世界的本原及其數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)-數(shù)學(xué)作為一門橫斷科學(xué)的歷史溯源

1、世界的本原及其數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)作為一門橫斷科學(xué)的歷史溯源摘 要：探索世界的本原，始終貫穿于人類進(jìn)步的歷史中。泰勒斯提出“萬物源于水”，畢達(dá)哥拉斯 則認(rèn)為“萬物皆數(shù)”；中國先秦時(shí)期同樣產(chǎn)生了 “陰陽五行”、“太極八卦”等關(guān)于萬物本原學(xué)說，提出 了 “天人合一”的思想。哥白尼建立日心說之后，開普勒?qǐng)?jiān)信上帝是依照完美的數(shù)學(xué)原則創(chuàng)造世界的。“物 質(zhì)實(shí)體”加“形式法則”的模式是現(xiàn)代科學(xué)思維的核心特征，利用數(shù)學(xué)探索宇宙秩序與規(guī)律的傳統(tǒng)，堪稱 自然科學(xué)中最富有生命力的思想之一。數(shù)學(xué)作為一門橫斷科學(xué)，既是精確表述世間萬物的語言，也是探索 宇宙奧秘的鎖鑰。關(guān)鍵詞：世界本原；物質(zhì)實(shí)體；數(shù)學(xué)法則；橫斷學(xué)科；自然秩序探索

2、自然界的統(tǒng)一性這一崇高宗旨，始終貫 穿于人類進(jìn)步的歷史中。當(dāng)古希臘第一位思想家、 數(shù)學(xué)家泰勒斯提出“萬物源于水”這一反思世界 本原的命題之后，就開啟了人類認(rèn)識(shí)世界統(tǒng)一性 的大門。其中由畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)的利用數(shù)學(xué)探索 宇宙秩序與規(guī)律的思想，堪稱自然科學(xué)中最富有 生命力的成果之一。這一思想方法有著悠遠(yuǎn)的文 化背景與學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，回顧科學(xué)史上哲學(xué)、自然科 學(xué)家利用數(shù)學(xué)探討世界本原，揭示物質(zhì)實(shí)體與數(shù) 學(xué)法則的關(guān)系的種種努力，有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)作 為一門橫斷科學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。1探索世界的統(tǒng)一性一一萬物本原的猜測與追問在遠(yuǎn)古時(shí)期已有的神話、藝術(shù)和行為準(zhǔn)則的 背景下，西方世界最初試圖對(duì)宇宙的產(chǎn)生及其組 成等問題

3、，做出自然解釋的是被譽(yù)為科學(xué)之父的 古希臘哲學(xué)家泰勒斯。他所提出的“萬物源于水” 這一命題受到了后世學(xué)者的高度贊譽(yù)。對(duì)該命題 在哲學(xué)和科學(xué)史上的重大意義，M克萊因的評(píng)價(jià) 尤其精彩，他說道：與現(xiàn)代先進(jìn)的科學(xué)理論相比，泰勒斯這種對(duì) 自然現(xiàn)象的分析顯得幼稚、淺薄。但是，泰勒斯 和他的依奧尼亞學(xué)派的思想與前任思想相比， 有一個(gè)很大的進(jìn)步。至少這些人敢于探討宇宙， 拒絕借助于神、精靈、鬼魅、邪惡、天使，或 其他為具有理性思維的人不能接受的東西。他 們唯物的、客觀的解釋，摒棄了神秘的、超自 然的因素，而且他們的理性判斷方法，使那些 怪誕的、經(jīng)不起推敲的詩意般的解釋信譽(yù)掃地。 深邃的直覺洞察到了宇宙的本質(zhì)，

4、而理性卻保證 了這種洞察力。1 74-75繼泰勒斯之后的古希臘哲學(xué)家阿那克西美尼 則主張“氣本原說”；赫拉克利特倡導(dǎo)“火為萬 物之原”；恩培多克勒提出火、氣、水、土四元 素為萬物之本的“四根說”。古希臘哲人對(duì)宇宙 人生窮根究底、堅(jiān)持不懈的追問與反思，無一不 是為了揭示自然界復(fù)雜現(xiàn)象和多樣事物背后的統(tǒng) 一性本原。瓦托夫斯基指出，這些探索者的最重 要的方法論論點(diǎn)是：“事物多樣性是由一個(gè)統(tǒng)一 的原理安排的，或者說，是由某種統(tǒng)一的質(zhì)料派 生出來的”。2與上述各派哲學(xué)家尋找某種物質(zhì)元素作為自 然本原有所不同，畢達(dá)哥拉斯另辟蹊徑，提出了 “萬 物皆數(shù)”的主張。據(jù)說其學(xué)派成員的誓詞是：“謹(jǐn) 以賦予我們靈魂的

