limn1（ 41知，級(jí)數(shù)ln發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。nn 1nn分）3確定冪級(jí)數(shù)n x n 1的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1解： 因?yàn)閘imn1， 所以收斂半徑 R 1。（ 3nn1分）又當(dāng) x1時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散， 故收斂域?yàn)?, 1 。（ 3分）設(shè)S xnx n 1xS t dtxx nx， 則nt n 1dt，n 10n 10n 11x（2 分）xS t dtx1， x1, 1 。（ 2從而

36、S x201 x1 x分）五證明題 （ 12 分）：x 2證明：函數(shù) fx12 e n 2在0,上連續(xù)。n1n12x212證明：因?yàn)閤0,，有en2，（ 4nn分）11x2而 級(jí) 數(shù)收 斂 ， 故 級(jí) 數(shù)en20,上 一 致 收 斂 。n2n 2在n 1（4 分）又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)的，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性知，f x在,上連續(xù)。（4 分）答案（ 6）1234567一二2ex1e2xC0e21( 1,25)ln 22233327三 .計(jì)算 ( 要有必要的計(jì)算過程 )1.xex dx = xexexC2.1dx （令 tx1）x2x1x12dt2 arctantC2 arctan x1C(或a

37、rccos1C)t 21x1x3.11arcsin xdx024求曲線 y2x2與 yx所圍成的圖形的面積1(2x2 ) x dx9解：22四 判別級(jí)數(shù)的斂散性1 .2n n!解： lim n2n n!21 收斂n 1nnnnne2 . 判別 ( 1)nn在（ ,）上是否一致收斂，為什么n 2x2n 1n( 1)k即一致有界 ，對(duì)每一個(gè)x(, ),n單調(diào)遞減 ，且解：1()2x2k 1nn一致趨向于 （n）( 1)nn在（,）上一致收斂n 2x20n2x2n 1五證明：1設(shè)級(jí)數(shù)an2 與bn2 都收斂，證明：anbn絕對(duì)收斂證明： anbn1 (an2bn2 ), 而 an2bn2收斂anbn

38、 絕對(duì)收斂22設(shè) f ( x)在 a , b 上二階可導(dǎo)， f(a)f(b)0 ，證明：存在一點(diǎn)(a ,b) ，使得f ( )4f(b)f (a)（提示：用泰勒公式）(ba) 2證明：由泰勒公式知 f (x)f (a)f (a)( xa)1f (1 )( x a) 22及f ( x)f (b)f(b)( xb)1f()( xb)22分別令xab , 有f (abf (a)1ba2（ ）22)f( 1)(2)12abf (b)1()(ba2（ 2）f (2)f2)2（其中 ， ：1abb），（ 2）（ 1）得；a2f (b) f (a)1f()f(1) (a) 20f()4f (b)f (a)8

39、b(ba) 2( 其中 f() maxf() , f(1 )答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（ 7）1234567一二1x3x2x CA50012132632三 .計(jì)算1.xln xdx1x2 ln x1x2C2.1dx （ 令24x x21tx1x 1）2dt2 arctantC2arctanx1C(或arccos1C)t 21x1x3.1112)12arctanx11 1 x21x arctan xdxarctan xd(x2x0dx0022 01 x24 24求曲線 yx3 從 x0到 x1的弧長(zhǎng)121 (13解： l1x3dx138)027四 判別級(jí)數(shù)的斂散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的過程 )1 .1n1 n2解：lim n1n1 n2e1發(fā)散n 1 2nnn2nn22 . 判別(1)nn在（,）上是否一致收斂，為什么n 1n 2x2n(1)k1(即一致有界 ，對(duì)每一個(gè)x (,),n單調(diào)遞減解：