屆步步高大一輪復(fù)習(xí)講義

1、2022 高考會這樣考 模擬方法 概率的應(yīng)用 2. 和平面幾何,函 1.以小題形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型； 數(shù),向量相結(jié)合考查幾何概型,題組以中低檔為主 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.精確懂得幾何概型的意義,會構(gòu)造度量區(qū)域； 2.把握與古典概型的聯(lián)系 和區(qū)分,加強與數(shù)學(xué)其他學(xué)問的綜合訓(xùn)練 b5E2RGbCAP 1 幾何概型 假如每個大事發(fā)生的概率只與構(gòu)成該大事區(qū)域的長度 面積或體積 成比例,就稱這樣 的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型 p1EanqFDPw 2 幾何概型中,大事 A 的概率運算公式 PA 錯誤 . .DXDiTa9E3d 3 要切實懂得并把握幾何概型試驗的兩個基本特點 1

2、 無限性：在一次試驗中,可能顯現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； 2 等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 難點正本 疑點清源 1幾何概型的試驗中,大事 A 的概率 PA只與子區(qū)域 A 的幾何度量 長度,面積或體積 成正比,而與 A 的位置和形狀無關(guān) RTCrpUDGiT 2求試驗中幾何概型的概率,關(guān)鍵是求得大事所占區(qū)域和整個區(qū)域 的幾何度量,然后 代入公式即可求解 3幾何概型的兩種類型 1 線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個連續(xù)的變量把握時 2 面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)的變量把握時,一般是把兩個變量分別作為 一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域,即可借助平面區(qū) 域解決 5P

3、CzVD7HxA 1在區(qū)間 1,2 上隨機取一個數(shù) 答案 錯誤 . x,就 x 0 , 1 的概率為 解讀 如圖,這是一個長度型的幾何概型題,所求概率 P錯誤 . 錯誤 . .jLBHrnAILg 2點 A 為周長等于 3 的圓周上的一個定點,如在該圓周上隨機取一B,就劣弧 錯誤 . 點 的長度小于 1 的概率 xHAQX74J0X 為 1 / 12 第 1 頁,共 12 頁答案 錯誤 . 3, 解讀 如圖可設(shè) l 錯. 1,就由幾何概型可知其整體大事是其周長 誤 就其概率是 錯誤 . . 3已知直線 yx b, b 2,3 ,就直線在 y 軸上的截距大1 的概5,2.故所求概率 P 于 率

4、是 答案 錯誤 . 解讀 區(qū)域 D 為區(qū)間 2,3 , d 為區(qū)間 1,3 ,而兩個區(qū)間的長度分別為 錯誤 . . 4一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為 30 秒,黃燈的時間5 秒,綠燈的時間40 秒,就人到達(dá)路口時觀看的是紅燈的概率是 為 LDAYtRyKfE 為 某 A. 錯誤 . B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . Zzz6ZB2Ltk 答案 B 解讀 以時間的長短進(jìn)行度量,故 P錯誤 . 錯誤 . . 湖 O 5 2022 北 如圖,在圓心角為直角的扇形 OAB 中,分別OA, OB 為直徑作兩個半圓在扇以 形 AB 內(nèi)隨機取一點,就此點取自陰影部分的概率dvzfvkwMI1 是 A

5、 1錯誤 . B. 錯誤 . 錯誤 . C.錯誤 . D. 錯誤 . rqyn14ZNXI 答案 A 解讀方法一 設(shè)分別以 OA, OB 為直徑的兩個半圓交于點 接 OC, DC. 不妨令 OAOB2, 就 OD DADC 1. C, OA 的中點為 D,如圖,連 在以 OA 為直徑的半圓中,空白部分面積 S1 錯誤 . 錯誤 . 1 1 錯誤 . 1 , EmxvxOtOco 所以整體圖形中空白部分面積 S2 2. 2 / 12 第 2 頁,共 12 頁2 又由于 S 扇形 OAB 錯誤 . 2 , 所以陰影部分面積為 S3 2. 所以 P錯誤 . 1 錯誤 . . 方法二 連接 AB,由

