坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型歸納

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型歸納 知識(shí)總結(jié)一、平面直角坐標(biāo)系1平面直角坐標(biāo)系(1)數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一相應(yīng)關(guān)系(2) 平面直角坐標(biāo)系：定義：在同一種平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系；數(shù)軸的正方向：兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向；坐標(biāo)軸水平的數(shù)軸叫做x軸或橫坐標(biāo)軸，豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱坐標(biāo)軸，x軸或y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸；坐標(biāo)原點(diǎn)：它們的公共原點(diǎn)稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；相應(yīng)關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(x，y)之間可以建立一一相應(yīng)關(guān)系距離公式與中

2、點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，填表：兩點(diǎn)間的距離公式中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式|P1P2|eq r(（x1x2）2（y1y2）2)eq blc(avs4alco1(xf(x1x2,2),yf(y1y2,2)2.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：eq blc(avs4alco1(xx（0）,yy（0）)的作用下，點(diǎn)P(x，y)相應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換二、極坐標(biāo)系1.極坐標(biāo)系定義：在平面內(nèi)取一種定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定

3、一種長度單位、一種角度單位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一種極坐標(biāo)系2極坐標(biāo)：(1)極坐標(biāo)的定義：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)(2)極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的相應(yīng)關(guān)系：在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)O的極坐標(biāo)是(0，)，(R)，若點(diǎn)M的極坐標(biāo)是M(，)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)也可寫成M(，2k)，(kZ)若規(guī)定0，02，則除極點(diǎn)外極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(，)之間才是一一相應(yīng)關(guān)系3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的

4、正半軸作為極軸，且長度單位相似，設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x，y)，(，)(1)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo) eq blc(avs4alco1(xcos ，,ysin .)；(2)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)eq blc(avs4alco1(2x2y2，,tan f(y,x)（x0）.)三、簡樸曲線的極坐標(biāo)方程1曲線的極坐標(biāo)方程一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一種滿足方程f(，)0，并且坐標(biāo)適合方程f(，)0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(，)0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程2圓的極坐標(biāo)方程(1)特殊情形如下表：圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0，0)r(02)圓心在點(diǎn)(r，0)2r

5、cos_(eq f(,2)eq f(,2)圓心在點(diǎn)(r，eq f(,2)2rsin_(0)圓心在點(diǎn)(r，)2rcos_(eq f(,2)eq f(3,2)圓心在點(diǎn)(r，eq f(3,2)2rsin_(0) (2)一般情形：設(shè)圓心C(0，0)，半徑為r，M(，)為圓上任意一點(diǎn)，則|CM|r，COM|0|，根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為220cos(0)eq oal(2,0)r20即3直線的極坐標(biāo)方程(1)特殊情形如下表：直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn)，傾斜角為(1)(R) 或(R) (2)(0) 和(0)過點(diǎn)(a，0)，且與極軸垂直cos_aeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)

6、f(,2)過點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(,2)，且與極軸平行sin_a(0)過點(diǎn)(a，0)傾斜角為sin()asin (0b0)的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xacos ,ybsin )(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范疇是0，2)(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xbcos ,yasin )(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范疇是0，2)(3)中心在(h，k)的橢圓一般方程為eq f(（xh）2,a2)eq f(（yk）2,b2)1，則其參數(shù)方程為eq blc(a

7、vs4alco1(xhacos ,ykbsin )(是參數(shù))2雙曲線的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xasec ,ybtan )(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范疇為0，2)且eq f(,2)，eq f(3,2)(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xbtan ,yasec )(為參數(shù))3拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線y22px的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(x2pt2,y2pt)(t為參數(shù)

8、)(2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)六、直線的參數(shù)方程 1直線的參數(shù)方程通過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xx0tcos ,yy0tsin )(t為參數(shù))2直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義(1)參數(shù)t的絕對值表達(dá)參數(shù)t所相應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離(2)當(dāng)eq o(M0M,sup6()與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取正數(shù)當(dāng)eq o(M0M,sup6()與e反向時(shí)，t取負(fù)數(shù)，當(dāng)M與M0重疊時(shí)，t03直線參數(shù)方程的其她形式對于同一條直線的一般方程，選用的參數(shù)不同，會(huì)得到不同的參數(shù)方程我們把過點(diǎn)M0(x0

9、，y0)，傾斜角為的直線，選用參數(shù)tM0M得到的參數(shù)方程eq blc(avs4alco1(xx0tcos ,yy0tsin )(t為參數(shù))稱為直線參數(shù)方程的原則形式，此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義一般地，過點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率keq f(b,a)(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xx0at,yy0bt)(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時(shí)的參數(shù)t不具有原則式中參數(shù)的幾何意義 題型歸納題型一：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化?；セ恚ㄈ呛瘮?shù)定義）、數(shù)形結(jié)合。1在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），覺得極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐

10、標(biāo)系中取相似的長度單位，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）把曲線的極坐標(biāo)方程化為一般方程； （2）求直線與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)（）.試題解析：（1）由得，兩邊同乘以，得；（2）由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得直線的一般方程為，聯(lián)立曲線與直線的方程得，或，化為極坐標(biāo)為或.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線參數(shù)方程與一般方程的互化.考點(diǎn)：，.2在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓通過點(diǎn)，圓心是直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程試題解析：法一：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為：直線的直角坐標(biāo)方程為：它與軸的交點(diǎn)也就是圓心為 因此因此圓的方程為，得因此，圓的極坐標(biāo)方程為：法二：由于圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，因此令，得，即圓心是又圓通過點(diǎn)

