改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1,m)模型及應(yīng)用

1、改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1, m)模型及應(yīng)用摘 要:針對(duì)傳統(tǒng)的)模型存在模擬精度和預(yù)測精度不高的問題，文章給出了改進(jìn)的初值和背景 值優(yōu)化的MGM(1，m)模型。在模型初值的選取上，選取使得模擬值的平均相對(duì)誤差達(dá)到最小的向量X。)作為 初值;在模型背景值的構(gòu)造上，提出結(jié)合辛普森3/8公式的動(dòng)態(tài)序列模型來求解背景值的方法。最后以兩組指 數(shù)型數(shù)據(jù)序列為例建立了傳統(tǒng)MGM(1，2)模型及改進(jìn)后的模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬和預(yù)測。結(jié)果表明，改進(jìn)后的 MGM(1，m)模型的模擬精度和預(yù)測精度均有顯著地提高，從而驗(yàn)證了模型的有效性和可行性。關(guān)鍵詞：MGM(1,m)模型；辛普森3/8公式；動(dòng)態(tài)序列模型0引言

2、自鄧聚龍教授1982年創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論以來，灰色 系統(tǒng)理論得到了國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的廣泛認(rèn)可。經(jīng)過30多年 的發(fā)展，灰色系統(tǒng)理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域?；疑?預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一，它是灰色系統(tǒng) 理論體系的一個(gè)重要組成部分1，MGM(1,m)模型是灰色預(yù) 測模型中重要的預(yù)測模型之一。文獻(xiàn)2表明采用MGM (1,m)模型預(yù)測多個(gè)相互制約、相互作用的變量時(shí),MGM(1, m)模型的預(yù)測精度高于對(duì)每個(gè)變量分別使用GM(1,1)模型 進(jìn)行建模的精度。文獻(xiàn)3將MGM(1,m)模型應(yīng)用于深基坑 圍護(hù)結(jié)構(gòu)變形中的預(yù)測,相比于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型,MGM (1,m)模型具有更高的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)4將

3、MGM(1,m)模型應(yīng) 用于沉降預(yù)測分析中取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。文獻(xiàn)5采 用MGM(1,m)模型預(yù)測我國的三次產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值，取得了較好 的預(yù)測結(jié)果。MGM(1,m)模型自提出以來,模型的改進(jìn)問 題和優(yōu)化問題取得了一系列的研究成果。文獻(xiàn)6從單變 量模型背景值的優(yōu)化方法出發(fā)，利用非齊次指數(shù)函數(shù)逼近 的思想，得到了背景值的優(yōu)化公式。文獻(xiàn)7針對(duì)非等間距 的原始數(shù)據(jù)序列，提出非等間距MGM(1,m)模型。文獻(xiàn)8 提出結(jié)合插值和數(shù)值分析的牛頓一柯特斯積分公式的方 法來優(yōu)化背景值。文獻(xiàn)9提出基于二次插值公式的背景 值構(gòu)造方法，雖然這種方法沒有出現(xiàn)Rung e現(xiàn)象,但難以 保證模型的預(yù)測精度。文獻(xiàn)10基于向量連分

4、式理論提出 采用有理插值和梯形公式以及外推法來構(gòu)造模型的背景 值。文獻(xiàn)11指出選取X(1)(1)作為GM(1,1)模型的初值容易 產(chǎn)生一些誤差，降低了模型的預(yù)測精度。文獻(xiàn)12依據(jù)新信 息優(yōu)先原理,提出將每個(gè)序列的一階累加生成序列的第n 個(gè)分量組成的向量X作為模型的初值。本文首先闡述了傳統(tǒng)的MGM(1,m)模型的基本原理， 然后提出了改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1,m)模型。 為了實(shí)現(xiàn)模型優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)和檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一，提高模型的模 擬精度和預(yù)測精度，本文選取使得模擬值的平均相對(duì)誤差 達(dá)到最小的向量X%)作為模型的初值。結(jié)合傳統(tǒng)的 MGM(1, m)模型背景值的誤差分析，本文根據(jù)一階累加生成 序列