6、S 弓形 AC S 弓形 BCS 弓形 OC 可求出空白部分面積 設(shè)分別以 OA, OB 為直徑的兩個半圓交于點 C,令 OA 2. 由題意知 C AB 且 S 弓形 AC S 弓形 BCS 弓形 OC, 所以 S 空白 SOAB 錯誤 . 2 2 2. 又由于 S 扇形 OAB 錯誤 . 2 , 所以 S 陰影 2. 所以 P錯誤 . 錯誤 . 1 錯誤 . .SixE2yXPq5 題型一與長度有關(guān)的幾何概型 例 1在集合 A m|關(guān)于 x 的方程 x 2mx錯誤 . m 10 無實 中隨機地取一元素 m,恰使式子 lgm 有意義的概率 6ewMyirQ 根 為 FL 思維啟示： 通過轉(zhuǎn)化集

7、合 A 和 lgm 有意義將問題轉(zhuǎn)化成幾何概型 答案 錯誤 . 解讀 由 m 2 4 錯誤 . 0 得 1m4.kavU42VRUs 即 A m|1 m0 ,即使 lgm 有意義的范疇是 0,4 , 故所求概率為 P錯誤 . 錯誤 . . 探 究 提 高 解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范疇當(dāng)考察對象為點 ,點的活動范疇在線段上時,用線段長度比運算；當(dāng)考察對象為線時,一般用角度比計 算事實上,當(dāng)半徑確定時,由于弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比,所以角 度之比實際上是所對的弧長 曲線長 之比 y6v3ALoS89 在半徑為 1 的圓內(nèi)一條直徑上任取一點,過這個點作垂

8、直于直徑的弦,就弦長超過圓 內(nèi) 接等邊三角形邊長的概率是 M2ub6vSTnP 答案 錯誤 . 解讀 記大事 A 為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”,如圖,不妨在 過等邊三角形 BCD 的頂點 B 的直徑 BE 上任取一點 F 作垂直于直徑的 弦,當(dāng)弦為 CD 時,就是等邊三角形的邊長 此時 F 為 OE 中點 ,弦長 3 / 12 第 3 頁,共 12 頁大于 CD 的充要條件是圓心 O 到弦的距離小于 OF,由幾何概型公式得： 0YujCfmUCw PA 錯誤 . 錯誤 . . 題型二與面積有關(guān)的幾何概型 例 2 設(shè)有關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2 2axb 2 0. 1 如 a 是從

9、 0,1,2,3 四個數(shù)中任取的一個數(shù), 方程有實根的概率； eUts8ZQVRd b 是從 0,1,2 三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上 述 2 如 a 是從區(qū)間 0,3 任取的一個 數(shù), b 是從區(qū)間 0,2 任取的一個數(shù),求上述方程有實 根 的概率 思維啟示： 1 為古典概型,利用列舉法求概率 2 建立 a b 平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型 解 設(shè)大事 A 為“方程 x 2 2ax b 2 0 有實根” 當(dāng) a 0, b 0 時,方程 x 2 2ax b 2 0 有實根的充要條件為 a b. 1 基本事件共有 12 個： 0,0 , 0,1, 0,2 , 1,0 , 1,1

10、 , 1,2, 2,0 , 2,1 , 2,2 , 3,0, 3,1, 3,2 其中第一個數(shù)表示 a 的取值,其次個數(shù)表示 b 的取值事 件 A 中包含 9 個基本事件,大事 A 發(fā)生的概率為 PA 錯誤 . 錯誤 . .sQsAEJkW5T 2 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 a, b|0 a3,0 b2 ,構(gòu)成大事 A 的區(qū)域為 a, b|0 a 3,0 b2, a b ,所以所求的概率為 PA 錯誤 . 錯誤 . .GMsIasNXkA探 究 提 高 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決供應(yīng)了簡捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形精確 表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為大事 A

11、 中意的不等在圖形中畫出大事 A 發(fā)生的區(qū)域,通用公TIrRGchYzg 式, PA 錯誤 . . 式： 2022 湖 南 函數(shù) fx sinx 的導(dǎo)函數(shù) y f x的部分圖像如以下圖,其中, P 為圖像與 y 軸的交點, A, C 為圖像與 x 軸的兩個交B 為圖像的最低7EqZcWLZNX 點, 點 1 如 錯誤 . ,點 P 的坐標(biāo)錯誤 . ,就 ； lzq7IGf02E 2 如在曲線段 為 錯誤 . 與 x 軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點,就該點在ABC 內(nèi)的概率zvpgeqJ1 為 hk 答案 13 2 錯誤 . 4 / 12 第 4 頁,共 12 頁解讀 1fx sinx , f x