5、四象之名宣誓，長流不息的自 然的根源包含于其中。”他們認(rèn)為自然是由點(diǎn)、 線、面和體四種幾何元素組成的，因此1、2、3、 4這四個(gè)數(shù)叫“四象”，受到特別的重視。后來亞 里士多德則改為強(qiáng)調(diào)土、氣、火、水四種物質(zhì)元 素為萬物的始基。文德爾班說：“畢達(dá)哥拉斯對(duì) 世界本原的解答，比米利都學(xué)派的解答更抽象， 比埃利亞學(xué)派更直觀、更明確，比赫拉克利特更 清楚，但比居間派提供的解答更難理解?！彼麄儭盎?于無限的東西所受到的數(shù)字上的限制，基于從空 間中形成形式”，將“數(shù)學(xué)形式當(dāng)作了物理現(xiàn)實(shí) 的本質(zhì)”。3 67-68在研究自然的變化與萬物的統(tǒng)一性過程中， 最終由留基伯和德謨克利特集諸家之大成，創(chuàng)立 了 “原子論”

6、，達(dá)到了古希臘自然哲學(xué)的頂峰。 從此如何將“多”統(tǒng)一成“一”，就成了學(xué)者們 追求的遠(yuǎn)大目標(biāo)。文德爾班寫道：正是這種對(duì)自然界作客觀的思考才使思維初 步升華到科學(xué)概念結(jié)構(gòu)的水平。其結(jié)果是，希臘 科學(xué)將它的整個(gè)青春的歡樂和旺盛的知識(shí)首先貢 獻(xiàn)給了自然界問題。形成了基本概念或者思 想模式。3 40中國先秦時(shí)期也產(chǎn)生了獨(dú)樹一幟的“陰陽五 行”、“太極八卦”等關(guān)于萬物本原學(xué)說。提出了 “天 人合一”的思想。中華文明同樣認(rèn)為“上自天文、 下及地理，中于人事之得失，于萬物之幽深玄遠(yuǎn)、 出入潛沒，莫不有數(shù)存焉”。4 “天人合一”學(xué)說, 將天、地、人三者視為一個(gè)統(tǒng)一的整體。由此產(chǎn) 生了一種基本觀念，即整個(gè)宇宙存在

7、著一種統(tǒng)一 的力量或法則，無論天上、地下和人間都受其支 配。這種宇宙人生的最高主宰在商周時(shí)期曾被認(rèn) 為是“天帝”或“上帝”，但到了春秋戰(zhàn)國時(shí)期， 在陰陽五行家眼中它就是一種自然法則。呂氏 春秋-知分提出：凡人物者，陰陽之化也。陰陽者，造乎天而 成者。天固有衰噪廢伏，有盛盈食息；人亦有困 窮屈匱，有充實(shí)達(dá)遂；此皆天之容、物理也，而 不得不然之?dāng)?shù)也。呂氏春秋貴當(dāng)又說：“因其固然而然 之，此天地之?dāng)?shù)也”。由于數(shù)學(xué)的正確運(yùn)算，結(jié) 果都必定是一樣的，因而古人認(rèn)為“天數(shù)”具有 控御萬物的必然性。荀子曰：“兩貴之不能相事， 兩賤之不能相使，是天數(shù)也?！保ㄜ髯油踔疲?仲秋亦云：“凡舉事無逆天數(shù)，必順其時(shí)”。數(shù)

8、的必然性也被用來說明社會(huì)人生的各個(gè)方 面。如對(duì)棋手而言有：“奕之為數(shù)也” o （孟子-告 子）百工技藝也需要做到心中有“數(shù)”：“斷輪 有數(shù)存焉于其間。（莊子天道）用于算命 則有卜筮之?dāng)?shù)：“賈誼曰試之卜數(shù)中以觀采 （史記日者列傳）諸如此類的還有“歷數(shù)”、 “地?cái)?shù)”、“命數(shù)”、“禮數(shù)”、“勝數(shù)”等等。明朝數(shù)學(xué)家程大位總結(jié)說：“凡天宮、地員、 律歷、兵賦以及纖悉秒忽，莫不有數(shù)” o即天文歷法、 地理、軍事、賦稅和度、量等事物中都存在著數(shù) 學(xué)關(guān)系?！叭f物皆數(shù)”不僅包含了宇宙的統(tǒng)一性， 而且也奠定了數(shù)學(xué)自身的統(tǒng)一性基礎(chǔ)。簡而言之， 從古到今，東、西方哲人所作的種種嘗試和不懈 努力都是想要建立一種統(tǒng)一的宇