5、具有非齊次指數(shù)向量的形式,構(gòu)建了動(dòng)態(tài)序列模型，并 結(jié)合辛普森3/8公式得到了 MGM(1,m)模型背景值的計(jì)算公 式。最后，以兩組指數(shù)型數(shù)據(jù)序列為例建立了傳統(tǒng)MGM(1, 2)模型及改進(jìn)后的模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬和預(yù)測。結(jié)果表 明,相比于傳統(tǒng)的MGM(1,m)模型，本文提出的改進(jìn)的初值和 背景值優(yōu)化的MGM(1,m)模型的模擬精度和預(yù)測精度均有 顯著地提高,該模型具有很好的理論價(jià)值和應(yīng)用前景。1傳統(tǒng)的MGM(1,m)模型的基本原理設(shè)x o)=Xi(0), x也,x;(0y為非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列向 量，其中 X。)=*%)，亡(2),xj0)(n)TJ = 1,2，. . ., m。 對(duì)序列Xi(0)

6、, X*xmo)分別進(jìn)行一階累加，得到一階累加生成序列為 X(1) =X1(1),X* ,XmY，其中，X(1)=x(1), (1)(1) T(1)/.、 (0)/xj (匕)， , x j () , xj (i) / ,xj，匕， ,m ; l ，匕，k = 1.n。Z。)=zj)(2), f)(3),z*) , j 為 X(1)的緊鄰均 值生成序列,其中：zj(k) = 0.5(xj*k- 1) + xj(k) , j= 1,2,m; k=2,3 , ，n。( 1)定義1 :設(shè)xj0)(k)和z*k)如上所述,稱：xj0)(k)=芬+ b,(j = 1,2,，m; k = 2,3,，n)

7、l = 1為灰色微分方程組，也稱為MGM(1,m)模型 MGM(1,m)模型的一階白化微分方程組為： 嘩=AX % + B 其中：0i -%m,X(1)(t)=x(1)(t)x(21)(t),B =b1 b2、”1 -以mm0 x(1)(t) 0 bm ,A求解白化微分方程組，得到MGM ( 1,m)模型的時(shí)間響 應(yīng)式向量為：X (1)(t) = eA(t - 1)(X (1)(1) + A-1B) - A-1B(1)(1)(1)(1) T其中，X (t) =X (1), x2 (1),，xm (1) O定理 113:設(shè) X0)=xj0)(k1), xj%),xj0)(kn) (j = 1,2

8、,., m)為第j個(gè)變量的原始數(shù)據(jù)序列，X = xj)(k1), jkj, , x*k“) (j = 1,2,-, m)為 X0)的一 階累加生成序列，=zf(2),z?)(3), z*n) (j = 1,2, . . m)為X的緊鄰均值生成序列，則MGM(1,m) 模型的灰色微分方程組xj0)(k) =ajlz(1(k) + bj,(j =l = 1，n)的最小二乘估計(jì)參數(shù)列為： b) )T = (PTP)TpTQj,(j=l, 2,.,m)從而a 11&21八、4 m1a 12從而a 11&21八、4 m1a 124 224 m2& 1m云：4 mm1b 2bm ,(a 兩 2,-,a ,

9、“)= (ptpxptz：) 2)z：) 3)1z：) 2)z：) 3)110e(0)(0)(0) Tj =xj(匕), x j(),人 j(n),(j =，匕，,m)O參數(shù)矩陣A和參數(shù)向量B的辨識(shí)值為：A = 0 j)m x m，B = (b1, b2, , bm)T定理 213：設(shè) P、Qj (j = 1,2,., m)如定理 1 所示， a =(標(biāo)標(biāo),&= (PTPYPTQj,(j = 1,2,，m)，可以得到：(1)MGM(1,m)模型的一階白化微分方程組匕( =AX%) + B的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：它小 r (1)，八 /A(1)，八仰A(tT)/WT DX (t) =x (t),x,

