14例談目標(biāo)函數(shù)中變量的選擇江蘇孔祥武

1、例談目標(biāo)函數(shù)中變量的選擇孔祥武（江蘇省常州市第一中學(xué) ， 213003）我們在解析幾何中求最值范圍時(shí),常常需要構(gòu)建合適的目標(biāo)函數(shù),把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.解題的關(guān)鍵是分析引起函數(shù)值變動(dòng)的原因，這個(gè)原因可能是某條線段的長度變化引起的，可能是某條直線的斜率變化引起的，亦可能是某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)變化引起的，等等“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,從不同的角度看問題，選擇不同的變量,會(huì)產(chǎn)生繁簡不一的方法，因此在解題伊始，我們需要多維度思考,選擇合適的變量.下面介紹幾個(gè)例子來說明問題.選擇點(diǎn)的的坐標(biāo)作作變量例1（常常州市220100年高三三調(diào)研測測試）如圖1，在平面面直角坐坐標(biāo)系中中，橢圓圓C：（）的左左

2、焦點(diǎn)為為，右頂頂點(diǎn)為AA，動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)準(zhǔn)線上一一點(diǎn)（異異于右準(zhǔn)準(zhǔn)線與軸軸的交點(diǎn)點(diǎn)），設(shè)設(shè)線段交橢橢圓C于點(diǎn)P，已知知橢圓CC的離心心率為，點(diǎn)M的橫坐坐標(biāo)為（1）求求橢圓CC的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)設(shè)直線的斜斜率為，直線MAA的斜率率為，求的取值范范圍分析斜率率乘積的的變化可可看作是是由點(diǎn)的的坐標(biāo)變變化引起起的我們習(xí)習(xí)慣先設(shè)設(shè)點(diǎn)，進(jìn)進(jìn)而直線線與橢圓圓聯(lián)立,解出交點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以預(yù)預(yù)見表達(dá)達(dá)式非常常復(fù)雜；若改變變這種既既定的順順序，先先設(shè)點(diǎn)，再求點(diǎn)點(diǎn)，則巧巧妙避開開了直線線與橢圓圓聯(lián)立的的繁瑣過過程解（1）橢圓CC的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程為為(過程程略) M A P FOx y 圖1（2）設(shè)設(shè)點(diǎn)（），點(diǎn)點(diǎn)M，因

3、為點(diǎn)、P、M三點(diǎn)共共線， 所以，即， 故故 點(diǎn)MM 又， 則= 因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)P在橢圓圓C上， 所以， 即=，（）， 則, 所所以的取取值范圍圍是 值得一提提的是選選擇點(diǎn)的的坐標(biāo)作作變量有有時(shí)帶有有軌跡的的思想,可先求求出滿足足限制條條件的點(diǎn)點(diǎn)的軌跡跡方程,然后再再求解最最值問題題.例2 已知圓圓與軸相交交于兩點(diǎn)點(diǎn)，圓內(nèi)內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)使、成等比比數(shù)列，求的范范圍.分析向量量數(shù)量積積的變化化可看作作是由點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)變化引引起的,同時(shí)設(shè)設(shè)坐標(biāo)入入手更容容易表達(dá)達(dá)點(diǎn)在圓圓內(nèi)的特特征和處理向向量點(diǎn)乘乘.解設(shè)點(diǎn)，則易知,，由成等比比數(shù)列得得 ，即 整理得,即由得得，所以.2 選擇線線段的長長度作變變量例3求滿滿足條件

4、件的三角角形的面面積最大大值. 分析面面積表達(dá)達(dá)式中既既含有邊邊又涉及及角,需需要消元元,統(tǒng)一一成一個(gè)個(gè)變量來來處理.解設(shè)，則則，根據(jù)面積積公式得得=，根據(jù)余弦弦定理得得，=,由三角形形三邊關(guān)關(guān)系有,解得，故當(dāng)時(shí),取得最大大值.評注本題題亦可以以點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)為變量量,以的中點(diǎn)點(diǎn)建立合合適的坐坐標(biāo)系,得出的的軌跡方方程為,然后再再求三角角形面積積最大值.選擇直線線的斜率率作變量量設(shè)直線斜斜率入手手多適用用于兩直直線相互互垂直或傾傾斜角互互補(bǔ),或或過定點(diǎn)點(diǎn)的動(dòng)直直線等問題.例4已知知圓的方方程為,過原點(diǎn)作兩兩條互相相垂直的的直線，交圓于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)，求四邊邊形面積積的最大大值分析 四邊形形面積的

