導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)范圍的求法

1、導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)范圍的求法一、與單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)問題此時參數(shù)可以位于函數(shù)中也可以位于區(qū)間內(nèi)，常見的提問方式是函數(shù)在某個區(qū)間單調(diào)遞減、單調(diào)遞增、單調(diào)、不單調(diào)，研究這類問題的關(guān)鍵是把握原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，這里需要注意的一個問題：若函數(shù)f ( x) 單調(diào)，則f ( x) 恒為非正或非負，函數(shù)的極值點并不等同于導(dǎo)函數(shù)的零點，極值點的個數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的根的個數(shù)也不能直接劃等號。例 1. 已知函數(shù)f (x)x33x29x 在區(qū)間 (a,2 a1) 上單調(diào)遞減，求a 的取值范圍。解析：先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性作出函數(shù)的趨勢圖像，再安排存在參數(shù)的區(qū)間位置即可。f ( x)3x26x 93( x1)(x 3)令 f ( x)

2、0 ，則 x3 或 x1；令 f ( x)0 ，則 1 x3 ，作出趨勢圖像如下：a1函數(shù)在區(qū)間 (a,2 a1) 上單調(diào)遞減，需滿足2a131a22a1a例 2已知函數(shù)f (x)x2a ln x2 在 1,4 上是減函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍。x解析：轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負性的關(guān)系即可，f (x)2xa2xx2在 1,4 上是減函數(shù)，即f ( x)0 a2x22 在 1,4 上恒成立x令 g(x)2x22 ，因為 g( x) 在 1,4上遞減，則 g ( x) ming (4)63x2所以 a632例 3. 已知函數(shù) f (x) ax, g( x) ln x, aR ，若函數(shù) G (

3、 x)xf ( x)ag( x)2 在區(qū)間ax1, ) 上為單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍。解析：題目只是說明函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，并未說明是單增還是單減，因此需要分兩種情況討論，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問題即可。G( x)xf ( x)ag ( x)2 ， G ( x) 2xa22x3ax 2axxx2x2若 G ( x) 在區(qū)間 1,) 上單調(diào)遞增，則 G ( x)0在 1,) 上恒成立，即a22x2 在 1,) 上恒成立，令 h( x)22 x2，因為 h( x) 在 1,) 遞減，則xxh(x)maxh(1)0，此時 a 0若 G ( x) 在區(qū)間 1,) 上單調(diào)遞減，則 G ( x)0在 1

4、,) 上恒成立，即a22x2 在 1,) 上恒成立，令 h( x)22 x2，因為 h( x) 無最小值，則不存xx在這樣的 a綜上， a0例 4. 已知函數(shù)f (x)x3(k1)x2(k5) x ，其中 kR ，若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (0,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求k 的取值范圍。解析：這個問題相對復(fù)雜些，但是思路還算清晰，函數(shù)在(0,3) 上不是單調(diào)函數(shù)，意味著原函數(shù)在 (0,3) 上存在極值點，因為三次函數(shù)極值點的個數(shù)可能是兩個也可能沒有，原題目中排出沒有的情況，因此題目存在兩個極值點，但是這兩個極值點有幾個落在區(qū)間(0,3) 內(nèi)這是個問題，可能只有一個極值點在，也可能兩個都在，此外極

5、值點是導(dǎo)函數(shù)的根，題目即可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的分布問題。f ( x)3x22(k1)xk5，函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (0,3) 上不是單調(diào)函數(shù)，則f ( x)在 (0,3) 內(nèi)必定存在極值點，此時 f ( x) 不能單調(diào)遞增，只能是保持一種增減增的狀態(tài)，因此 f (x) 在 (0,3) 內(nèi)的極值點可能是一個也可能是兩個。若極值點在 (0,3) 內(nèi)只有一個，情況如下：1）此時 f ( x) 需要滿足f (0)0，此時無解f (3)0（ 2）f (0)026此時 f( x) 只需要滿足05 af (3)7若極值點在 (0,3)內(nèi)有兩個，圖如下：f (0)0此時 f ( x) 只需要滿足f

