用射影面積法求二面角在高考中的妙用

1、1 / 6V2用射影面積法求二面角在高考中的妙用 某某外國語學(xué)校 隆光誠 ( 郵政編碼 530007)立體幾何中的二面角是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二而角的大小更是歷年髙考的熱點問題，在每年各省市的高考試題的大題中幾乎都岀現(xiàn) . 求二面角的方法很多， 但是， 對無棱二而角，或者不容易作全國出二而角的平而角時，如何求這個二而角的大小呢？用射影面積法是解決這類問題的捷徑，本文以近年髙 考題為例說明這個方法在解題中的妙用，以饗讀者！定理 已知平面 0 內(nèi)一個多邊形的面積為 S,它在平面 a 內(nèi)的射影圖形的面積為面角的大小為則 COS = ?本文僅對多邊形為三角形為例證明，其它情形請讀者自證 .證明：

2、如圖，平而 0 內(nèi)的 ZABC 在平而 a 的射影為 ABC, 作丄 BC 于 D,?/ AA 丄 a于 A , D 已 a、:.AD 在 a 內(nèi)的射影為 AD.S,平面 a 和平面 0 所成的二AD./ / ： 又? AD 丄 BUBCua、AD 丄 3C (三垂線泄理的逆泄理 ). ? ZADA 為二而角 a BC/3 的平而角 .設(shè) ZABCAD? ?. COS& =AD和 A A BC 的而積分別為 S 和BCAD/ / ,/ 、/ B D CS , AADA = 0. 則 S = - BC-AD.S = - BC A D.2 2典題妙解下而以近年髙考題為例說明上述結(jié)論在解題中的妙用

3、.例 1 如圖，己知正方體 A BCD AiBGDi 中， E 是 AA 棱的中點，則面 BE Ci 與面 AC 所成的二面角的大小為 ()A.45 B. arc tan C. arctan D. arccos2 3解：連結(jié) AC, 則MG 在面 AC 內(nèi)的射影是正方體的棱長為 2,則 AB = BC = 2, BE=、BE? +BC： - EC： 1ZkABC. 設(shè)它們的 面積分別為 S 和 S ，所成的二面角為 & ? 設(shè)5 BC. = 2 血 , EC, = 7( 2)2 3+12 = 3. / - 5 - 3cosZEBC = - ! - =.sin ZEBC =、 1 cos?ZEB

4、C =12八 26 = arccos- ?3故答案選 D.例 2 (04)如圖，已知四棱錐 (1) 求證 : BC 丄 SC;1SABCD2 S3_的底面是邊長為 1 的正方形 , SD 丄面 AC, 卵M(2) 求面 ASD 與面 BSC 所成的二面角的大??；(3) 設(shè)棱 SA 的中點為 M, 求異面直線 DM 與 SB 所成的角的大小 .(1) 證明： ? ? SD 丄而 AC,? ? SC 在而 AC 內(nèi)的射影是 SD.又? ?四邊形 ABCD 是正方形， BCu 而 AC,.? BC 丄 SC ( 三垂線定理 ).BB1 2BEBC、 T0 | 4 V104:.S = -BE ?i c

5、 osin ZEBC l = 3,S = 一 A3 ? BC = 2,cos& = = 一?2 / 6? 4(2) 解： ? SD 丄而 AC, CDu 而 AC, ： .SD 丄 CD. 又? ?四邊形 ABCD 是正方形， ? AD 丄 CD.而 ADCSD = D, /.CD 丄而 ASD .又 AB CD, ? .BA 丄而 ASD?.?.SBC 在面 SAD 的射影是 ASAD, 設(shè)它們的而積分別為 S 和 S,所成的二面角為 & .? ZSCB= 90 , C 、 SB = 75,/.SC = yjSB2 -BC2 = 、伍 , SD = yjsc 2 -CD= 1.:.S = -

6、BC-SC = ,S =-AD-SD = -,cos = 2 2 2 2 S 2所以而 ASD 與而 BSC 所成的二而角的大小為冬 .4(3)解：取 AB 的中點 E,連結(jié) DE、 ME.? ? AM = MS,4E= E3, ? ME SB?二異而直線 DM 與 SB 所成的角就是 ZDME, 設(shè) 乙 DME=8. E BME = 丄 SB = ,DE = y/AD 2+AE 2 = ,2 2 2SA = AD2+SD2 = 邁= -SA = .2 2a MD 2+ME 2-DE 2 c兀:.cosO = - = 0 ?故& = .2MDME 2所以異而直線 DM 與 SB 所成的角的大小

7、為仝 .2解法二：-BA 丄面 SAD,? ?SB在面 SAD 內(nèi)的射影是 SA.又-AD = SD = ,AM = MS,/. DM L SA.而 DMu 面 SAD, .DM 丄 SB ( 三垂線怎理 ).所以異而直線 DM 與 SB 所成的角的大小為 - ?2例 3 (04 某) 如圖，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 互相 B垂直 . AB= 2 , AF = 1, :. AD = 近、 BD = 2、 FB = FD =羽?連結(jié) FO,則 FO 丄 BDFOZFB? -BO =邁?1 1? S = BD ? FO = 屁 S =-AD ?2 2故& = ?3所以二面

