得法方可得道“圓柱圓錐的體積”教學案例與思考公開課

1、得法，方可得道“圓柱錐的體積”教學案例與思考“圓柱錐的體積”教學案例與思考金華市北苑小學李俏愉在信息技術飛速發(fā)展的今天，數(shù)學被廣泛地應用到社會生產(chǎn)以及日常生活的 各個方面，成了每個社會人不可或缺的必備技能之一。數(shù)學課程標準中提出 “人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。那怎么 才能讓孩子得到“良好的數(shù)學教育”，實現(xiàn)自我的發(fā)展呢？我認為，在我們的數(shù) 學教學中，要讓孩子“知其然，知其所以然”，學會去挖掘知識背后的本質，理 解每一個知識點內在聯(lián)系。在這樣的基礎上，再授以解決問題的實際操作方法。 古人云：“授人以魚不如授人以漁”，那讓學生掌握方法，能夠靈活的運用數(shù)學知 識去解決實

2、際問題，就成了我們數(shù)學教學的重中之重?！景咐巍吭趯W習完圓柱圓錐的體積計算以后，數(shù)學書中出現(xiàn)了以下這樣的練習題： ( 題目：如圖，先將甲容器注滿水，再將水倒入乙容器，這時乙容器中的水有 ： 多高？師：同學們，請你們仔細仔細觀察圖中的圓柱和圓錐，通過對比說一說你發(fā) 現(xiàn)了什么？生：我發(fā)現(xiàn)圖上的圓柱和圓錐等底等高。師：等底等高的圓柱和圓錐的體積有什么關系呢？生：等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，反過來說，等底等高的圓錐是 圓柱體積的三分之一。師：將水從甲容器倒入乙容器，什么變了？什么沒變呢？生：水的體積沒有變化，依舊是剛才在圓錐中的體積，也就是圓錐的體積， 但是裝在乙容器中，水的高度應該會發(fā)生變

3、化吧！生：我還發(fā)現(xiàn)，底面積也沒有發(fā)生變化。師：看來同學們已經(jīng)對解決這個問題有了一些想法，接下來請你們同桌兩人合作，先討論討論：我們打算怎么解決這個問題？我們有幾種解決方法？然后再 把解決方法一一列出來。(學生進行激烈的討論，教師巡視：發(fā)現(xiàn)有些小組能夠馬上找到利用關系解決的簡便方法，而有些小組是比較傳統(tǒng)的解決方法。)學生討論后進行匯報： TOC o 1-5 h z (；A廠(104-2) =5cmh二一 Xh 錐二-X 12二4cm33V 錐二，Sh二，X Ji X5X5X12=100 兀(cm3)33h-lOOii + (兀 X5X5) =4 (cm)師：現(xiàn)在來看看剛才你們反饋給老師的各種方法

4、，比較一下，你更喜歡哪種方法，你的理由是什么？生：我更喜歡直接根據(jù)等底等高圓柱圓錐之間關系進行直接計算的這一種方法，因為它更加簡便，能夠馬上就解決這個問題。(大部分的學生表示認同，部分用傳統(tǒng)方法解決的學生在聽過其他同學發(fā)言 分析后，也表示出認同，恍然大悟。)師：讓我們回頭看看，剛才我們是如何解決這個問題的？以后遇到這樣類似 的題目，你該怎么分析？【案例反思】一、溯其源本題是選自北師大版小學數(shù)學六年級下冊第一單元“圓柱與圓錐”的練 習一中的第8題，學生對于圓柱圓錐并不陌生，本單元教材結合了學生之前的 學習經(jīng)驗和已獲得的知識，運用“類比”的思想學習了圓柱和圓錐的表面積和體 積的相關知識，學會了計算

5、圓柱圓錐的表面積和體積，也了解了圓柱和圓錐的之 間的聯(lián)系。本題是在學生掌握了圓柱圓錐的概念和特征，學習了圓柱圓錐的體積 之后的一個練習題，解決這道題目涉及到的知識點有：圓柱圓錐的體積計算，等 底等高的圓柱圓錐之間的聯(lián)系。通過這道題目的解決，能夠使學生掌握此類題目 的解題思路和方法，能夠靈活的解決此類型題目，也進一步鞏固加深圓柱圓錐的 相關知識。二、明其意本題是考察學生對等底等高的圓柱和圓錐的體積之間的關系理解，這也是 本題的重點所在。在此之前學生知道了：當圓柱和圓錐等底等高時，圓錐的體積 是圓柱的工，圓柱的體積是圓錐的3倍。當學生第一眼看到這道題目的時候，大 3部分的學生能夠馬上聯(lián)想到等底等高

6、的圓柱圓錐之間的關系，并且能夠通過基礎 的方法，也就是先求出圓錐的體積，然后再求出3倍圓錐的體積，即計算出圓柱 的體積，最后通過圓柱體積的公式求出此時水的高度。這一解題思路應該是學生 最容易想到的一種，也是學生理解起來比較容易的一種解題方法。本題的難點存在與第二種更簡便的解決方法中，本題除了能夠從圖中一眼 看出的體積之間的關系這個知識點之外，還隱藏了另一個衍生出來的知識點：等 底等高的圓柱和圓錐容器在裝液體時，所裝的液體的高度也有一個,關系或者說 3是3倍關系，而這個關系正好是和體積之間的關系相反，即圓柱容器中液體高度 是圓錐容器中的液體高度的工，圓錐容器中的液體高度是圓柱容器中液體高度的33