9、宙理論。2自然的奧秘與法則宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)雖然東、西方哲人都在探索和思考主宰天地 萬物的原則，而且建立了各具特色的學(xué)說，但現(xiàn) 代科學(xué)的精神卻與希臘哲人的氣質(zhì)更加契合。法 國天文學(xué)家伏古勒爾說：人類的思想方法，驟然 改變?yōu)槔硇缘?，因此被叫做“希臘人的奇跡”； 文化的演進(jìn)由追求實(shí)際，產(chǎn)生了 “工作的人”，到 追求理論更產(chǎn)生了 “智慧的人”。這種根本改變， 原因雖不得而知但結(jié)果卻異常重要，因?yàn)樗坏l(fā) 展了天文學(xué)，而且整個(gè)西方文化都從這里產(chǎn)生。5 總體而言，除古希臘文明及其繼承者外，其他幾 個(gè)古老的文明中心都未能孕育出具有現(xiàn)代精神實(shí) 質(zhì)的數(shù)理科學(xué)。古希臘哲人始終秉持宇宙是一個(gè)統(tǒng)一而簡單 的偉大設(shè)計(jì)這一

10、信念。他們堅(jiān)稱人類是通過理性， 而不是感官獲得自然知識(shí)的。阿拉克薩哥拉的名 言：“理性統(tǒng)治著世界”表達(dá)了這種觀點(diǎn)的精髓。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信萬物之間的關(guān)系都可以歸結(jié) 為整數(shù)與整數(shù)之比，數(shù)是現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)，是嚴(yán)整性 和次序的根據(jù)，萬物的實(shí)質(zhì)是仿效著數(shù)做出來的。 世界由造物者按照數(shù)學(xué)法則設(shè)計(jì)這一思想，開啟 了人類用數(shù)學(xué)對(duì)天地萬物進(jìn)行統(tǒng)一性研究的大門o 經(jīng)柏拉圖發(fā)揚(yáng)光大，宇宙是一種幾何結(jié)構(gòu)的觀念 兩千年間已成了歐洲天文學(xué)研究的指導(dǎo)原則。對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派而言，數(shù)學(xué)無疑具有最明 顯的哲學(xué)品質(zhì)，數(shù)學(xué)被賦予了探索真理和證明真 理的雙重任務(wù)。亞里士多德在形而上學(xué)一書 中總結(jié)了該學(xué)派對(duì)數(shù)與世界關(guān)系的認(rèn)識(shí)時(shí)寫道:他們

11、認(rèn)為，在數(shù)目中觀察到比火、土、水中 更多的與存在著和生成著東西的相似之點(diǎn)。此外，由于他們看到和聲的比例和屬性是在數(shù)目 之中，所以就認(rèn)為，其它的那些東西的全部本性 也是由數(shù)目塑造出來的，他們認(rèn)為在整個(gè)自然界 中數(shù)目是最初的，數(shù)目的元素也就是所有存在物 的元素。整個(gè)的天是和諧的，是數(shù)目。6畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是理解世界的基礎(chǔ)， 數(shù)揭示了事物的真正本質(zhì)，物質(zhì)的最終結(jié)構(gòu)或存 在就是它的數(shù)學(xué)形式。只要掌握了數(shù)之間的關(guān)系 或比例，自然界就是合乎理性的。羅素說：“數(shù)學(xué), 在證明式的演繹推理意義上的數(shù)學(xué)，是從他開始 的；由于他的緣故，數(shù)學(xué)對(duì)于哲學(xué)的影響一 直都是既深刻又不幸的。公元前3世紀(jì)后，希 臘數(shù)學(xué)思想