10、($),x (t) = e (X (1) + A B)I2m-AT-BMGM(1,m)模型的灰色微分方程組xj0)(k) 二 咋尸i = 1(k) + bj的時(shí)間響應(yīng)式向量為：必1)(k) =X(1)(k),x%k), ,xm)(k)T = eA(k-1)(X(1)(1)+) - A 七還原式為：X0)(k) = XD(k)-X)(k- 1) (k = 2,3n)(6)2改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1,m)模型(6)在傳統(tǒng)的MGM(1,m)模型的建模過程中，MGM(1,m)模 型的模擬精度和預(yù)測精度主要由參數(shù)矩陣A、參數(shù)向量 B以及初值所決定,并且參數(shù)矩陣A和參數(shù)向量B依賴 于m個(gè)原始序列

11、和相應(yīng)的背景值z(mì)?(k)。模型初值和背 景值的合理構(gòu)造對(duì)模型精度的提高起到了至關(guān)重要的作 用。因此，為了提高M(jìn)GM(1，m)模型的模擬精度和預(yù)測精 度，本文提出了改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1，m)模 型。2.1 改進(jìn)的)模型初值的優(yōu)化傳統(tǒng)的MGM(1，m)模型是選取每個(gè)序列的第一個(gè)分 量組成的向量X。)(1)作為模型的初值來求解白化方程= AX%) + B的通解。由于傳統(tǒng)的MGM(1，m)模型 是以X。)(1)作為模型的初值,沒有充分利用新信息，不符 合灰色系統(tǒng)理論中的新信息優(yōu)先原理12。并且XD(1)沒 有經(jīng)過累加生成變換弱化隨機(jī)性，所以導(dǎo)致模型的模擬和 預(yù)測精度均不高。在實(shí)際應(yīng)用的模

12、型檢驗(yàn)時(shí)，常采用平均 相對(duì)誤差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪M精度和預(yù)測精度，并以此來評(píng)價(jià) 模型的優(yōu)劣。但是在MGM(1，m)模型的優(yōu)化過程中，傳統(tǒng) MGM(1，m)模型中初值的選取并不是以平均相對(duì)誤差最小 為目標(biāo)，這導(dǎo)致了模型優(yōu)化與模型檢驗(yàn)的脫節(jié)，使得模型 的擬合效果不理想。因此，本文選取使得模擬值的平均相 對(duì)誤差達(dá)到最小的向量X%)作為MGM(1,m)模型的初 值，實(shí)現(xiàn)模型優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)和檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一,進(jìn)而提高模型 的模擬精度和預(yù)測精度。本文以兩組指數(shù)序列x(0)(k) = e同和x；0)(k) = 成為 例，進(jìn)行模擬分析。取時(shí)間序列號(hào)為k=1,2,3,4,5,兩變量 的原始數(shù)據(jù)序列如表1所示。表1兩組原始數(shù)據(jù)

13、序列值序號(hào)2345序列X)1.491822.225543.320124.953037.38906序列X)1.822123.320126.0496511.0231820.08554選取一階累加生成序列的各個(gè)向量(，)(/)(/ = 1,2, ，5)分別作為MGM(1,m)模型的初值對(duì)兩組原始數(shù)據(jù)序 列進(jìn)行模擬，得到了模擬值的平均相對(duì)誤差，如表2所示。表2不同初值對(duì)原始數(shù)據(jù)序列的平均相對(duì)誤差原始序列初值X(1)X(2)X(3)X( (4)X( (5)X()1.886621.475501.062180.646730.42915x)5.019463.705242.368051.538971.39641

