高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 模塊檢測A（含答案）

1、2020-2021年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一尖子生同步培優(yōu)題典選擇性必修第一冊 模塊檢測A 解析版學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_注：本檢測滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題。一、單選題1如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線，的位置關(guān)系是（ ）A平行B相交C異面垂直D異面不垂直【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出與的坐標(biāo)，即可判斷位置關(guān)系.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為2，則，.，直線，的位置關(guān)系是異面垂直. 故選: C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量證明直線與直線之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2已

2、知傾斜角為的直線與直線垂直，則（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3如圖在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱且，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】先求出 ，再計算即可.【詳解】解：因?yàn)榈酌媸沁呴L為1的正方形，側(cè)棱且，則 ，則故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計算公式，是中檔題.4點(diǎn)是正方體的側(cè)面內(nèi)

3、的一個動點(diǎn)，若與的面積之比等于2，則點(diǎn)的軌跡是（ ）A圓的一部分B橢圓的一部分C雙曲線的一部分D拋物線的一部分【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件與的面積之比等于2，可得，然后建立平面直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷.【詳解】如圖正方體中，可知平面，平面，則，即,以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，設(shè)，則，整理得，點(diǎn)的軌跡是圓的一部分，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)軌跡的判斷，解題的關(guān)鍵是找出與動點(diǎn)相關(guān)的等量關(guān)系，利用軌跡方程或曲線的定義判斷.5已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)，在軸上，中心在原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD【答案】

4、D【解析】【分析】先畫出圖像，再結(jié)合雙曲線第一定義，三角形三邊關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)為與雙曲線的交點(diǎn)時，取到最小值【詳解】如圖，由雙曲線第一定義得，又由三角形三邊關(guān)系可得（當(dāng)點(diǎn)為與雙曲線的交點(diǎn)時取到等號），+得：，故，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8可得，則，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線第一定義求解到兩定點(diǎn)之間距離問題，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題6我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”已知是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè) ，在橢圓中，即在雙曲線中 ，即，則所以，由題知，則橢圓

5、離心率，選A.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.7已知直線，其中，則“”是“”的 （ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是 或 故選A8若直線：被圓截得的弦長為4，則的最小值為（ ）A2B4CD【答案】B【解析】【分析】求出圓的圓心與半徑，可得圓心在直線上，推出，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解取最小值【詳解】解：圓，即，表示以為圓心，以2為半徑的圓，由題意可得圓心在直線上，故，即，當(dāng)

6、且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題二、多選題9如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，不能作為平面的法向量的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為2，依次求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)向量是平面的法向量，根據(jù)法向量的定義，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可求出答案【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為2，則，設(shè)向量是平面的法向量，則取，得，則是平面的一個法向量，結(jié)合其他選項(xiàng)，檢驗(yàn)可知只有B選項(xiàng)是平面的法向量，故選：ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的法向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10如圖

7、，棱長為的正方體中，為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（ ）A直線與所成的角可能是B平面平面C三棱錐的體積為定值D平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【解析】【分析】對于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線D1P與AC所成的角為；對于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，從而平面D1A1P平面A1AP；對于C，三棱錐D1CDP的體積為定值；對于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形【詳解】對于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線D1P

8、與AC所成的角為，故A錯誤；對于B，正方體ABCDA1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，AA1ABA，A1D1平面A1AP，A1D1平面D1A1P，平面D1A1P平面A1AP，故B正確；對于C，P到平面CDD1的距離BC1，三棱錐D1CDP的體積：為定值，故C正確；對于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形，故D錯誤；故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題11下列結(jié)論正確的是（ ）A過點(diǎn)(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為xy5;B已知直線kx-y-k-10和以M（-3，1）

9、，N（3，2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為;C已知ab0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(a，b)是圓x2y2r2外一點(diǎn)，直線m的方程是axbyr2，則m與圓相交;D若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)N（1，0）的距離為1，則r的取值范圍是(4，6).【答案】CD【解析】【分析】A選項(xiàng)分情況討論，直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況；B選項(xiàng)中直線kx-y-k-10恒過點(diǎn)，計算即可求解；C選項(xiàng)中利用圓心到直線距離及點(diǎn)P在圓外即可判斷；D選項(xiàng)根據(jù)以N為圓心，1為半徑的圓與已知圓相交，利用圓心距與兩圓的圓的半徑間關(guān)系即可求解.【詳解】A中直線過原點(diǎn)時，由兩點(diǎn)式易得，直線方程為，故錯誤；B中直線kx-y-k-10可化為，所以直

