D6-4重積分的應(yīng)用課件

1、第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、立體體積 二、物體的質(zhì)心 三、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 四、物體的引力 作業(yè) 習(xí)題6.4 1(2), 2 ,3，4, 5，6，7方法：重積分的微元法重積分的微元法1 區(qū)域函數(shù)及其對(duì)域的導(dǎo)數(shù)：以平面區(qū)域上的質(zhì)量問(wèn)題來(lái)說(shuō)明問(wèn)題稱為區(qū)域函數(shù)在該點(diǎn)處對(duì)區(qū)域的導(dǎo)數(shù)。228稱為區(qū)域函數(shù)在該點(diǎn)處對(duì)區(qū)域的微分。2 變域上的重積分對(duì)域的導(dǎo)數(shù)： 類似定積分中變上限的定積分是被積函數(shù)的原函數(shù)一樣，二重積分的值隨積分區(qū)域的變化而變化，可以看作積分區(qū)域的函數(shù)，即由重積分的中值定理值知： 當(dāng)子域 的直徑d趨于0時(shí)，區(qū)域 收縮到一點(diǎn)(x, y)，從而由函數(shù)的連續(xù)性和區(qū)域函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義可得： 連續(xù)函數(shù)在變區(qū)域上的

2、二重積分作為區(qū)域函數(shù)，它在點(diǎn)（x,y）處對(duì)區(qū)域的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在該點(diǎn)的值。4284. 能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元法 分布在有界閉域上的整體量 6. 解題要點(diǎn) 畫(huà)出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 5. 用重積分解決問(wèn)題的方法 任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積 V . 解: 曲面的切平面方程為它與曲面的交線在 xoy 面上的投影為(記所圍域?yàn)镈 )在點(diǎn)例1. 求曲面例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為828將 分成 n 小

3、塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)1028同理可得則得形心坐標(biāo)：若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度 對(duì) x 軸的 靜矩 對(duì) y 軸的 靜矩1228例4. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為因此故自重, 求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為1428類似可得:對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體是平面薄

4、片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.1828例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解: 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例6.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 2028 G 為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為對(duì) xoy 面上的平面薄片D ,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為2228例8. 求半徑 R 的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解: 利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)2428為球的質(zhì)量提示:記雪堆體積