14、從表2中可以看出，選取一階累加生成序列的第5個(gè) 分量組成的向量X。)(5)作為MGM(1，2)模型的初值時(shí)，模 擬值的平均相對(duì)誤差最小，分別為0.42915%和 1.39641%。因此，本文選取X(1)(5)作為改進(jìn)MGM(1，2)模 型的初值。T設(shè)f, g, q如定理1所述，弓=(標(biāo)翊,. . 標(biāo)外)= (PtP)-PtQj，(j = 1,2,., m)，選取使得模擬值和實(shí)際值 的平均相對(duì)誤差達(dá)到最小的向量X)作為MGM(1，m)模 型的初值，可以得到：MGM(1,m)模型的一階白化微分方程組政出/ = AX(，)(t) + B的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：X (1)(t)=嚴(yán)(乂 %) + ATB)

15、- ATB(8)(1)(1)(1)(1) T其中，X (I) = X (i),工2 (。，Xm(i)。MGM(1,m)模型的灰色微分方程組xf(k)=a搭)(k) + bj的時(shí)間響應(yīng)式向量為：l =X)(k)=eAk-，)(x(%)+ AB) - Af(3)還原式向量為：X)(k) = XD(k)-裂傳-1)，k=2,3,., n2.2 改進(jìn)的模型背景值的優(yōu)化(10)由MGM(1,m)模型的時(shí)間響應(yīng)式向量(式(6)和還原 式向量(式(7)可知，m個(gè)原始數(shù)據(jù)序列和相應(yīng)的背景值 影響著參數(shù)矩陣A和參數(shù)向量B的值。因而，在不改變 模型和建模樣本數(shù)據(jù)的前提下，盡可能地降低模型背景值 z(，)(k)的計(jì)

16、算誤差是提高M(jìn)GM(1,m)模型模擬精度和預(yù)測 精度的一個(gè)有效方法。(10)2.2.1傳統(tǒng)MGM(1，m)模型背景值的誤差分析MGM(1,m)模型的一階白化微分方程組為：二 anx(1) + 以口 x? + -(1)+ a1mxm + b1dt建二 a 21 x(1) + a 22 x? + -(1)+ a2mxm + b2dt(1) dXm :(1)(1)= am1x1 + am2x2 + amm x(m1) + b mm mdtm在區(qū)間k- 1, k上對(duì)m個(gè)白化微分方程兩邊同時(shí)積 分得：d () j(1)(1)(1)k-dFd = Jk- aj1 X1 + aj2X2 + + ajmXm

17、+ bjdt，(j = TOC o 1-5 h z 1,2,., m)(11)化簡得到：* 傳)a- 1 x(1) dt + bj，(j = 1,2,m; k = 2,3,n)i = 1-(12)由上述分析可知，實(shí)際的背景值應(yīng)該等于匚產(chǎn)？ (t)dt，而在傳統(tǒng)的MGM(1，m)模型中，第j個(gè)變量的傳統(tǒng)背 景值計(jì)算公式是用zj)(k) = 0.5(xj)(k- 1) + x*k)近似代替 實(shí)際值產(chǎn)泌。如圖1所示，在傳統(tǒng)的MGM(1，m)模 型中，第j個(gè)變量的傳統(tǒng)背景值是用梯形面積所表示的，而 背景值的實(shí)際幾何意義是曲線x*t)在區(qū)間k- 1, k上與 k坐標(biāo)軸t軸所圍成的曲邊梯形的面積匕一產(chǎn);)

18、*。利用傳 統(tǒng)方法計(jì)算的背景值大于實(shí)際的背景值，圖1中陰影部分 為傳統(tǒng)方法中背景值計(jì)算的誤差來源。圖1第j個(gè)變量的傳統(tǒng)背景值誤差來源2.2.2改進(jìn)的MGM(1，m)模型背景值的優(yōu)化原理定義2:把積分區(qū)間a, b剖分為n等分，叫=a + kh， h = 1(b-a)，k = 0,1，,n，求積公式為:n(x)dx = (b - a)玉 C?f(Xk)+ R, f (13)k = 0其中，Ckn)=己 J：lk (x)dx，k=0,1，n，公式(13) 稱為n階牛頓一柯特斯積分公式，C；n), k = 0, 1,., n稱為 柯特斯系數(shù)。n=3時(shí)，公式(14)稱為辛普森3/8公式。j：f (x)d