7、倍。因此，就有了一種更加簡便的解決方法：根據(jù)圓錐中水的高度直接計算圓 柱中水的高度。對于部分孩子來說，理解這樣的一種關系存在一定的困難。在解決這道題目時，學生的錯誤往往出現(xiàn)在體積關系或者是液體高的關系, 對于它們之間的關系模糊，混淆不清，從而導致出現(xiàn)錯誤，因此分清楚圓柱圓錐 體積以及所裝液體的高之間的關系十分重要。當然也有部分學生會出現(xiàn)計算方面 的失誤。三、得其法數(shù)學課程標準中提出：“數(shù)學活動是師生共同參與、交往互動的過程。 有效的數(shù)學教學活動是教師教與學生學的統(tǒng)一，學生是數(shù)學學習的主體，教師是 數(shù)學學習的組織者與引導者?！币箤W生能夠正確的解決問題，就應該幫助他們 徹底弄清楚題意，理清題目中

8、圓柱圓錐之間的關系，在學生的頭腦中建立清晰的 圖形表象。為了達到這一目標，在解決這道題目時，我安排了以下幾個步驟去指 導學生完成習題：理解題意l= I篩選解題信息= 回顧體積關系匯報，優(yōu)化方法1 思考解題方法1、通過觀察圓柱和圓錐，發(fā)現(xiàn)圓柱和圓錐是等底等高的，為得出它們之間 的體積關系做下鋪墊，也為后續(xù)解決這個問題埋下伏筆。2、在一些復雜的題中，往往會有很多信息，如何篩選、整理和歸類是解決 一道題目的關鍵。培養(yǎng)孩子的篩選能力，可以讓解題事半功倍。3、題目中的變量和不變量是解決這道題目很關鍵的點，也是解決問題的橋 梁，這一點必須讓學生清楚的知道。培養(yǎng)學生從復雜、多樣的數(shù)學信息中，尋找 有用的信息

9、，進行整合的能力是解決數(shù)學問題的關鍵和前提，而學生篩選信息的 過程也是思考解題思路的過程。在數(shù)學中，交流合作也是非常重要的一項能力， 從交流中不僅可以獲得正確方法，還能夠使方法多樣化，吸取百家精華，納為己 用，為今后解決這一類型的題目拓展了思維。因此在解決這道題目的時候，我并 不著急讓學生得出答案，而是引導學生先讀題，然后再獨立思考，最后再小組間 進行交流，這樣可以避免一些學生為了做題而做題，從而缺乏思維的過程。5、數(shù)學學習應該是在學生的討論中進行的，在獨立思考和小組交流后進行 了全班的匯報，匯報不僅可以增強匯報者的語言組織能力，還可以鍛煉其他同學 的傾聽能力。在匯報中，可以讓學生的思維進行碰

10、撞，百花齊放百家爭鳴，讓我 們的課堂真正的還給學生，教師只是在其中充當指導者，在學生遇到困難的時候 適當?shù)慕o與幫助和指導，推動學生進行積極的思考，激烈的討論。在教學過程中， 不僅要讓全部學生掌握基礎的解決方法，還要讓大部分學生掌握其中更簡便的方 法，使我們的解決問題的策略越來越優(yōu)化。通過匯報交流，將本題的難點和重點 逐一突破，從而真正的掌握這一類題目的解題思路。7、回顧解題的整個過程，可以讓學生在頭腦中進行思路整理，形成完整的 解題思路，進行方法小結后，對此類型的題目學生再次遇到就不會手足無措了。四、行于徑作為教師，我們應該教學學生舉一反三，因此在解決完這道題目后，尋找一 些變式的題目給學生們

11、進行練習，會使學生們對這部分知識掌握的更加扎實，因 此我選擇了以下幾個題目進行鞏固：1、將一個底面半徑是6厘米，高是15厘米的圓錐鐵塊熔化，鑄造成一個底 面半徑是6厘米的圓柱，這個新鑄造的圓柱的高是多少厘米？2、在一個底面半徑為24厘米，高為10厘米的圓柱木塊里鋸出一個最大的圓錐，這個鋸出來的圓錐的體積是多少立方厘米?數(shù)學探究能力是數(shù)學素養(yǎng)最核心的成分和最本質的特征，數(shù)學探究能力的提 高是通過數(shù)學思維訓練來完成的。設計這兩個遷移變式練習的目的是讓學生通過 練習，知道不同提醒中等底等高圓柱圓錐的體積的轉化，達到知識遷移的目的，把解答此種題型的規(guī)律推廣應用。五、悟其道1、要解決學生心中的疑惑最好的辦法是讓學生，自己動腦思考，動手操作, 主動打開思維，直觀呈現(xiàn)；2、學生在嘗試解決問題時，可能會遇到困難，但是這個過程也是思維碰撞 的過程，給學生足夠的思考時間和空間，可以通過小組合作或同桌交流等方式進 行，作為教師要適時的發(fā)現(xiàn)思維的火花，及時引導；3、教學的目的就是讓學生能夠透過現(xiàn)象看本質，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應用規(guī)律讓復 雜的問題解決起來變得更加簡單；4、教會學生能用所學的推理思路解決生活中的實際問題，同時學會自己用 一定的教