10、線恒過定點(diǎn)，直線與線段相交，所以或，故錯誤；C中圓心到直線的距離，而點(diǎn)P(a，b)是圓x2y2r2外一點(diǎn)，所以，所以，所以直線與圓相交，故正確.D中與點(diǎn)N（1，0）的距離為1的點(diǎn)在圓上，由題意知圓與圓相交，所以圓心距滿足，解得，故D正確.故選：CD【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，斜率公式，直線過定點(diǎn)，考查計算能力，屬于中檔題12已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，且，M為AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB為等腰直角三角形C直線AB的斜率為D的面積為4【答案】AC【解析】【分

11、析】A根據(jù)拋物線性質(zhì)，結(jié)合角度之間的關(guān)系，求解出的度數(shù)；B利用拋物線的焦半徑結(jié)合，判斷為等腰直角三角形的可能性；C根據(jù)，設(shè)出直線方程完成直線斜率的求解；D取直線的方程，聯(lián)立拋物線方程求解出的值，根據(jù)求解出三角形面積.【詳解】過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，設(shè)，如下圖所示：A因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故結(jié)論正確；B假設(shè)為等腰直角三角形，所以，所以四點(diǎn)共圓且圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，顯然不成立，故結(jié)論錯誤；C設(shè)直線的方程為，所以，所以，所以， 又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以直線的斜率為，故結(jié)論正確；D取，由上可知，所以，所以，故結(jié)論錯誤.故選：AC.

12、【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，對于圖形分析和計算能力要求較高，難度較難.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)的另一種表示形式：過拋物線焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)為(在軸的上方，在軸的下方)，此時，.三、填空題13如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則_.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則依次代換成形式，即可得出未知數(shù)的值.【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以由題：所以即.故答案為：0【點(diǎn)睛】此題考查空間向量的基本運(yùn)算，根據(jù)線性運(yùn)算關(guān)系依次表示出所求向量即可.14圓與圓的公共弦所在的直線方程為_.【答案】【解析】【分析】把兩圓方程相減即得

13、兩圓公共弦所在直線方程.【詳解】兩圓方程分別為：，相減得，即這就是兩圓公共弦所在直線方程故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系，考查兩圓公共弦所在直線方程，把兩圓方程相減所得直線方程表示的直線，如果兩圓相離，則為公共弦所在直線，如果兩圓外切，則為公切線（兩圓之間的公切線），兩圓內(nèi)切，則為公切線，15拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)和點(diǎn)，在拋物線上，且，則過點(diǎn)，的直線方程為_【答案】【解析】【分析】點(diǎn)在拋物線上，求出拋物線方程和焦點(diǎn)由，得點(diǎn)是三角形重心，求得中點(diǎn)由點(diǎn)差法 得 ，求得直線方程.【詳解】點(diǎn)在拋物線上，所以拋物線方程 設(shè)設(shè)中點(diǎn) ，是三角形重心， 解得由點(diǎn)差法 得 點(diǎn)，的直線方程為 即故答案為：【點(diǎn)睛

14、】本題考查拋物線方程及用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦直線方程，屬于基礎(chǔ)題.16雙曲線的的離心率為，當(dāng)時，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，則的值_.【答案】【解析】【分析】首先求出雙曲線方程，設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件求解即可【詳解】解：當(dāng)時，所以，又，得所以雙曲線的方程為設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)為，由，得（判別式， 點(diǎn)，在圓上，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與雙曲線相交問題及中點(diǎn)弦問題，屬于中檔題四、解答題17如圖，在四棱錐中，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為PC上靠近P的三等分點(diǎn)（1）求二

15、面角的余弦值；（2）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由【答案】（1）；（2）直線AG在平面AEF內(nèi)，理由見解析【解析】【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系并標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)，找出平面AEP的法向量，求出平面AEF的法向量，最后求二面角的余弦值即可；（2）先求點(diǎn)的坐標(biāo)和的坐標(biāo)表示，再求利用平面AEF的法向量，證明直線AG在平面AEF內(nèi)即可.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AEP的法向量設(shè)平面AEF的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的余弦值為（2）直線AG在平面AEF內(nèi)，理由如下：點(diǎn)