6、 (3)026a 207k 1 003綜上所述，5a2二、與極值有關(guān)的參數(shù)范圍問題常見的問法是函數(shù)有無極值點，有幾個極值點的問題，極值點是函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變的點，因此有極值點意味著函數(shù)不單調(diào)，沒有極值點則意味著函數(shù)單調(diào)，有幾個極值點意味著導(dǎo)函數(shù)有幾個零點，但是導(dǎo)函數(shù)有幾個零點不等同于函數(shù)有幾個極值點。（導(dǎo)函數(shù)為零的點不一定為極值點，極值點一定為導(dǎo)函數(shù)為零的點）例 5. 已知函數(shù) f (x)ln( x1) ，設(shè) h( x)xf (x)x ax3 在 (0, 2) 上有極值，求 a 的取x值范圍。解析： h(x)ln( x1)xax3 ( x1且 x0) ，121x(3ax 23ax1)， h(x

7、) 在 (0, 2) 上有極值，則h ( x)x13axx1h ( x)3ax2在 (0, 2)上有零點，即3ax10在 (0, 2) 有根3a1x1 ，故 a1x2618例 6. 若函數(shù) f (x)ex (x2axa1)沒有極值點，求 a 的取值范圍。解析： f ( x)ex x2(a2) x2a1) ，令 f (x)0 ，即 x2(a2) x 2a 10函數(shù)無極值點，則(a2) 24(2 a1)00 a4例 7. 已知函數(shù) f (x)a ln xax3，函數(shù) f ( x) 的圖像在 x4處的切線的斜率為3 ，1m 在區(qū)間2且 g(x)x3x2 f (x)(1,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求m 的取

8、值范圍。32解析：由已知得 a2 ， g( x)1 x3( m2) x22x ， g ( x)x2(m 4) x2 ，函32數(shù)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，根據(jù)二次函數(shù)根的分布列不等式g (1)019m3g (3)03三、與雙參數(shù)有關(guān)的參數(shù)問題在參數(shù)問題中參數(shù)的個數(shù)可能不止一個，另外在此類問題中變量的個數(shù)也可能不止一個，也可能會出現(xiàn)雙變量的問題。題目中若含有雙參數(shù)m, n ，其中一個一般是給出了區(qū)間，而讓求另一個未給出的參數(shù)的取值范圍，除了這個之外一般還會給出未知量x 的區(qū)間，一個參數(shù)一個未知量是以任意性和存在性方式給出，其實這種題目大多是參數(shù)恒成立或存在性問題的延

9、伸，只不過需要求兩次最值，因為多了一個參數(shù)，所以在難度上會適當(dāng)?shù)慕档?。解題的思路是將所求的參數(shù)m 單獨分離，另一邊包括另外一個參數(shù)n 和變量 x ，此時可以將參數(shù)n 或變量 x 中的一個當(dāng)成自變量，另外一個當(dāng)做常量即可，求出最值后可消去參數(shù)n 或自變量 x ，再將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)恒成立問題即可，但是如果所求的參數(shù) m 不能分離，可分離的是另一個參數(shù) n ，這樣反而簡單，直接利用任意性或存在性消去參數(shù) n 。例 8. 已知函數(shù) f (x)a lnxax3 ，若函數(shù) f ( x) 的圖像在點(2, f (2) 處的切線 的傾斜角為 45 ，對于任意的 t1,2 ，函數(shù) g( x)x3x2 f ( x

10、)m 在區(qū)間 (t,3) 上總不2是單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍。解析：由題意知 a2 ， g( x)x3( m2) x22x2g (x) 在區(qū)間 (t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，即g ( x) 在 (t,3)上存在零點g ( x)3x2(m4) x2 ，根據(jù)二次函數(shù)根的分布列不等式g (t )0m37，對于 ( m 4)t23t 2 ，不等式在 t 1,2 上恒g (3)03(m 4)t23t 2成立，則 m423tt因為 23t 在 t 1,2上單調(diào)遞減，及 ( 23t ) min5，故 m9tt綜上所述，37m93例 9. 設(shè)函數(shù) f (x)a ln xbx 2 ，當(dāng) b0 時，若不等式f ( x)mx 對所有的a 0, 3 , x1, e2 都成立，求實數(shù) m 的取值范圍。2解析：當(dāng) b0 時， f ( x)a ln x ， f (x)mxa ln xmx 對所有的a 0,