12、cosx 當(dāng) 錯誤 . 時, f x cos 錯誤 . .NrpoJac3v1 又該函數(shù)過點 P 錯誤 . ,故 錯誤 . cos 錯 誤 . .1nowfTG4KI 2設(shè) Ax0,0,就 3. x0 錯誤 . , x0 錯誤 . 錯誤 . .fjnFLDa5Zo又 y cosx 的周期為 錯誤 . , |AC| 錯誤 . , C 錯 .tfnNhnE6e5 誤 . 依題意曲線段 錯誤 . 與 x 軸圍成的面積為 S .錯誤 . 錯誤 . 錯誤 . 錯誤 . 錯誤 . cosx dx 2.HbmVN777sL |AC| 錯誤 . , |yB| , S ABC 錯誤 . . 中意條件的概率為 錯

13、誤 . . 題型三與角度,體積有關(guān)的幾何概型 例 3如以下圖,在 ABC 中, B 60, C 45,高 AD 錯誤 . ,在 BAC 內(nèi)作射線 AM 交 BC 于點 M,求 BM1 的概 率 V7l4jRB8Hs 思維啟示： 依據(jù)“在 BAC 內(nèi)作射線 AM ”可知,此題的測度是角度 解 由于 B 60, C 45, 所以 BAC 75, 在 Rt ABD 中, AD 錯誤 . , B 60, 所以 BD 錯誤 . 1, BAD 30. 記 事 件 N 為 “ 在 BAC 內(nèi) 作 射 線 AM 交 BC 于 點 M , 使 BM1” , 就 可 得 BAM 錯誤 . 錯誤 . . 提 高 探

14、 究 幾何概型的關(guān)鍵是“測度”,如此題條件如改成“在線段 測度變成線段的長度 83lcPA59W9 BC 上找一點 M”,就相應(yīng) 的 一只蜜蜂在一個棱長為 30 的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行如蜜蜂在飛行過程中始終保 持 與正方體玻璃容器的 6 個表面的距離均大10,就飛行是安全的,假設(shè)蜜蜂在正方體玻 于 璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性相同,那么蜜蜂飛行是安全的概率為 mZkklkzaaP A. 錯誤 . B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . AVktR43bpw 5 / 12 第 5 頁,共 12 頁答案 C 解讀 由題意,可知當(dāng)蜜蜂在棱長為 10 的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的,所以由幾

15、何 概型的概率運算公式,知蜜蜂飛行是安全的概率為 錯誤 . 錯誤 . .ORjBnOwcEd 轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應(yīng)用 典例： 12 分 已知向量 a2,1 , b x, y 1 如 x 1,0,1,2 , y 1,0,1 ,求向量 a b 的概率； 2 如 x 1,2 , y 1,1 ,求向量 a, b 的夾角是鈍角的概率 審題視角 1 向量 a b 轉(zhuǎn)化為 x 2y,而 x, y 的值均為有限個,可以直接列 化為古典概型問題； 2和 1 中條件類似,但 x, y 的值有無窮多個,應(yīng)轉(zhuǎn)化為幾 出,轉(zhuǎn) 何概型問題 2MiJTy0dTT 規(guī)范解答 解 1 設(shè)“ ab”為大事 A,由 a b,

16、得 x 2y. 基本事件空間為 1 , 1 , 1,0, 1,1, 0, 1, 0,0 , 0,1, 1, 1, 1,0 , 1,1 , 2 , 1 , 2,0 , 2,1 ,共包含 12 個基本事件； 3 分 gIiSpiue7A 其中 A 0,0 , 2,1 ,包含 2 個基本事件 就 PA 錯誤 . 錯誤 . ,即向量 a b 的概率為 錯誤 . .5 分 uEh0U1Yfmh 2 設(shè)“ a, b 的夾角是鈍角”為大事 B,由 a, b 的夾角是鈍角,可得 ab0,即 2x y錯誤 . 錯誤 . 錯誤 . , ooeyYZTjj1 即向量 a,b 的夾角是鈍角的概率是 錯誤 . .12

