石大線代5課件

1、第二章 矩 陣 本章討論 矩陣的基本概念與運算、 逆矩陣存在的條件、 伴隨矩陣的性質、 矩陣的初等變換、 矩陣的秩。上述內(nèi)容都應熟練掌握。2.1 矩陣及其運算設有關系式：其中 為常數(shù) ，這種從變量 到變量的變換叫做線性變換。1. 線性變換與矩陣將（1）中的系數(shù)寫下來，即可得一矩陣。定義1 由mn 個數(shù)矩陣（2）常簡記為 排成 m 行 n 列的數(shù)表叫做 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣。有關矩陣的一些概念：注意矩陣與行列式的區(qū)別. 元素。元素為實數(shù)的矩陣稱為實矩陣；元素為復數(shù)的矩陣稱為復矩陣。當 m= n 時，稱A為 n 階方陣。若兩個矩陣的行數(shù)、列數(shù)分別相同，則稱它們?yōu)橥?矩陣。1 行

2、n 列的矩陣稱為行矩陣；n 行 1 列的矩陣稱為列矩陣。如: 則A為行矩陣， B為列矩陣。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。結論 線性變換與矩陣是一一對應的。例 寫出與下列變換所對應的矩陣。解通常稱（1）為單位矩陣，稱（2）是對角矩陣。上三角矩陣下三角矩陣矩陣與行列式在形式上有些相似，但在意義上則完全不同，行列式的運算結果是數(shù)，而矩陣僅是一個數(shù)表。即：將兩個矩陣的對應元素相減。易知矩陣加法運算滿足下列運算規(guī)律：亦即 規(guī)定利用負矩陣，可定義減法運算：定義3 數(shù)與矩陣A的乘積記為 A 或 A， 規(guī)定為即：數(shù)乘矩陣就是用數(shù)乘以矩陣的每一個元素。易知，數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律： （)A=(A); (+)A

3、=A+A (A+B)=A+ B二、數(shù)與矩陣相乘引言 設有兩個線性變換則稱此線性變換為前兩線性變換的乘積。三、矩陣與矩陣相乘則可得 到 的變換。(C=AB為11的矩陣，D=BA為33的矩陣)例（教材P42習題4（1）（2）思考 設A為13矩陣，B為31矩陣，問C=AB與 D=BA的階數(shù)分別如何？計算求矩陣 的乘積 AB 及 BA ?？梢?，在本例中 ABBA。注：矩陣乘法一般不滿足交換律和消去律。解例（教材P37例4）結合律 (AB)C=A(BC)分配律 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA與數(shù)乘結合律 (AB)=(A)B=A(B) 是數(shù)矩陣的乘法仍滿足下列運算規(guī)律：有了矩陣乘積的

4、概念，我們就可以定義方陣的冪。定義 設A為 n 階方陣，定義其中 為正整數(shù)。定義 設A為 n 階方陣，如果滿足 即 那么稱 A 為對稱陣。如果滿足 即 那么稱 A 為反對稱陣。對稱陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應相等；反對稱陣的特點是：主對角線元素為 0 ，其它元素以主對角線為對稱軸成互為相反數(shù)。 有了轉置的概念，我們可以定義對稱陣與反對稱陣。證 注意到 XTX 是一個數(shù)，而 XXT 是 n 階方陣。證畢1. (P40例 8) 設列矩陣 滿足 E為 n 階單位矩陣， 證明 H 是對稱矩陣， 且所以 H 是對稱陣。又設 A，B為 n 階方陣，為數(shù)，則有：五、方陣的行列式定義 由 n 階方陣A的元素所構成的行列式(各元素的位 置不變），叫做方陣A的行列式。 記作 利用方陣的行列式，就可以討論伴隨矩陣及其性質。稱為方陣A的伴隨矩陣。請注意伴隨矩陣的構造。定義 行列式 的各個元素的代數(shù)余子式 所構 成的如下方陣注：易知 例 試寫出 的伴隨矩陣。解 寫 2 階矩陣的伴隨矩陣的方法可概括為：主交換、輔變號。結論 伴隨矩陣有如下重要性質：注 這個性質在解有關伴隨矩陣的問題時經(jīng)常要用到，思考 若在 兩邊取行列式，結果如何？ （參見 教材P65習題5）答 由從而可得證 由題證明：若A是對稱矩陣，則由