12、一度出現(xiàn)了從哲學(xué)數(shù)學(xué)向科學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn) 化的趨勢(shì)。丹皮爾寫道：哥白尼與刻卜勒雖然仍在數(shù)學(xué)的和諧中尋找 最后因，并且在牛頓的時(shí)代以后很久，這個(gè)思路 還是存在著，往往以為在每個(gè)現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)方 式從量上加以表示以后，這個(gè)現(xiàn)象就算既得到了 科學(xué)上的解釋，也得到了哲學(xué)上的解釋了。8從哥白尼、牛頓到愛因斯坦，許多科學(xué)家都 在不斷追求事物之間簡單、有序與和諧的關(guān)系， 并努力以精確定量的方式來建立統(tǒng)一的理論。例 如一旦形成了萬有引力的概念，宇宙間就沒有牛 頓定理不起作用的地方。萬有引力定理導(dǎo)致了后 來一系列天文學(xué)上的新發(fā)現(xiàn)。愛因斯坦說：從那些看來同直接可見的真理十分不同的各 種復(fù)雜的現(xiàn)象中認(rèn)識(shí)到它們的統(tǒng)一性，那是

13、一種 壯麗的感覺。9萬有引力理論的普遍性達(dá)到了宇宙的邊緣， 從蘋果到月亮，從太陽到星系，凡有引力參與的 一切復(fù)雜現(xiàn)象，無一不可歸結(jié)到這條簡潔而令人 驚嘆的定理之中。正如李約瑟所言：“主張一個(gè) 木球和一個(gè)不知道由什么物質(zhì)組成的星星之間的 共同之處，要比一個(gè)球的不同性質(zhì)之間的共同之 處要多得多。這種假說必須是數(shù)學(xué)上的假說，這 點(diǎn)極其重要?！钡牧钊擞∠笊羁痰氖请妼W(xué)中的庫侖定律F=k . 紋，就其數(shù)學(xué)形式而言與萬有引力公式 r2極為相似。事實(shí)上，庫侖正是受到萬有引力定律 的啟發(fā)，才產(chǎn)生了電荷之間的吸引力與電量成正 比的設(shè)想。當(dāng)時(shí)還沒有電荷的量度定義，直接用 庫侖定律定義電荷量度的思想是由數(shù)學(xué)家高斯提

14、供的。對(duì)此，有學(xué)者指出：“至于電磁的來源， 同引力的來源一樣不予思考。既然從經(jīng)驗(yàn)中已經(jīng) 歸納出它們的數(shù)學(xué)形式，靜電與靜磁的科學(xué)研究 就已經(jīng)完成了?！笨诤髞恚瑢W(xué)者們還發(fā)現(xiàn)諸如人 口流動(dòng)、國際貿(mào)易等都有著與萬有引力相互作用 類似的規(guī)律，故而在社會(huì)科學(xué)中建立了許多“引 力模型”來描述人類活動(dòng)的某些行為。3天體的音樂數(shù)量比例與宇宙和諧算術(shù)、幾何、音樂、天文學(xué)在古希臘被認(rèn)為 是超然于塵世的“自由藝術(shù)”，在畢達(dá)哥拉斯學(xué) 校里，這四門學(xué)科被列為基本課程,統(tǒng)稱為“四藝”。 對(duì)此，弗賴登塔爾說：mathematics 一詞看來是一個(gè)復(fù)數(shù)名詞。的確，在很久以前它確實(shí)表示復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)曾經(jīng) 是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)

15、和音樂，處于 一種比語法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地 位。12M克萊因指出：“那些堅(jiān)信數(shù)學(xué)僅僅具有使 用價(jià)值的學(xué)者，經(jīng)常自以為是地認(rèn)為，歷史上的 數(shù)學(xué)活動(dòng)靠實(shí)際需要的推動(dòng)，不可能存在什么來 自邏輯的推動(dòng)（理論的推動(dòng)）。在大海中迷 航的水手，絕不會(huì)突然意識(shí)到觀察星星可以解決 他的航海問題?！彼f：在天文學(xué)和數(shù)學(xué)用于計(jì)算歷法和航海之 前，那時(shí)的人類受不可抑制的哲學(xué)精神的驅(qū) 使，耐心地觀察太陽、月亮和星星的運(yùn)行。終于從他們的觀察中畫出了天體運(yùn)行的圖像。1 17中國天文學(xué)家陳遵媯也認(rèn)為：“至于航海的 需要，對(duì)我國天文學(xué)的發(fā)展，似乎沒起過什么促 進(jìn)作用。”13對(duì)于絕大多數(shù)純粹的數(shù)學(xué)家而言， 他們工作