17、分 溫 馨 提 醒 1 對含兩個變量把握的概率問題,如兩個變量取值有限個,可轉(zhuǎn)化為古典概型；如取 值無窮多個,就可轉(zhuǎn)化為幾何概型問題 BkeGuInkxI 2 此題錯誤的主要緣由是不能將問題化歸為幾何概型問題,找不到問題的切入點所 以要留意體會和應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決幾何概型中的作用 .PgdO0sRlMo 6 / 12 第 6 頁,共 12 頁方法與技巧 1區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個仍是無限多個 2轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 對一個具體問題,可以將其幾何化,如建立坐標(biāo)系將試驗結(jié)果和點對應(yīng),然后利用幾何 概型概率公式 失誤與防范 1精確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵； 2

18、幾何概型中,線段的端點,圖形的邊框是否包含在大事之內(nèi)不影響所求結(jié)果 A 組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 時間： 35 分鐘,滿分： 57 分 一,選擇題 每道題 5 分,共 20 分 1 2022 遼 AC, CB 的 長 寧 在長為 12cm 的線段 AB 上任取一C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段 點 3cdXwckm15 ,就該矩形面積小于 32cm 2的概率為 A. 錯誤 . B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . h8c52WOngM 答案 C 解讀 設(shè) AC x,CB 12 x, 所以 x12 x32,解得 x8. 所以 P錯誤 . 錯誤 . . 2 2022 北 京 設(shè)不等式組 錯誤 . 2

19、的概 表示的平面區(qū)域為 D,在區(qū)域 D 內(nèi)隨機取一個點,就此點到坐標(biāo)原點的距離大率是 于 v4bdyGious A. 錯誤 . B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . J0bm4qMpJ9 答案 D 解讀 如以下圖,正方形 OABC 及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域 D ,且區(qū)域 D 的面積為 4,而陰影部分表示的是區(qū)域 D 內(nèi)到坐標(biāo) 原點的距離大于 2 的區(qū)域易知該陰影部分的面積為 4因 .此 中意條件的概率是 錯誤 . .XVauA9grYP 3如以下圖,在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P,就點 P 恰好取自陰影部分的概率 為 7 / 12 第 7 頁,共 12 頁A. 錯誤

20、. B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . bR9C6TJscw 答案 C 解讀 S 陰影 .錯誤 . 錯誤 . xdx 錯誤 . 錯誤 . pN9LBDdtrd 錯誤 . 錯誤 . 錯誤 . ,又 S 正方形 OABC 1, DJ8T7nHuGT 由幾何概型知, P 恰好取自陰影部分的概率為 錯誤 . 錯誤 . .QF81D7bvUA 4在區(qū)間 1,1 上隨機取一個數(shù) x,就 sin 錯誤 . 的值介于 錯誤 . 與 錯誤 . 之間的概率為 4B7a9QFw9h A. 錯誤 . B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . ix6iFA8xoX 答案 D 解讀 1 x 1, 錯誤 . 錯誤 .

21、 錯誤 . .wt6qbkCyDE 由 錯誤 . sin 錯誤 . 錯誤 . ,得 錯誤 . 錯誤 . 錯,Kp5zH46zRk 誤 . 錯誤 . 錯誤 . .Yl4HdOAA61 即 錯誤 . x 1.故所求大事的概率為 二,填空題 每道題 5 分,共 15 分 5平面內(nèi)有一組平行線,且相鄰平行線間的距離為 3cm,把一枚半徑為 1cm 的硬幣任意擲在這個平面內(nèi),就硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是 投 ch4PJx4BlI 答案 錯誤 . 解讀 如以下圖,當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時,硬幣不與 任何一條平行線相碰,故所求概率為 錯誤 . .qd3YfhxCzo p 1 6設(shè) p 在 0,5 上

22、隨機地取值,就方x 2 px 錯誤 . 錯誤 . 程 0 有實根的概率 E836L11DO5 為 答案 錯誤 . 解讀 一元二次方程有實數(shù)根 . 0,而 p 2 4 錯誤 . p 1p 2,解得 或 p 2,故所求概率為 P 錯誤 . 錯誤 . .S42ehLvE3M 7在區(qū)間 f xx , 內(nèi) 隨機取兩個數(shù)分別記為 a, b,就使得函數(shù) 22ax b 2 有零點的概率 501nNvZFis 為 答案 錯誤 . 解讀 依據(jù)函數(shù) f xx2 2ax b 2 有零點4a 2 4 b 20,即 2 a b ,建立 2得 如以下圖的平面直角坐標(biāo)系,就試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正 方形 ABCD 及其內(nèi)

