10扇形有關(guān)的計算.習題集(2014-2015)-教師版

1、區(qū)智誄秋季同步圓圓與圓的位置關(guān)系學案,教師版Page of 15與扇形有關(guān)的計算學案真題鏈接如圖，在平面直角坐標系 xOy中，點A（1, 0） , B（2 , 0）,正六邊形ABCDEF沿x軸正方向無滑動滾動,當點D第一次落在x軸上時，點D的坐標為:;在運動過程中,點A的縱坐標的最大值是保持上述運動過程，經(jīng)過 （2014J3）的正六邊形的頂點是（2014年西城區(qū)一模）*.VF.A*/B,.1234 x【答案】（4,0）, 2 , B或F課堂練習題型一：扇形有關(guān)的計算【例1】在半徑為3的圓中,150的圓心角所對的弧長為（15A.兀4D15B . 兀2【例2】如果鐘表的軸心到分針針端的長為5,那么

2、經(jīng)過40分鐘，鐘表的分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是【例3】【答案】【例4】【例5】20兀3, .一 2 2一小時有 60分鐘，所以40分鐘相當于轉(zhuǎn)過了表的 上，所以轉(zhuǎn)過的弧長是 2圓的周長.33一條弧的長度為12小 所對的圓心角為108。，那么這段弧的半徑為20若扇形的圓心角為 60。，弧長為2%則扇形的半徑為如圖，一枚直徑為 4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周，圓心移動的距離是（2014年西寧）（2012年漳州）智康秋季同步圓圓與圓的位置關(guān)系學案,教師版Page of 15秋季同步 圓圓與圓的位置關(guān)系 學案教師版Page of 15C. 8 TicmD. 16 7cmA . 2 TicmBB. 4 T

3、icm圓心移動的距離等于圓的周長.【例6】通過對課本中硬幣滾動中的數(shù)學的學習，我們知道滾動圓滾動的周數(shù)取決于滾動圓的圓心運動的路程（如圖）.在圖中，有 2014個半徑為r的圓緊密排列成一條直線，半徑為 r的動圓C從C自身轉(zhuǎn)動的周數(shù)為圖示位置繞這2014個圓排成的圖形無滑動地滾動一圈回到原位，則動圓（2014年內(nèi)江）【例7】1344用它從 A位置開始，滾過與它相同的其他2014個圓的上部，到達最后位置.則該圓共滾過了2014段弧長，其中有2段是半徑為 所以可求得.2r,圓心角為120度，2012段是半徑為2r,圓心角為60度的弧長,如圖，實線部分是半徑為 15m 心，則游泳池的周長是 的兩條等弧

4、組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓 m .（2013年玉林）。240支解：如圖，連接 0。2, CD, C02,0102 =C02 =C01 =15cm , cC0201 =60 ,，CO2D =120則圓0儲。2的圓心角為3603120*=240【例8】則游泳池的周長為 C =2xnr =2/40015 =40兀180180【解析】弧CD的長是120 tiX1 2二一兀1803弧DE的長是:120 7tM2 4=一兀1803 弧EF的長是:120兀父3180=2兀,則曲線CDEF的長是:2 , 4 ,一九+ ti+2兀=4兀33（2013年宜賓）5D【例9】如圖，在扇形OAB中

5、,ZAOB =110,半徑OA=18,將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點 O恰好如圖，MBC是正三角形，曲線 CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧 CD、弧DE、弧EF的圓心 依次是A、R C ,如果AB=1,那么曲線CDEF的長是.落在弧AB上的點D處，折痕交OA于點C,則弧AD的長為（2013年揚州）5支連接OD根據(jù)折疊的性質(zhì)知， OB = DB .又 OD=OB ,OD =OB =DB ,即ZiQDB是等邊三角形, /DQB =60=./AQB=110 ,/AQD=/AQB-/DQB=50* ,. 口江 “c，50 7tM18一弧AD的長為l =5兀.180題型二：多邊形滾動問題【例10