16、的最終目標(biāo)在于揭示數(shù)學(xué)世界的奧秘， 至于其結(jié)果是否有用以及如何應(yīng)用，似乎并不是 他們關(guān)心的主要問題。何為科學(xué)真理一書的 作者寫道：希臘人稱奧菲士懷著這樣的感情彈奏豎琴， 連野獸都會(huì)被他馴服。他們沒有提到他是為了做 一名訓(xùn)獅員才獲得這一才能的。14布羅諾夫斯基說：“威力只是認(rèn)識(shí)的副產(chǎn)物?！?同樣，中國的庖丁其游刃有余的解牛技藝達(dá)到了 “依乎天理”的高度，面對(duì)這種由“技”至“道” 的境界，沒有人會(huì)認(rèn)為他只是一個(gè)屠戶！畢達(dá)哥拉斯將天文學(xué)和音樂“歸結(jié)”為數(shù)， 他認(rèn)為算術(shù)是研究絕對(duì)的不連續(xù)量；音樂（實(shí)為 樂理）研究相對(duì)的不連續(xù)量；幾何研究靜止的不 連續(xù)量；天文研究運(yùn)動(dòng)的連續(xù)量。到了中世紀(jì)， 算術(shù)、幾何、

17、音樂、天文加上文法、修辭和邏輯， 便構(gòu)成了歐洲教育史上著名的“七藝”。無獨(dú)有偶， 中國也有古代文人“四藝”（棋、琴、書、畫）， 貴族“四術(shù)”（詩、書、禮、樂），儒家“六藝” （禮、樂、射、御、書、數(shù)）等教學(xué)內(nèi)容。羅素認(rèn)為：“數(shù)學(xué)里的調(diào)和中項(xiàng)與調(diào) 和級(jí)數(shù)就仍然保持著畢達(dá)哥拉斯為音樂和數(shù)學(xué) 之間所建立的那種聯(lián)系?！敝阅馨岩魳窔w結(jié) 為數(shù)與數(shù)之間的簡單關(guān)系，是因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了下 列兩個(gè)事實(shí)：第一，弦所發(fā)出的聲音取決于弦的 長度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另 一根的兩倍，就會(huì)產(chǎn)生諧音。普希金曾在一首詩 中寫道：我用代數(shù)檢驗(yàn)了和諧我們就相互理解了 15古希臘哲學(xué)家不僅“聲言隱藏在自然界不斷 變化

18、的萬象之下的真實(shí)性是可用數(shù)學(xué)來表示的， 而且認(rèn)為這個(gè)世界上所發(fā)生的一切是由數(shù)學(xué)規(guī)律 嚴(yán)格確定了的?！泵笕R布尼茲在1712年致霍爾巴 赫的信中說：音樂是不知道自己在演算自己的思 維的算術(shù)練習(xí)。詹姆斯寫道：對(duì)于柏拉圖、西塞羅和經(jīng)院哲學(xué)學(xué)者們來說， 天體的音樂相當(dāng)真實(shí)（即使我們知道沒有人聽到 過它），但是，它僅包含音階。我們知道，和諧 的古典概念是連續(xù)的；和諧被人們理解為兩個(gè)聲 調(diào)之間的抽象關(guān)系而不是耳朵所能聽到的一個(gè)單 一的一致。17 134無論是音調(diào)、音色還是和聲，都可以利用數(shù) 學(xué)對(duì)其進(jìn)行測量和分析。音律的計(jì)算在中國同樣 受到高度的重視，而且歷史更為悠久。據(jù)先秦古 籍世本載：“黃帝使羲和占日，常

19、儀占月，臾 區(qū)占星氣，伶?zhèn)愒炻蓞?，大撓作甲子，隸首作算術(shù), 容成綜此六術(shù)而著調(diào)歷”。可見，占卜、樂律、 天文、計(jì)量、算學(xué)在中國古代同樣也是被當(dāng)作關(guān) 系密切的學(xué)科群，但卻統(tǒng)一于“歷學(xué)”名下。尚 書堯典說：“協(xié)時(shí)月正日，同律度量衡”的記載。 呂氏春秋大樂亦云：“音樂之所由來者遠(yuǎn)矣。 生于度量，本于太一?！闭阉^“生于度量”即 指律管的長度、容積等數(shù)量關(guān)系。大戴禮記載： 截十二管，以定八音之上下清濁，謂之律。 律居陰而治陽，歷居陽而治陰，律歷疊相治也， 其間不容發(fā)。我國早在西周時(shí)期已掌握了十二律（陰陽各 六）和七聲音階的知識(shí)。月令章句說：“古 之為鐘律者，以耳齊其聲。后不能，則假數(shù)以正 其度，度數(shù)正