19、x 若(.f(X。)+ 3f (X1) + 3f (電 + f (X3)(14)在傳統(tǒng)的MGM(1，m)模型中，第j個(gè)變量的傳統(tǒng)背景 值計(jì)算公式是利用梯形公式zj)(k) = 0.5(x*k_ 1) + j (k) 近似代替實(shí)際值1 xj)(t)dt。梯形公式正是代數(shù)精度為1 時(shí)的牛頓一柯特斯積分公式，但由于其代數(shù)精度較低，導(dǎo) 致利用傳統(tǒng)方法計(jì)算的背景值大于實(shí)際的背景值。為了 能夠有效地降低背景值z(mì)j)(k)的計(jì)算誤差,可通過提高牛 頓一柯特斯積分公式的代數(shù)精度來實(shí)現(xiàn)。辛普森3/8公式 是n=3時(shí)的牛頓一柯特斯積分公式，其代數(shù)精度為3,所以 利用辛普森3/8公式求解定積分的精度高于利用梯形公

20、式(代數(shù)精度為1)求解定積分的精度。相比于傳統(tǒng)MGM (1，m )模型背景值的計(jì)算方法，高次插值雖然能夠提高模 型的模擬精度和預(yù)測精度，但是模型的模擬和預(yù)測結(jié)果會(huì) 因振蕩一Runge現(xiàn)象的發(fā)生而失真，從而不宜采用代數(shù)精 度過高的牛頓一柯特斯積分公式計(jì)算背景值。經(jīng)過綜合考慮，本文選取辛普森3/8公式來求解背景值z(mì)j,(k)。結(jié) 合辛普森3/8公式可以得到改進(jìn)的MGM(1，m)模型背景值 zjk)的計(jì)算公式為：z”,(k) = = 1- 1) + 3x”,(k - 2) + 3x”,(k -3)+xJ1)(k)j, k=2,3,., n(15)在背景值z(mì)j)(k)的求解過程中，xr,(k -1)和

21、x/) (k-1)的數(shù)值是未知的。本文基于灰色系統(tǒng)理論以及一 階累加生成序列具有非齊次指數(shù)的規(guī)律，提出構(gòu)建動(dòng)態(tài)序 列模型來求解xj(i)(k - 3)和x?)(k-3)的數(shù)值，從而得到優(yōu) 化后的MGM(1，m)模型背景值z(mì)*k)。對(duì)于原始序列0) =1)xj )xj (k) _ pjQ-e )e_ 氣一(k-1pg-由式(18)得：a. Inxj0)(k)-Inxj0)(k- 1)，(j = 1,2, , m) 結(jié)合式(17)和式(19)可得：x(k)e-xj0)(k)xj0)(k)/xj0)(k - 1)1 -ki(0) 、/ (0) 1 e1 - x (k - 1)/x (k)-ejj由初

22、始條件可知：xjD(1) xj0)(1)；) + Yj，(j = 1,2, , m)，(1 -i)Yj = xj -pje成序列為 X(1) =%(1),X* ,X：1)T。由 MGM(1，m)模型的 一階累加生成時(shí)間序列的時(shí)間響應(yīng)式(式(6)可以看出， 它是非齊次指數(shù)向量的形式，故可設(shè)xjr)(t)=齦+ * (j = 1,2,m)，其中aj，匡，*為待定常數(shù)，且滿足:圖2改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1, m)模型流程圖型的有效性和可行性，本文選取指數(shù)序列x(0)(k) = e04k和貯(k) = e國的前5個(gè)數(shù)據(jù)建立傳統(tǒng)的MGM(1，2)模型和改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1，m)模