6、如圖，將邊長為 路徑的長度為(1cm的等邊三角形 ABC沿直線l向右翻動 )cm .(不滑動)，點 B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過八3A-Tt.2_ c 2B 2+ 兀3【解析】通過觀察圖形，可得從開始到結(jié)束經(jīng)過兩次翻動，求出點 徑的長度.解題過程如下：解： MBC是等邊三角形, /ACB=60* , /AC (A) =120=,點B兩次翻動劃過的弧長相等,則點B經(jīng)過的路徑長l =2父120?！?-兀1803B兩次劃過的弧長，即可得出所經(jīng)過路【例11】已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地

7、面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心。所經(jīng)過的路線長是米.0【答案】2t+5011【解析】解：由圖形可知，圓心先向前走QO2的長度即一圓的周長，然后沿著弧 O2O3旋轉(zhuǎn)一圓的周長,44最后向右平移50米，所以圓心總共走過的路程為圓周長的一半即半圓的弧長加上由已知得圓的半徑為2,設(shè)半圓形的弧長為l ,則半圓形的弧長l = (90 +90) 兀2 =2兀，18050,秋季同步 圓圓與圓的位置關(guān)系 學案教師版Page of 15秋季同步圓圓與圓的位置關(guān)系學案,教師版Page of 15故圓心O所經(jīng)過的路線長=（2汽+50）米.【例12】在矩形ABCD中，AB=6, BC=4,有一個半徑為1的硬幣與

8、邊 AB、AD相切，硬幣從如圖所示的 位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊 AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的圈數(shù)大約 是（）2圈3圈4圈（2013年貴陽）S【答案】B【解析】連接 AD、AB與L|O的切點E、F,則OE_LAD, OF _L AB .易證四邊形OEAF是正方形，則 AF=OE=1 .O的周長C =2式刈=2式,硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊 AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的路程是：2（AB+BC） -8AF =20 -8=12 ,硬幣自身滾動的圈數(shù)大約是：12子2 m2 .故選B.A. 4【例13如圖，在RtMBC中，ZABC=

9、90 : /BAC =30; AB=J3,將&ABC繞頂點C按照順時針旋轉(zhuǎn)至MBC的位置，且A、C、B三點在同一條直線上，則點32C.一兀3【答案】D【解析】解：二.將 AABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn) MBC的位置,C(C). ACB = ACB又 /ABC =90 口，/BAC=30，. /ACB =/ACB，= 60。；A C、B三點在同一條直線上， /ACAW20 上又 ZBAC=30 , AB=j3AC =2 ,點A經(jīng)過的路線的長度二12062 =作 1803故選D.【例14已知：矩形 ABCD的邊AB=8, AD =6 ,現(xiàn)將矩形 ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動地翻滾，當它翻滾

10、至類似開始的位置ABiCiDi時（如圖所示），則頂點A所經(jīng)過的路線長是clL-iDCi1D1C1ir 1 1i11Ii111li11111ABA1B1【答案】12支【例15如圖，菱形 ABCD中，AB=2, /C =60,菱形ABCD在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著一 個頂點旋轉(zhuǎn)60。叫一次操作，則經(jīng)過 36次這樣的操作菱形中心 O所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留 兀）.【答案】【解析】第一、二次旋轉(zhuǎn)的弧長和=603 603=2h1第三次旋轉(zhuǎn)的弧長 =60口18036+3=12,故中心O所經(jīng)過的路徑總長 =12（2X6業(yè)3 +6四）=（8n+4）兀， 180180智康

11、秋季同步圓圓與圓的位置關(guān)系學案,教師版Page of 15k智誄秋季同步 圓圓與圓的位置關(guān)系 學案教師版Page of 15【例16如圖，正六邊形硬紙片 ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖 2 位置，若正六邊形的邊長為 2cm,則正六邊形的中心 O運動的路程為 cm.（2013年內(nèi)江）A F A F圖1圖二，運動的路徑為：;從圖1運動到圖，正六邊形的中心【答案】4汽 TOC o 1-5 h z 【解析】解：根據(jù)題意得：每次滾動正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)60,正六邊形的中心 。運動的路程二.正六邊形的邊長為2cm,60 7tM 2 2兀=一；180