20、則亦正矣?！钡搅舜呵飼r(shí)期則使用“三 分損益法”確定律管長度與音調(diào)的關(guān)系。所謂“三 分損”，即在制定“六律”的過程中，將律管的 長度變?yōu)樵鹊?/3；“三分益”則是其將長度變?yōu)樵瓉淼?/3。史記律書中對(duì)此有詳細(xì)記載: 九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為征。 三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以 為羽。三分益一，六十四以為角。據(jù)考古研究，中國樂律的起源至少可以追索 至距今8000多年前。河南舞陽賈湖遺址出土了 25 件距今8000多年的骨笛（丹頂鶴尺骨），可分為 五孔、六孔、七孔和八孔笛，其制作都是經(jīng)過了 精心的計(jì)算。在中國國家博物館收藏的一只骨笛 上還保留了當(dāng)時(shí)開孔時(shí)的設(shè)計(jì)刻痕，可以明

21、顯看 出設(shè)計(jì)修改的過程。19馮時(shí)指出：“實(shí)際測音的 結(jié)果顯示，所存律管已備八律，且音孔設(shè)計(jì)之計(jì) 算方法顯然已涉及到復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，足以證明 其時(shí)算數(shù)之學(xué)已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)高的水平?！?0正 是樂律、歷法、數(shù)學(xué)、天文的完美結(jié)合形成了中 華文明極富特色的“律歷合一”思想。明朝學(xué)者朱載堉被公認(rèn)為中國“律歷合一” 學(xué)說的集大成者。他在算學(xué)新說序中寫道：“所 撰新說凡四種，一曰律學(xué)，二曰樂學(xué)，三曰算學(xué)， 四曰韻學(xué)，前二者其書之本原，后二者其書之支 派。所以羽翼其書也。”朱載堉首創(chuàng)十二平均律， 取122為公比，使得相鄰兩律間的頻率完全相等， 這一發(fā)現(xiàn)比歐洲早了半個(gè)世紀(jì)。今天對(duì)于音樂與 數(shù)學(xué)是一對(duì)攣生姊妹的看法

22、，不僅中國人感到匪 夷所思，就連歐洲人也難以理解。杰米詹姆斯 寫道：音樂和科學(xué)之間相交叉的領(lǐng)域，在西方文明 開始的地方開始，當(dāng)時(shí)兩者曾被如此深深地認(rèn)同， 以至任何認(rèn)為在它們之間有什么本質(zhì)區(qū)別的人都 被看作是毫無知識(shí)的人，而到了今天，當(dāng)有人提 出它們之間有什么相同的地方的時(shí)候，就會(huì)冒被 些人貼上俗人而被另一些人貼上業(yè)余藝術(shù)愛好 者標(biāo)簽的危險(xiǎn)并且，最該詛咒的是，兩者都 是大眾化的人。17 1畢達(dá)哥拉斯學(xué)派堅(jiān)信行星運(yùn)動(dòng)也受數(shù)學(xué)關(guān)系 的支配。他們認(rèn)為運(yùn)動(dòng)得快的物體，將比運(yùn)動(dòng)得 慢的物體發(fā)出更高的音。行星離地球越遠(yuǎn)，則運(yùn) 動(dòng)得越快，因此行星發(fā)出的聲音與其到地球的距 離有關(guān)。美國數(shù)學(xué)家和科學(xué)史家卡約里說：

23、畢達(dá)哥拉斯關(guān)于和聲和音階的思辨是不受對(duì) 實(shí)驗(yàn)深入探索的約束的。7顆行星是七弦琴的7根 弦，他給我們一種美麗的“天體和諧”。這種思 想不是作為詩歌而是作為物理哲學(xué)提出來的。人 們的耳朵不能聽見這種行星間的音樂事實(shí)，似乎 并未減少對(duì)它存在的信念。21既然行星在宇宙空間運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)出和諧的“聲 音”，那么它們離地球的遠(yuǎn)近也必然符合相應(yīng)的 比例，這就是西方著名的“天體和聲”的典故。哥白尼建立日心說之后，開普勒?qǐng)?jiān)信上帝是 依照完美的數(shù)學(xué)原則創(chuàng)造世界的，他曾利用5種 正多面體之間的幾何關(guān)系來表示當(dāng)時(shí)所知六大行 星的軌道半徑。天空中剛好有5顆行星，而幾何 學(xué)中也只有5種正多面體，若將它們的內(nèi)切與外 接球結(jié)合起