23、型，分別進(jìn)行模擬和預(yù)測。本文改進(jìn)的MGM(1,m)模型是選取一階累加生成序列- i - 1)- i - 1)(16)(17)(18)(19)(20)(21)序號(hào)kK(k)傳統(tǒng)的MGM(1，2)模型優(yōu)化的MGM(1，2)模型x(k)相對(duì)誤差()x(k)相對(duì)誤差()11.491821.491820.00001.491820.0000022.225542.190201.587932.225550.0004533.320123.250282.103543.320120.0000044.953034.823472.615774.953020.0002057.389067.158093.125847.38

24、9040.00027平均相對(duì)誤差1.886620.00018序號(hào)kx2 (k)傳統(tǒng)的MGM(1，2)模型優(yōu)化的MGM(1，2)模型x *(k)相對(duì)誤差()x %)相對(duì)誤差()11.822121.822120.00001.822120.0000023.320123.193373.817633.320190.0021136.049655.718475.474376.049710.00099411.0231810.240267.1024911.023150.00027520.0855418.337578.7026320.085250.00144平均相對(duì)誤差5.019420.00096表4兩種模型對(duì)原

25、始數(shù)據(jù)序列X1的模擬值和誤差x(j)(k) =) + Yj，j = 1,2,，m，k = 1,2,，n 由于：(0)小小 (1) n x ( ) x if x () p ep e-a. a .(k i)-Pj(1- e *的第5個(gè)分量組成的向量X(1)(5)作為初值。兩種模型對(duì)兩 組原始數(shù)據(jù)序列的模擬值和誤差如表3和表4所示。表3兩種模型對(duì)原始數(shù)據(jù)序列X1的模擬值和誤差根據(jù)上述分析可知，實(shí)際應(yīng)用中，可以利用原始數(shù)據(jù) 序列即可得到動(dòng)態(tài)序列模型x*t) = &芒-)+ Yj。然后利 用動(dòng)態(tài)序列模型x*t) = &,廣 +Y,來求解xj1)(k-1)和xj1)(k-1)的數(shù)值，最后得到改進(jìn)的初值和背

26、景值優(yōu)化的 MGM(1，m)模型的背景值z(mì)?(k)。據(jù)此，本文給出改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1， m)模型流程圖，見圖2。3實(shí)例為了驗(yàn)證改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1，m)模由表3和表4可見,改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM (1，2)模型對(duì)原始數(shù)據(jù)序列X(0)進(jìn)行模擬的平均相對(duì)誤差 為0.00018%；對(duì)原始數(shù)據(jù)序列X20)進(jìn)行模擬的平均相對(duì) 誤差為0.00096%。傳統(tǒng)的MGM(1，2)模型對(duì)原始數(shù)據(jù)序 列X：0)進(jìn)行模擬的平均相對(duì)誤差為1.88662%；對(duì)原始數(shù) 據(jù)序列X20)進(jìn)行模擬的平均相對(duì)誤差為5.01942%。通過 對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的初值和背景值優(yōu)化的MGM(1,2)模 型的模擬精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的MGM(1，2)模型。為了更好地比較本文提出的改進(jìn)的初值和背景值優(yōu) 化的MGM(1，m)模型和傳統(tǒng)的MGM(1，m)模型的預(yù)測精 度，下面分別采用兩種模型對(duì)兩組原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行兩期 (k=6,7)預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見下頁表5和表6所示。表5兩種模型對(duì)原始數(shù)據(jù)序列xJ0）的預(yù)測值和誤差序號(hào)k原始值傳統(tǒng)的MGM（1，2）模型優(yōu)化的MGM（1，2）模型預(yù)測值相對(duì)誤差（）預(yù)測值相對(duì)誤差（）611.0231810.622723.6328911.023170.00009716.4446515.764294.1372716.444690.00024平均相對(duì)誤差3.8850