人教部編版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件 12.3 角的平分線的性質(zhì)

1、12.3 角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)ABDCE 下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB= AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD 沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE 就是這個(gè)角的平分線，你能說明它的道理嗎？導(dǎo)入新知 在紙上畫一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分線嗎？ 用量角器度量，也可用折紙的方法 如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對(duì)折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？探究新知知識(shí)點(diǎn) 1角平分線的畫法問題1：?jiǎn)栴}2：提煉圖形探究新知 如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說

2、明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.探究新知問題3： 如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO 請(qǐng)大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢？(4)你能說明為什么OC是AOB的平分線嗎？探究新知想一想做一做ABMNCO已知:AOB.求作：AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握噢!作法：（

3、1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.半徑小于 MN或等于 MN，可以嗎？探究新知已知：平角AOB. 求作：平角AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.ABOC探究新知1. 操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PDOA，PEOB ，點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：2. 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)果：_ PD PE 第一次第二次 第三次 COBAPD=

4、PEpDE OC是AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn) 2探究新知探究已知：如圖， AOC= BOC，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明： PDOA，PEOB， PDO= PEO=90 .在PDO和PEO中，PDO= PEO，AOC= BOC，OP= OP， PDO PEO(AAS).PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.探究新知驗(yàn)證猜想 一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用

5、數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和 求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證 明過程.探究新知 歸納總結(jié)性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用： 證明線段相等.應(yīng)用格式：OP 是AOB的平分線，PD = PE推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).PDOA， PEOB，BADOPEC探究新知判一判：（1） 如下左圖，AD平分BAC（已知）， = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BD CDBADC(2) 如上右圖， DCAC，DBAB （已知）. = ， ( ) 在角的平分

6、線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BD CDBADC缺少“垂直距離”這一條件缺少“角平分線”這一條件探究新知例1已知：如圖，在ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DEAB，DFAC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明： AD是BAC的角平分線， DEAB，DFAC， DE=DF， DEB=DFC=90 .在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD， RtBDE RtCDF(HL). EB=FC. 角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 1 如圖，已知：OD平分AOB，在OA，OB邊上取OAOB，PMBD，PNAD，垂足分別為M，N. 求證：PMPN.證明：OD

7、平分AOB，12，又OAOB，ODOD，AODBOD，34，又PMDB，PNDA，PMPN(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)探究新知變式題 1 如圖，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分別是C，D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A. PCPD B. OCODC. CPODPO D. OCPCD探究新知變式 題 2 如圖，在ABC中，B，C的平分線交于點(diǎn)O，ODAB于點(diǎn)D，OEAC于點(diǎn)E，則OD與OE的大小關(guān)系是()A. ODOE BODOEC. ODOE D不能確定B探究新知變式 題 3例2 如圖，AM是BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=

8、_cm.BACPMDE4提示：存在兩條垂線段直接 應(yīng)用.利用角平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 2ABCP 如圖，在RtABC中，AC=BC，C90，AP平分BAC交BC于點(diǎn)P，若PC4， AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_.D4提示：存在一條垂線段構(gòu)造應(yīng)用.探究新知變式題1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長(zhǎng)條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解探究新知 歸納總結(jié)連接中考鞏固練習(xí)（2018大慶）如圖，B=C=90，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC，且ADC=110，則MAB=（）A30B35C45D60B解析：作MNAD于N，B=

9、C=90，ABCD，DAB=180ADC=70，DM平分ADC，MNAD，MCCD，MN=MC，M是BC的中點(diǎn)，MC=MB，MN=MB，又MNAD，MBAB，MAB= DAB=35，2.ABC中， C=90，AD平分CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距離是 .ABCD3E1. 如圖，DEAB，DFBG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度，BE= .60BFEBDFACG課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題3. 用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明AOC=BOC的依據(jù)是（ ）A. SSS B. ASA C. AAS D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

10、等ABMNCOA基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(cè)4. 如圖，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E，SABC7，DE2，AB4，則AC的長(zhǎng)是()A6 B5 C4 D3D課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題BCEADFEDCBA6810 1. 在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，則： (1)哪條線段與DE相等？為什么？ (2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的長(zhǎng)和AED的周長(zhǎng).解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB，RtCDBRtEDB(HL)，BEBC=8. AEABBE=2. AED的周長(zhǎng)=AE+ED+DA=2+6=8