12、32共重復(fù)進行了六次上述的移動，2O運動的路程6 x- 7f4 cm3【例17】把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90。，此時，點O運動到了點。1處（即點B處），點C運動到了點g處，點B運 動到了點B1處，又將正方形紙片 AO1GB1繞&點，按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90。；按上述方法經(jīng)過4次 旋轉(zhuǎn)后，頂點 O經(jīng)過的總路程為 ,經(jīng)過 61次旋轉(zhuǎn)后，頂點 O經(jīng)過的總路程為（2013年六盤水）【答案號2 K串產(chǎn)1【解析】解：如圖，為了便于標注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不防向右移動一點,第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以9

13、0。圓心角的扇形，路線長為90兀父1 =工1802第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對角線長隹為半徑，以90。圓心角的扇形，路線長為90兀M72180第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90。圓心角的扇形，路線長為90 7tM 117t1802第4次旋轉(zhuǎn)點O沒有移動，旋轉(zhuǎn)后于最初正方形的放置相同,因此4次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路線長為1兀+五 兀十122261 + 4=15 1,，經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)，頂O經(jīng)過的路程是2 2/115 2 31兀乂15 +兀=兀.4次旋轉(zhuǎn)路程的15倍加上第1次路線長，即故答案分別是:222 215 2 31兀,【例18如圖，邊長為2的等邊AABP置于邊長為4的正方形AXYZ內(nèi)

14、，使點B在邊AX上.將三角形先繞點B作順時針旋轉(zhuǎn)，然后再繞 P作順時針旋轉(zhuǎn)，如此進行，使三角形沿著正方形的邊向前轉(zhuǎn)動，直到P回到原來位置.這時頂點 P所行路程長度為 【答案】竺兀3【解析】P點旋轉(zhuǎn)的路線都是半徑是2的弧，并且從開始P旋轉(zhuǎn)的角度是120。，120。，30。，30。，120。，120。,30, 30, 120 ；P從開始到回到開始點正好旋轉(zhuǎn)了15次，因而旋轉(zhuǎn)的角度是：1200 0,因而頂點P所行路程長度為:1200兀父218040兀3故答案是：竺兀.3題型三：扇形、弓形面積的計算【例19】鐘面上的分針的長為 1,從9點到9點30分，分針在鐘面上掃過的面積是（B.c 1C. 一兀8D

15、.兀（2013年資陽）AC于點E, B、E是半【例20如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過RtZiABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊一 2則圖中陰影部分的面積為（圓弧的三等分點，弧 BE的長為2 3（2013年襄陽）【答案】D【解析】本題中iBOE和 MBE面積相等是解題關(guān)鍵，具體解題過程如下:解：連接 BD, BE, BO, EO, B, E是半圓弧的三等分點，/EOA=/EOB=/BOD =60。, /BAC=30+ ,一 2;弧BE的長為一兀，360tiMR解得：R=2 ,AB =ADcos30BCAB =0 TOC o 1-5 h z 2，1 AC =JAB2 BC2 =3,11-3.3 S

16、/ABC =-XBC MAC =-m J3M3=，222始OE和AABE同底等高，3m_60兀=222360加OE和AABE面積相等， 圖中陰影部分的面積為：S.ABC- S扇形BOE故選:D.【例21如圖, 部分）正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，以正方形的邊長圖案，則樹葉形圖案的周長為（a為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影k智誄秋季同步 圓圓與圓的位置關(guān)系 學案教師版Page of 15智誄秋季同步圓圓與圓的位置關(guān)系學案,教師版Page of 15B. 27aC.D. 3a（2013年東營）【答案】A【例22如圖所示是某公園為迎接中國-南亞博覽會”設(shè)置的一休閑區(qū)./AOB=90）弧AB的半徑