5、的變化可可理解為為是由直直線的斜斜率變化化引起的的當(dāng)直線的的斜率不不存在或或斜率為為0時(shí)，易知設(shè)直線的的方程為為，則此時(shí)直直線為圓心到直直線的距距離，則弦長，圓心到直直線的距距離，則弦長，所以,整體觀察察可發(fā)現(xiàn)現(xiàn)(定值值),.所以四邊邊形的面積最最大值為為評注從數(shù)數(shù)的角度度發(fā)現(xiàn)定定值,聯(lián)聯(lián)想基本本不等式式解題是關(guān)鍵.4 選選擇有向向距離作作變量有時(shí)最值值的變化化可理解解為點(diǎn)到到點(diǎn)或點(diǎn)點(diǎn)到直線線的距離離變化引引起的.圖2我們知道道圓的問問題要注注意幾何何性質(zhì)的的使用上面例例4中仔細(xì)觀觀察可發(fā)發(fā)現(xiàn)，圖圖中有一一個(gè)矩形形，且對對角線長長始終為為定值，故可以直直接設(shè)距距離入手手解法2 如圖圖2,過過作

6、，垂足足為;過作，垂垂足為.易知四邊邊形為矩矩形，且且對角線線長始終終為定值值，設(shè)圓心到到的距離離分別為為，則（定值值），弦長，弦弦長，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)，即時(shí)取取到等號(hào)號(hào)所以四邊邊形的面積最最大值為為評注從形形的角度度發(fā)現(xiàn)定定值,更更能揭示示問題的的本質(zhì);通過挖挖掘幾何何性質(zhì),優(yōu)化了運(yùn)算過過程，而而且避免免了斜率率是否存存在的討討論. 例5已知知圓的方程為為 ,點(diǎn)，若過點(diǎn)P存在直線線與圓交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M恰好是是線段PPN的中中點(diǎn)，求求實(shí)數(shù)的的取值范范圍圖3分析很自自然想到到設(shè)直線線的斜率率,利用用直線與與圓聯(lián)立立,借住住韋達(dá)定定理來處處理線段段之間的的關(guān)系,但這樣樣操作很很繁瑣.換一個(gè)個(gè)角度來

7、來看,點(diǎn)點(diǎn),位置的的變化既既可理解解為是由由直線的的斜率變變化引起起的，也也可理解解為是由由點(diǎn)到直直線的距距離變化化引起的的，于是是產(chǎn)生下下面的解解法.解 如圖圖3，過過作交于，設(shè)到直線線的距離離，線段，為的中點(diǎn)點(diǎn),則,又所以，由點(diǎn)不重重合及知存在符合合條件的的直線,即關(guān)于于的方程程在上有解解.則，又，即 ， 所以，故故的取值值范圍為為評注解法法2抓住住圖中的的兩個(gè)直直角三角角形與，直接接設(shè)線段段長度入入手來研研究線段段之間的的比值關(guān)關(guān)系，把把解幾存存在性問問題轉(zhuǎn)化化為相應(yīng)應(yīng)方程的有解問問題.選擇角度度作變量量選擇角度度作變量量多適用用于點(diǎn)在在圓弧或或圓上運(yùn)運(yùn)動(dòng),或或圖形是是以三角角形構(gòu)成成為

8、主要要特征,易于用用三角函函數(shù)表示示有關(guān)元元素的問問題.例6如圖圖4，現(xiàn)在在要在一一塊半徑徑為1,圓心角角為的扇扇形紙板板上剪出出一個(gè)平平行四邊邊形，使使點(diǎn)在弧上，點(diǎn)在上，點(diǎn)點(diǎn)在上，設(shè)設(shè)平行四四邊形的的面積為為.求的最大大值.圖4解連接,設(shè),則中,由正弦定定理得 ,又到的距距離,.,又,則,當(dāng),即,取到最最大值.我們在選選擇變量量時(shí)要克克服主觀觀隨意,嘗試從從以上幾幾個(gè)角度度去思考考問題.變量選選不好,吃力不不討好,解題不不設(shè)計(jì),越做越越生氣.通過對對比分析析,方法法選擇,設(shè)計(jì)好解題思思路,這樣才能能達(dá)到靈靈活應(yīng)用用,受到到事半功功倍的效效果.注：本文文發(fā)表于于20111年高中數(shù)數(shù)學(xué)教與與學(xué)33月刊。作者簡介介:孔祥祥武,江江蘇省常常州市第第一中學(xué)學(xué) ，