23、部,使函數(shù) fx 有零點的區(qū)域為圖中陰影部 8 / 12 2 2 2分,且 S 陰影 4 3.jW1viftGw9 故所求概率為 P錯誤 . 錯誤 . 錯誤 . .xS0DOYWHLP 三,解答題 共 22 分 8 10 分已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長1,在正方體內(nèi)隨機取點 M,求使四棱錐 M為 ABCD 的體積小于 錯誤 . 的概率 LOZMkIqI0w 解 如圖,正方體 ABCD A1B1C1D 1.設(shè) M ABCD 的高為 h, 就 錯誤 . SABCD h錯誤 . , 又 SABCD 1, h已知關(guān)于 x 的一元二次函 fx ax 2 4bx 1. 數(shù) 錯誤 . 設(shè)點

24、a, b是區(qū)域 內(nèi)的隨機點,求函數(shù) y fx在區(qū)間 1 , 上是增函數(shù)的概率 ZKZUQsUJed 解 由于函數(shù) f x ax 2 4bx 1 的圖像的對稱軸為 x 錯誤 . ,要使 fx ax 2 4bx 1 在 區(qū)間 1 , 上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng) a0 且 錯誤 . 1,即 2b a.dGY2mcoKtT 依條件,可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 錯誤 . .rCYbSWRLIA 構(gòu)成所求大事的區(qū)域為 錯誤 . .FyXjoFlMWh 由 錯誤 . 得交點坐標(biāo)為 錯誤 . , TuWrUpPObX 所以所求大事的概率為 P 錯誤 . 錯誤 . .7qWAq9jPqE B 組專項才能提升 時

25、間： 25 分鐘,滿分： 43 分 一,選擇題 每道題 5 分,共 15 分 2無零點的概率 1在區(qū)間 0,1 上任取兩個數(shù) a, b,就函數(shù) fxx 2ax bA. 錯誤 . B.錯誤 . C.錯誤 . D.錯誤 . llVIWTNQFk 為 答案 C 解讀 要使該函數(shù)無零點,只需 a 2 4b2 a 2b0, a 2b09T7t6eTno 答案 D 解讀 如圖,在圓上過圓心 O 作與 OM 垂直的直徑 CD ,就 MD MC 錯誤 . R,當(dāng)點 N 不在半圓弧 錯誤 . 上時, MN 錯誤 . R,故所 求的概率 PA 錯誤 . 錯誤 . .s1SovAcVQM 3 2022 值的算法框陜

26、 西 如以下圖是用模擬方法估量圓周率 P 表示估量結(jié)果,就圖中空白圖, 框 內(nèi)應(yīng)填入 GXRw1kFW5s A P 錯誤 . B P 錯誤 . C P 錯誤 . D P 錯誤 . 答案 D解讀 xi, yi 為 01 之間的隨機數(shù),構(gòu)成以 1 為邊長的正方形面, 當(dāng) x 錯誤 . y 錯誤 . 1 時,xi, yi均落在以原點為圓心,以 1 為半徑且在第一象 點 限 的 錯誤 . 圓 內(nèi) , 當(dāng) x 錯誤 . y 錯誤 . 1 時 對 應(yīng) 點 落 在 陰 影 部 分 中 如 圖 所 示 UTREx49Xj9 有 錯誤 . 錯誤 . ,N 4M M , 8PQN3NDYyPM N 4M, 錯誤

27、. . 二,填空題 每道題 5 分,共 15 分 10 / 12 第 10 頁,共 12 頁4在區(qū)間 0,1 上任憑選擇兩個實數(shù) x,y,就使 錯誤 . 1 成立的概率 mLPVzx7ZNw 錯誤 . 1,即 x 2 ,故所求概率為 為 答案 錯誤 . 解讀 D 為直線 x 0, x 1, y 0, y 1 圍成的正方形區(qū)域,而由 y 2 1x0 , y0 知 d 為單位圓在第一象限內(nèi)部分 四分之一個圓 錯誤 . 錯誤 . .AHP35hB02d 5 2022 江 西 小波通過做玩耍的方式來確定周末活動,他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點,如此點到 圓心的距離大于 錯誤 . ,就周末去看電影；如此點到圓心的距離小于 錯誤 . ,就去