17、OA長是6米，C是OA的中點，點D在弧AB上，CD II OB,則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是？（2013年昭通）草坪【答案】6兀-43m 2【解析】解：連接OD,.弧AB的半徑OA長是6米，C是OA的中點,一 1 . OC =-OA =3 米， 2/AOB=90: CD II OB , CD _LOA ,在Rt3CD中，OD =6, OC =3 , CD = OD2 -OC2 =3V3m，CD 3- sin/DOC = =, OD 2一 一 260兀x6360NDOC =60 口，乂3 父 3V3 =6 兀-2 V3m222【例23如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上

18、，另一端拴著一只小羊A （羊只能在草地上活動），那么小羊 A在草地上的最大活動區(qū)域面積是？（2012年寧夏）【答案】777m212【解析】解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5,化,田壬口 c 90 7tM 2525兀2所以面積S =二m ；3604小扇形的圓心角是180。-1200=60） 半徑是1m,則面積S=60=-7m2 , 360 6，小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積77 Tm212【例24如圖，在RUABC中，/ACB=90AC = BC=1, E為BC邊上的一點，以 A為圓心，AE為半徑 的圓弧交AB于點D ,交AC的延長于點F ,若圖中兩個陰影部分的面積相等，則AF的長為？（結(jié)果

19、保留根號）.（2013年遵義）答案2 j【解析】解：.圖中兩個陰影部分的面積相等，_ 2, 一一 45BAF 1St形ADF =SBC,即：=AC BC , TOC o 1-5 h z 3602又. AC=BC=1 ,24= AF =一, 兀,2一 AF -?！纠?5如圖，在4ABC中，NBAC=90: AB =5cm, AC = 2cm，將&ABC繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45至 M1B1C的位置，則線段 AB掃過區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積為？上智誄秋季同步 圓圓與圓的位置關(guān)系 學案教師版Page of 15（2013年鹽城）E.B【答案】25兀8【解析】解：在 RtMBC 中，BC=jA

20、C2+AB2=29扇形BCB1的面積是S =45普29=兀,8 TOC o 1-5 h z -1S&B1A1 =父5 父 2 =5 ；45 7tM 22兀S扇形 CAA1 = =3602故 SM影部分=S扇形 BCB1 ，S CB1AT S ABL S扇形 CAA129兀+5.5兀二竺兀828叵）課后作業(yè)【練1】如圖，在邊長為轉(zhuǎn)60 ,則頂點1的正方形組成的網(wǎng)格中, A所經(jīng)過的路徑長為（MBC的頂點都在格點上，將）MBC繞點C順時針旋A. 10 nC.10兀3D.71【答案】C【解析】如圖所示:在RtMCD中，根據(jù)勾股定理得:AD =3, DC =1 , AC = AD2 CD2又將 MBC繞

21、點C順時針旋轉(zhuǎn)60,71則頂點A所經(jīng)過的路徑長為l = 60 0 =乂10180故選C從智誄1對秋季同步圓圓與圓的位置關(guān)系學案,教師版Page of 15【練2】如圖，四邊形 ABCD是菱形,/A=600，AB=2 ,扇形BEF的半徑為2,圓心角為60。，則圖中陰影部分的面積是（兀一 ,32jt33 一 2B.C.371 -D.連接BD,如圖即可解得BC如圖，AB, CD是UO的兩條互相垂直的直徑，點Oi,。2,。3,。4 分別是 OA、OB、OC、OD 的中點，若O的半徑為2,則陰影部分的面積為（(2013年于女3DA. 8A 如圖所示:B.C. 4n+4D, 4n一4可得正方形 EFMN ,邊長為正方形中兩部分陰影面積為: ，正方形內(nèi)空白面積為： LlO的半徑為2,的半徑為1 ,2,4-71,4 2(4 祗2 n一4 ,。1,。2,。3,O4小圓的面積為:扇形COB的面積為：S=90-2360兀122一 =兀,區(qū)智裱秋季同步 圓圓與圓的位置關(guān)系 學案教師版Page of 15，扇形COB中兩空白面積相等，陰影部分的面積為：兀尺22 2（2兀4） =8 .故選：A.【練4】 如圖， MBC的三個頂點都在 5X5的網(wǎng)格（每個