數(shù)學相關微積分4

1、第六節(jié) 定積分的幾何應用一、微元法二、平面圖形的面積三、立體的體積四、平面曲線的弧長五、旋轉體的側面積應用定積分解決實際問題，需解決兩個問題：（1）用定積分來表達的量應具備哪些特征？（2）怎樣建立這些量的積分表達式？一、微元法-什么問題可以用定積分解決 ? 回顧曲邊梯形面積的問題abxyo面積表示為定積分的步驟如下：（3） 求和，得A的近似值（4） 求極限，得A的精確值abxyo面積元素1)面積A依賴于區(qū)間 a,b,且具有可加性以直代曲3）所求面積可表示為：應用定積分解決問題 的方法：第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部 量的近似值微分表達式第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加

2、” 求出整體 量的精確值積分表達式這種分析方法成為微元法（元素法）.元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等微元法的一般步驟：1. 確定積分變量的變化區(qū)間微元法的應用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；旋轉體的側面積等幾何：物理：變力對物體所做的功；水的側壓力；引力等二、平面圖形的面積1. 直角坐標系下平面圖形面積的計算根據(jù)定積分的定義和幾何意義知:面積微元“豎切”“橫切”解兩曲線的交點面積微元選 為積分變量解兩曲線的交點選 為積分變量于是所求面積解兩曲線的交點選 為積分變量若選擇x為積分變量，“豎切”另解可見，合理選擇積分變量，可簡化計算。利用定積分計算平面

3、曲線所圍圖形面積的步驟為：1. 畫草圖，求曲線的交點；2. 選擇恰當?shù)姆e分變量，列出面積微 元表達式。3. 寫出計算面積的定積分并計算。分塊少，易于計算！明確要求哪塊圖形的面積注意：面積總是正值，故在利用定積分表達面積時，被積函數(shù)必須非負，且積分下限小于積分上限。注意利用圖形的對稱性來簡化計算。面積微元2. 極坐標系下平面圖形面積的計算曲邊扇形積分變量：更一般地：解利用對稱性知解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積例6解由對稱性，只需計算第一象限部分的面積。圓與雙紐線在第一象限的交點為參數(shù)方程梯形的面積可以改寫為給出的，其中曲邊3.參數(shù)方程下求平面圖形的面積定積分換元即：參數(shù)方程下求平面圖形

4、的面積步驟：1）先寫出直角坐標形式下的面積公式；2）再利用參數(shù)方程做定積分的換元，轉 化為關于參數(shù)的定積分并計算。解解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積 一個立體，已知該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積三、空間立體的體積1. 已知平行截面面積立體的體積解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積解2用垂直于y軸的截面截立體，截面為矩形。解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積2. 旋轉體的體積 旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸圓柱圓錐圓臺yyyy+dy解y解法一y+dyy解法二補充薄殼法體積微元：薄壁圓筒的體積解定積分的換元法！若利用薄殼法，則有解體積微元為若選擇x為積分變量：若利用薄殼法，則有 旋轉體體積小結：1) 圖1繞 x 軸旋轉2) 圖1繞 y 軸旋轉（薄殼法, 柱殼法）圖13) 圖1繞平行于 x 軸的直線 y=c 旋轉4) 圖1繞平行于 y 軸的直線 x=d 旋轉y