11、，圓的半徑，圓過原點(diǎn)，圓的極坐標(biāo)方程是考點(diǎn)：（1）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，求出所求方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)；（2）先求圓心坐標(biāo)，再運(yùn)用余弦定理求半徑，最后借助過原點(diǎn)寫出圓的極坐標(biāo)方程.題型二：曲線（圓與橢圓）的參數(shù)方程。（1）一般方程互化和最值問題。“1”的代換（）、三角解決。3已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)分別為.（）求直線的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.試題解析：（）將、化為直角坐標(biāo)為，即， 直線的方程為，即 （）設(shè)，它到直線的距離為，（其中）， 考點(diǎn)：1.橢圓的參數(shù)方程；2.點(diǎn)到直線的距離公式；3.三角函數(shù)求最值4已知曲線的

12、極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.試題解析：曲線的極坐標(biāo)方程可化為. 又，因此曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得，令，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. 又曲線的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑，則， 因此.法二：設(shè)N的坐標(biāo)為.因此考點(diǎn)：極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，參數(shù)方程化為一般方程，直線與圓位置關(guān)系5已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)） ，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）判斷直線與曲線的位置關(guān)系； （2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范疇.試題解析：（1）直線的一般方程為，曲線的直角坐

13、標(biāo)系下的方程為，由于圓心到直線的距離為,因此直線與曲線的的位置關(guān)系為相離.（2）設(shè)點(diǎn)，則.考點(diǎn)：直線與圓的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程. 6已知平面直角坐標(biāo)系，覺得極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線的距離的最小值.試題解析：（1）點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由，得，因此曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的一般方程為，設(shè)，則，那么點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線的最小距離為.考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；2、參數(shù)方程和一般方程的互化；3、點(diǎn)到直線的距離（2）公共點(diǎn)

14、問題。聯(lián)立求解鑒別式，直線與圓d與r。7在直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范疇試題解析：（1）由得，又由得，因此曲線的一般方程為，即，又易知，曲線的一般方程為，由得，因此，因此曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，與曲線有公共點(diǎn)，此時(shí)，從該位置向左下方平行移動(dòng)直到與曲線相切總有公共點(diǎn)，聯(lián)立得，令，解得所求實(shí)數(shù)的取值范疇是考點(diǎn)：1、參數(shù)方程與一般方程的互化；2、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；3、直線與拋物線的位置關(guān)系8在直角坐

15、標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系取相似的長度單位）中，圓的方程為（）求圓的直角坐標(biāo)方程；（）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值試題解析：（）由，圓的直角坐標(biāo)方程為（或）； （）直線的參數(shù)方程為，圓的圓心為，半徑， 由直線與圓相切，得或考點(diǎn)：簡樸曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成一般方程9在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且).（1）寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的一般方程；（2）若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范疇. 試題解析：（1）由直線的極坐標(biāo)方程得：， 即直線的直角坐

16、標(biāo)方程為：，由曲線 的參數(shù)方程 為參數(shù)，且). 得：（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，則，直線與曲線 有兩個(gè)公共點(diǎn)，.考點(diǎn)：極坐標(biāo)系，參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)換.題型三：直線參數(shù)方程（t的幾何意義）。定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離。定標(biāo)圖號(hào)聯(lián)、韋達(dá)三定理。、10在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相似的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求.試題解析：（1）由，得，即.（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，即.由于，故可設(shè)，是上述方程的兩實(shí)根，因此，又直線過點(diǎn)，故由上式及的幾何

17、意義得.考點(diǎn)：1.曲線的極坐標(biāo)方程和一般方程的轉(zhuǎn)化；2.直線的參數(shù)方程的應(yīng)用11在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的斜率為1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為,直線和曲線的交點(diǎn)為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求試題解析：（）由條件知，直線的傾斜角，因此.設(shè)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的有向向量為，則 （）曲線的直角坐標(biāo)方程為,由此得,即 . 設(shè)為此方程的兩個(gè)根，由于和的交點(diǎn)為，因此分別是點(diǎn)所相應(yīng)的參數(shù)，由韋達(dá)定理得 =考點(diǎn)：簡樸曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成一般方程12在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方

18、程； （2）過點(diǎn)作斜率為1直線與圓交于兩點(diǎn)，試求的值.試題解析：（1）由，可得，即（2）過點(diǎn)作斜率為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.代入得，設(shè)點(diǎn)相應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.由的幾何意義可得.（注：此題也可直接求兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出,.）考點(diǎn)：1.曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和一般方程的轉(zhuǎn)化；2.直線與圓的位置關(guān)系13在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相似的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，求的最小值.試題解析：（1）由得，化為直角坐標(biāo)方程為，即；（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得由，故可設(shè)是上述方程的兩根，因此，又直線過點(diǎn)，故結(jié)合的幾何意義得因此的最小值為考點(diǎn)：圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及直線參數(shù)方程在求最值中的應(yīng)用.題型四。跟蹤點(diǎn)參數(shù)方程的求法。跟蹤點(diǎn)法。14在直角坐標(biāo)系 中,曲線的參