8、角 A-DF-B 的大小為彳 ?例 4 (08 某)如圖，在四棱錐 PABCDBAF = ,cosV55點評：例 1 和例 2 中的二面角就是無棱二面角，例43 和例 4 中的二面角雖然是有棱二面角，但是不容 易作出二面角的平面角，用定義法解決這兩類問題就顯得非常繁雜，并且不知如何下手，而另辟溪徑，用 積法則是化繁為簡，曲徑通幽！金指點睛1? ( 05 全國皿 )如圖，在四棱錐 V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，側(cè)面、 AD 是正三角形，平面 VAD 丄底面 ABCD ?(1) 證明 : AB 丄平面 VAD；(2) 求面 VAD 與面 VDB 所成二面角的大小 .射影面CE 令別為

9、 33】、的申點 .2. (06 全國 U) 如圖，在直三棱柱 ABC 兒目 G 中， AB = BC , D.(1) 證明： ED 為異面直線和 AC； 的公垂線；(2) 設(shè) AAX=AC = 邁 AB 9 求二面角 4 一 AD - C, 的大小 .DBZABC= 90, PA 丄平面 ABCD,3. (07 某) 如圖，在底面為星角梯形的四棱錐 P ABCD 中， AD/7BC, PA= 4, AD = 2, AB = 2y3 9 BC = 6.(1) 求證： BD 丄平面 PAC；(2) 求二面角 A-PC-D 的大小 .4. (09 某) 如圖，四棱柱 S ABCD 的底面是正方形，

10、 SD 丄平面 ABCD, SD = AD = a ,點 E 是 SD 上 的點， K DE = Ait (02 AD U 平而 VAD, 故 AB 丄平面 VAD.(2)由( 1)可知， AB 丄平面 VAD,-AVBD 在平面 VAD 的射影是 AVAD, 設(shè)它們的面積分別為 S 和 S ,所成的二面角為 &? 設(shè)正方形的邊長為 1, 則 BD = /zys = IAB2+VA2 = 41.DF 2 RV 2 o -cosZVBD = - 一 一 = sin ZVBD = Jl cos?ZVBD =2BD BV 4:.S = -BD BVshyZVBD = ,5 =? VZ)siii60

11、? = 2 4 2 4cos 0 = = - - , 0 = arccos - .S 7 7DB所以面 VAD 與面 VDB 所成二面角的大小為 arccos .2. (06 全國 U) 如圖，在宜三棱柱 A BC A/C 中， AB = BC , D. E 分別為 3$、 AC 】的中點 .(1) 證明： ED 為異面直線 3 坊和 AC； 的公垂線；(2) 設(shè) AA=AC = 近 AB , 求二面角 A.-AD-C 的大小 .(1) 證明：取 AC 的中點 F,連結(jié) EF、 BF.1 1 2? ? AF = FC.AE = EC. ,/. EF /CC X EF = -CC X ?在直三棱

12、柱 ABC A/ 】 G 中， CG 丄而 ABC, CC、 = BB“ CC、 BB、 , DB 氣 BB( ,:.EF/DB, EF=DB, F 丄而 ABC. 四邊形 BDEF 是矩形 . 從而 ED 丄 BB、 .在 RtAABD 和 RtA CXBD 中， BAB = C.BZABD = ZC.B.D = 90 ,BD = B D.? .RtAABDRtAqBjD ?AD = GD ? 而 AE = EC X , ED 丄 AC 所以 ED 為異而直線 和 AC.的公垂線 . B(2) 解: 連結(jié)阿? ? ? 0 = AC = 42AB.AB = BC. ： . AC2 = AB 2

13、 + BC 2 .? ZG3/| = ZCBA = 90 ,即 丄面 ABBAAC, 在面 ABB. 內(nèi)的射影是 AB,? 在面 ABBA內(nèi)的射影是 AB. D. 設(shè)它們的面積分別為 S 和 S,設(shè) AB = BC= 1,貝!J AC = CC, = 41, AC. =2,B、 D = ZAD = QAB2 +BD， =?、 DE =2 2,.S = -AC. ? = ,S丄 Dy ? AB =空 .cos u 平而 ABCD, /. PA 丄 BD?v PACAC= A . PA、 ACu 平面 PAC,故 BD 丄平而 PAC.(2) 解：連結(jié) PE?由(1) 知， BD 丄平面 PAC.

14、 . APDC在平面 PAC 內(nèi)的射影是 APEC, 設(shè)它們的面積分別為 S 和 S,所成的二面角為 &? ? PA 丄平面 ABCD, BC 丄 AB9 :. BC 丄 PB ( 三垂線定理 ).PB=1P +AB 1 = 2/7 , 從而 PC=PB 2 +BC 2 =8.PD = 1PA- +AD 2 = 275, DC = yjAB 2 +(BC-AD) 2 = 27 ?ZBEC = 90 ,ACB = 30 ,/. EC = BC cos30。 = 3 羽 .cosZCPD = YD - = L,siii ZCPD = Jl-cof ZCPD2PCPD 4 巫.S = LpCPD ?

15、 sin ZCPD = 2 鳳 S =丄 EC ? PA = 6 館 .2 2cos 9 = = 竽蘭 , 0 = arccos冬工 . 所以二面角 A-PC-D 的大小S 31 31= 理4 品 f 瘓/A：arccos尊蘭 .31p丿簾 ; 、7、C4. (09 某) 如圖，四棱柱 且=(1) 求證：對任意S ABCD 的底面是正方形， SD 丄平面 ABCD, SD = AD = a , 點 E 是 SD 上 的點，(021) ?2e(O4, 都有 AC 丄 BE；(2) 若二面角 C-AE-D 的大小為 60。，求幾的值 .(1) 證明：連結(jié) BD. ? ?四邊形 ABCD 是正方形， ? AC 丄 3D.又? SD 丄平而 ABCD, SD = a , 點 E 是 S