11、.能力提升題CD課堂檢測(cè)2.如圖所示，D是ACG的平分線上的一點(diǎn)DEAC，DFCG，垂足分別為E，F(xiàn). 求證：CECF.證明：CD是ACG的平分線，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.課堂檢測(cè)能力提升題 如圖，已知ADBC，P是BAD與ABC的平分線的交點(diǎn)，PEAB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點(diǎn)P作MNAD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N. ADBC， MNBC，MN的長(zhǎng)即為AD與BC之間的距離. AP平分BAD， PMAD ， PEAB， PM= PE.同理， PN= PE. PM= PN= PE=3. MN=6.即AD與

12、BC之間的距離為6.拓廣探索題課堂檢測(cè)角平分線尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質(zhì)定理一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段課堂小結(jié)為證明線段相等提供了又一途徑角的平分線的判定 我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，反過來(lái)，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢？導(dǎo)入新知回顧舊知ODPP到OA的距離PDP到OB的距離PE.P是角平分線上的點(diǎn)幾何語(yǔ)言描述： OC平分AOB，且PDOA， PEOB. PD= PE.ACB角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 敘述角平分線的性質(zhì)定理.不必再證全等E知識(shí)點(diǎn)

13、 1 角平分線的判定探究新知PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. OC平分AOB，且PDOA， PEOB PD= PE幾何語(yǔ)言：猜想:探究新知想一想思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？已知：如圖，PDOA，PEOB，垂足分別是D、E，PD=PE. 求證：點(diǎn)P在AOB的角平分線上.證明：作射線OP， 點(diǎn)P在AOB 角的平分線上. 在RtPDO和RtPEO 中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）. OP=OP（公共邊），PD= PE（已知 ），BADOPE PDOA，PE

14、OB.PDO=PEO=90，RtPDORtPEO（ HL）.AOP=BOP探究新知猜想證明判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式： PDOA，PEOB，PD=PE.點(diǎn)P 在AOB的平分線上.探究新知例1 如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處（比例尺為120000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm ， D即為所求.O方法點(diǎn)撥：根據(jù)角平分線的

15、判定定理，要求作的點(diǎn)到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點(diǎn).角平分線的判定的應(yīng)用探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 11如圖，點(diǎn)P在AOB內(nèi)部，PCOA于點(diǎn)C，PDOB于點(diǎn)D，PC3 cm，當(dāng)PD_cm時(shí)點(diǎn)P在AOB的平分線上332如圖，ABCD，點(diǎn)P到AB，BC，CD的距離相等，則點(diǎn)P是 的平分線與 的平分線的交點(diǎn)ABCBCD鞏固練習(xí) 分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的內(nèi)角平分線發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).知識(shí)點(diǎn) 2探究新知探究 分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線

16、段相等.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？探究新知探究已知：如圖，ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D E F A B C P N M 探究新知證明結(jié)論 點(diǎn)P在A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在A的平分線上. 結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D E F A B C P N M 探究新知想一想MENABCP

17、OD 如圖，在直角ABC中，C90，AP平分BAC，BD平分ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OMAC，若OM4. (1)求點(diǎn)O到ABC三邊的距離和. 12BCA探究新知變 式 題 1解：連接OC.MENABCPOD 如圖，在直角ABC中，C900，AP平分BAC，BD平分ABC;AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OMAC，若OM4.(2)若ABC的周長(zhǎng)為32，求ABC的面積.探究新知變 式 題 21.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長(zhǎng)條件探究新知 歸納總結(jié)例2 如圖，在ABC中，點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到ABC三邊的距離相等若A40，則BOC的度數(shù)為(

18、)A110 B120 C130 D140A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有CBOABO ABC，BCOACO ACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.利用三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)求值探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 2探究新知 方法點(diǎn)撥 由已知，O 到三角形三邊的距離相等，得O是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出BOC的度數(shù)角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分線的判定探究新知 歸納總結(jié)3.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是( )A三邊垂直平分線的交點(diǎn)B三條高所在直線的交點(diǎn)C三條角平分線的交點(diǎn)D三條中線的交點(diǎn)4.如圖，河南岸有一個(gè)工廠在公路西側(cè)，工廠到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與B的距離為300 m，在圖上標(biāo)出工廠的位置，并說明理由解：作小河與公路夾角的角平分線BM，在BM上截取BP1.5 cm，則點(diǎn)P即為所求的工廠的位置C探究新知連接中考鞏固練習(xí)證明：BFAC，CEAB，BEDCFD90，又BDECDF， BECF，BDECDF(AAS) DEDF，AD平分BAC. （2019青島模擬）如圖，已知，BECF，BFAC于點(diǎn)F