24、來，正好可以形成六個(gè)同心球相互嵌 套的結(jié)構(gòu)（太陽位于球心）。盡管開普勒的模型 被天文觀測證明是錯(cuò)誤的，但他高超的數(shù)學(xué)才能 和奇特的創(chuàng)意，卻引起了天文觀測家第谷的注意， 并邀請(qǐng)他做助手。這正是后來開普勒得以發(fā)現(xiàn)行 星運(yùn)動(dòng)“三大定律”的契機(jī)。天體“和諧運(yùn)動(dòng)”的思想，兩千多年間始終 激勵(lì)著無數(shù)西方學(xué)者的好奇心。直到18世紀(jì)后期 德國學(xué)者提出的“提丟斯一波得定則”，依然引 起了眾多科學(xué)家的關(guān)注與爭論。據(jù)說提丟斯在給 學(xué)生講授各大行星到太陽的平均距離時(shí)，同學(xué)們 總是記不住，他便想出了如下辦法，取數(shù)列：0， 3， 6， 12， 24， 48， 96， 192，將其中的每一項(xiàng)加上4,再除以10，便得到 各個(gè)

25、行星到太陽的平均距離（天文單位）：0.40.71.01.62.85.210.019.6水星金星地球火星？木星 土星？1872年德國柏林天文臺(tái)臺(tái)長波德將它公開發(fā) 表。因此稱為“提丟斯一波得定則”。就在該法 則公布不久，天文學(xué)家赫歇爾發(fā)現(xiàn)了天王星（距 太陽19.2個(gè)天文單位），皮亞齊發(fā)現(xiàn)了位于小行 星帶上的第一顆天體一谷神星（高斯利用自己 發(fā)明的“最小二乘法”計(jì)算出其軌道半徑距太陽 約為2.77個(gè)天文單位）。令人驚奇的是它們的位 置都與提丟斯法則所預(yù)言的極為吻合，故而引發(fā) 了學(xué)者們的極大興趣。4物質(zhì)實(shí)體與數(shù)學(xué)的關(guān)系一示自然秩序的鎖鑰早期希臘自然哲學(xué)提供了科學(xué)思想的兩大傳 統(tǒng)：一個(gè)是由泰勒斯開創(chuàng)的實(shí)

26、體論構(gòu)成綱領(lǐng)；另 一個(gè)是由畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)的結(jié)構(gòu)論的形式主義研 究綱領(lǐng)。泰勒斯的名言是“萬物源于水”，這個(gè) 看似平凡的說法包含著科學(xué)思想的精髓。首先， 它表現(xiàn)了對(duì)世界統(tǒng)一性的把握；其次，它指出了 把握世界統(tǒng)一性的方式在于找出其“始基”。在 這個(gè)綱領(lǐng)之下，古希臘人分別找出了水、火、氣、 土作為萬物構(gòu)成的基礎(chǔ)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為正 是數(shù)量上的差異和幾何結(jié)構(gòu)上的差異導(dǎo)致了事物 本質(zhì)的不同，因?yàn)槭蓟肋h(yuǎn)是均勻同一的，即使 找到了也無法解釋自然界中復(fù)雜多樣的事物；而 數(shù)學(xué)形式本身即具有無窮多的樣式，用它來描述 萬物的不同，則不存在本質(zhì)的困難，更具說服力。 正如塞路蒙波克納所言：無論數(shù)學(xué)的出現(xiàn)多么神秘，數(shù)學(xué)