16、G在PB上，且，平面AEF的法向量，故直線AG在平面AEF內(nèi)【考點(diǎn)】本題考查線面的位置關(guān)系，利用空間向量求二面角，是基礎(chǔ)題.18已知等腰梯形，如圖（1）所示，沿將折起，使得平面平面，如圖（2）所示，連接，得三棱錐.（1）求證：圖（2）中平面；（2）求圖（2）中的二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證面；（2）構(gòu)建以C為原點(diǎn)，CB為x軸、CA為y軸、過C點(diǎn)垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，即可得，可求得二面角對應(yīng)的法向量，進(jìn)而根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系即可求得二面角的正弦值【詳解】（1）等腰梯形，知：且，即Rt中，又面面，面，而面面

17、面（2）如下圖示，構(gòu)建以C為原點(diǎn)，CB為x軸、CA為y軸、過C點(diǎn)垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：，則，令為面ABD的一個法向量，則，若y=1，有令為面CBD的一個法向量，則，若y=1，有與的夾角為，則，故根據(jù)二面角與向量夾角的關(guān)系，知：二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量與立體幾何，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，應(yīng)用平面的法向量，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求法向量夾角的正弦值，進(jìn)而可得二面角的正弦值19已知圓，圓，問：m為何值時，（1）圓和圓外切？（2）圓與圓內(nèi)含？（3）圓與圓只有一個公共點(diǎn)？【答案】（1）或；（2）；（3）m的值為或或或2.【解析】【分析】把圓，圓的

18、方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，（1）根據(jù)圓心距等于半徑之和即可求解.（2）根據(jù)圓心距小于半徑之差即可.（3）根據(jù)兩圓相切包含內(nèi)切、外切即可求解.【詳解】把圓，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓，圓.（1）如果圓與圓外切，那么，即，解得或，即當(dāng)或時，兩圓外切.（2）如果圓與圓內(nèi)含，那么，即，解得，即當(dāng)時，兩圓內(nèi)含.（3）如果圓與圓只有一個公共點(diǎn)，那么兩個圓相切，因此或，解得或或或，即當(dāng)m的值為或或或2時，兩圓只有一個公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20如圖，已知圓C1:與y軸交于O，A兩點(diǎn)，圓C2過O，A兩點(diǎn)，且直線C2O恰與圓C1相切.（1）求圓C2的方程.（2）若

19、圓C2上有一動點(diǎn)M，直線MO與圓C1的另一個交點(diǎn)為N，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P，使得|PM|=|PN|始終成立？若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，且為【解析】試題分析：（1）由（x4）2+（y2）2=20，令x=0，解得y=0或4圓C2過0，A兩點(diǎn)，可設(shè)圓C2的圓心C1（a，2）直線C2O的方程為：y=x，即x2y=0利用直線C20與圓C1相切的性質(zhì)即可得出；（2）存在，且為P（3，4）設(shè)直線OM的方程為：y=kx代入圓C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x=0可得M的坐標(biāo)同理可得N的坐標(biāo)設(shè)P（x，y），線段MN的中點(diǎn)E，利用kPEk=1即可得出詳

20、解：（1）由（x4）2+（y2）2=20，令x=0，解得y=0或4圓C2過O，A兩點(diǎn)，可設(shè)圓C2的圓心C1（a，2）直線C2O的方程為：y=x，即x2y=0直線C2O與圓C1相切，=，解得a=1，圓C2的方程為：（x+1）2+（y2）2=，化為：x2+y2+2x4y=0（2）存在，且為P（3，4）設(shè)直線OM的方程為：y=kx代入圓C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x=0 xM=，yM=代入圓C1的方程可得：（1+k2）x2（8+4k）x=0 xN=，yN=設(shè)P（x，y），線段MN的中點(diǎn)E則k=1，化為：k（4y）+（3x）=0，令4y=3x=0，解得x=3，y=4P（3，4）與k無關(guān)系在平面內(nèi)是存在定點(diǎn)P（3，4）使得PM=PN始終成立點(diǎn)睛：這個題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理和垂徑定理.21如圖，已知橢圓的離心率為，短軸長為2，左、右頂點(diǎn)分別為設(shè)點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求四邊形的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心