27、確實(shí)是最先 出現(xiàn)的理性知識(shí)，這是整個(gè)西方文明的一個(gè)有意 義的特性。22據(jù)普羅克拉斯說：“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把數(shù)學(xué) 研究變成一種自由教育的形式，從頭來檢驗(yàn)它的 原理?！彼麄儶?dú)立地、系統(tǒng)化地在數(shù)學(xué)中運(yùn)用推 理證明的邏輯方法，證明了平面幾何、立體幾何、 算術(shù)及數(shù)論中的基本定理，從而使數(shù)學(xué)理論從諸 如大地測量、計(jì)算這樣的實(shí)踐活動(dòng)中分離出來。 數(shù)學(xué)定理的證明開辟了人類思維用抽象概念進(jìn)行 論辯和演繹的一個(gè)全新領(lǐng)域。古希臘數(shù)學(xué)家所要 建立的是受到普遍論證支持，范圍廣泛、條理清 晰的理論。譬如我們說數(shù)學(xué)中的某一陳述是真的 （三角形內(nèi)角和等于180度），與日常生活中說 某一具體事物是真的（泰勒斯是哲學(xué)家），這兩 者

28、無論思維方式還是認(rèn)識(shí)意義都是有所不同的。留基伯和德謨克利特相信所有物質(zhì)都由原子 組成，原子作為構(gòu)成物質(zhì)實(shí)體的基本單元是不可 分割的、極小的、數(shù)目無限的微粒，這些微粒有 大小、形狀和重量三種屬性。原子論者贊同用形 和數(shù)的關(guān)系對(duì)自然進(jìn)行解釋，他們同樣宣稱世界 所發(fā)生的一切是由數(shù)學(xué)定律嚴(yán)格決定的。該學(xué)派 關(guān)于宇宙本原及數(shù)學(xué)無限性問題的探討，對(duì)后世 也產(chǎn)生了較大的影響。亞里士多德認(rèn)為：甚至更早的時(shí)候，所謂畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人 與留基伯和德謨克利特同時(shí)從事數(shù)學(xué)研究，并且 第一個(gè)推進(jìn)了這一個(gè)知識(shí)部門。他們把全部時(shí)間 用在這種研究上，進(jìn)而認(rèn)為數(shù)學(xué)的始基就是一切 存在物的始基。23作為物質(zhì)微粒的點(diǎn)與數(shù)學(xué)的點(diǎn)當(dāng)然

29、不同，但 是“原子論綱領(lǐng)”的一個(gè)更重要方面是宏觀層次 的質(zhì)變還原為原子層次的量變。因此，當(dāng)原子論 者企圖解釋“數(shù)學(xué)量”的變化時(shí)，就會(huì)以數(shù)學(xué)原 子的形式,通過它的量變來加以回答。據(jù)說德謨克 利特曾經(jīng)利用原子論思想，將整體分割成微小的 部分，再以這些微小的部分相加得到整體的研究 方法，求出一些空間幾何圖形的體積。例如，他 曾將圓錐看作是一系列不可分割的薄層疊加而成, 從而發(fā)現(xiàn)其體積為同底等高圓柱體的三分之一。 瓦托夫斯基指出：“沿著原子論方向的這些物理 思辨被一種數(shù)學(xué)傳統(tǒng)所補(bǔ)充，該傳統(tǒng)以一種在結(jié) 構(gòu)上更為精致的方式來表述原子論。在這一出自 畢達(dá)哥拉斯學(xué)說的傳統(tǒng)中，這些元素并不被當(dāng)作 是可以理解或感覺的物質(zhì)實(shí)體；而被認(rèn)為是概念 上的存在，思維的對(duì)象?！备ダ饰魉古喔f：“應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)自然的 探究如果始于物理學(xué)而終于數(shù)學(xué)，那就會(huì)有最好 的結(jié)果?！鼻敖茖W(xué)正是在追求自然界的數(shù)學(xué) 規(guī)律中取得長足進(jìn)步的，可以說，許多重大的成 就都是由于發(fā)現(xiàn)了或運(yùn)用了新的數(shù)學(xué)規(guī)律才取得 的。M 克萊因?qū)懙溃合ＥD人對(duì)了解自然界有那么一股迫切而不可 遏制的愿望，推動(dòng)他們創(chuàng)造和看重?cái)?shù)學(xué)。數(shù)學(xué)是 對(duì)自然界進(jìn)行研究的本身工作之一，是了解宇宙 的鑰匙，因?yàn)閿?shù)學(xué)規(guī)律是宇宙布局的精髓。正是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)模型的“理想化”觀點(diǎn)， 促進(jìn)了古希臘經(jīng)典力學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展，也為后 來文藝復(fù)興時(shí)期的科學(xué)和技術(shù)取得進(jìn)步奠定了基 礎(chǔ)。其實(shí)，