高考圓錐曲線典型例題(必考)

1、 (A) 12(B)(C)(D) 【答案】x5【 2012 高考四川理15】 橢圓4y 1 的左焦點為F ，直線 x m 與橢圓相交于點3A、 B ，當 FAB6【 2012 高考江西理FAB 的面積是13】 橢圓2x2a2y21(a b 0) 的左、右頂點分別是b2A,B, 左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若AF1 ，F(xiàn)1F2F1B 成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為例4】 【解析】( )：( )易得直線OP 的方程：yx，設1A(xA， yA)， B(xB， yB )， R(x0， y0) 其中y0 x022+ yA3xB2yB2+yAyBxAxB3 xAxB4yAyB3 2x04 2y0設 直

2、線 AB 的 方程為( 3m 2 )4 m32 (3)x+|AB|1kAB | xAxB|1kABP(2，1)到直線l 的距離表示為：31m (m 0) ， 入 橢 圓 ：4m32( 1 212 ) m 012 且 m 0由上又有：y33x m2xAxB m，(xA xB )2 4xAxB 1 kAB 4 m3m21k AB223x 3mx m 3 0yAyBm2 3顯然S ABP1 d|AB|21kAB4，即m3 或m 0(舍去)時，(SABP)max31 |m 2|4 m2 ，當 |m 2|23此時直線 l 的方程y3 x 1 224】 【解析】( 1 )設 ca2b2c 由e設 P(x,

3、y)是橢圓 C 上任意一點，則2x2ab21 ，所以 x| PQ |x2 (y 2)222a ，所以 3a2(122ac12a32y 222) a 3yba2 3y2 (y 2)22(y 1)2 a2 6當 b 1 時，當 y 1 時， | PQ | 有最大值 a2 63 ，可得 a 3 ，所以 b 1, c 2當 b 1 時， PQa2 63b2 6 3 不合題意故橢圓 C 的方程為：x y2132) AOB 中，OA OB 2) AOB 中，OA OB 1， S AOB 2OA OB1 sin AOB21當且僅當AOB 90 時， S AOB 有最大值，2AOB 90 時，點 O 到直線

4、AB 的距離為 d2d22m2 n2n2222又 m 3n 3 m32,n21，此時點2M( 6,2)9.2典例精析題型一雙曲線的定義與標準方程【例 1】 已知動圓E 與圓A： (x 4)2 y2 2 外切，與圓22跡方程 .【解析】x2 1y4 1(x2).雙曲線B： (x 4)2 y2 2 內(nèi)切，求動圓圓心E 的軌利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E 點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支22 TOC o 1-5 h z 【變式訓練1 】 P 為雙曲線x9 1y61 的右支上一點，M，N 分別是圓(x5) 要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方

5、程和幾何性質(zhì)，但應特別注意不同點，如a， b， c 的關(guān)系、漸近線等. 2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當 |PF1 要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，但應特別注意不同點，如a， b，c 的關(guān)系、漸近線等.2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當 |PF1| |PF2| 2a |F1F2|時，P 無軌跡 .3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：(x 5)2 y2 1 上的點，則|PM | |PN|的最大值為()A.6B.7C.8D.9【解析】選 D.題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運用【例2】雙曲線C：x2y

6、21(a0，b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C 上存在一點P，ab使 AP PQ 0，求此雙曲線離心率的取值范圍.【解析】(1，2(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.22【變式訓練2】 設離心率為e 的雙曲線C：xa2yb21(a0，b0)的右焦點為F，直線l 過焦點 F，且斜率為k，則直線l 與雙曲線C 的左、右兩支都相交的充要條件是()A. k2e21B. k2e21D. e2k2 1)的兩條直線l1 和 l2與軌跡E 都只有一個交點，且l1 l

7、2，求h 的值 .2【解析】(1)軌跡E 的方程為x2y21，x0且x2.(2)符合條件的h 的值為3或2.223】雙曲線a2yb21(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙A， B 兩點，若F1AB 是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于()A.1 2 2B.3 2 2C.4 2 2D.5 2 2【解析】故選 D（2）求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y bx，可將雙曲線方程設為x22 y22 （ 0， ）aab再利用其他條件確定 的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法練習x2231、 【 2012 高考山東理10】 已知橢圓C : 2 y21（a b

8、 0） 的離心學率為. 雙曲線 x2 y2 1 的漸a2b22近線與橢圓C 有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16 ，則橢圓C 的方程為A）8222xyB)11262 x C近線與橢圓C 有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16 ，則橢圓C 的方程為A）8222xyB)11262 x C)162 y1 4D）202y15【答案】D2直線y kx 2 與雙曲線151515C (3 ，30)x2 y2 6 的右支交于不同兩點，則15B （0，3 ）15D （ ，3k 的取值范圍是1)23.【 2012 23.【 2012 高考湖北理14】 如圖，雙曲線x2a2y21 （a,b

9、 0） 的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1 ， B2，b兩焦點為F1 ，F(xiàn)2 . 若以A1 A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A, B, C, D . 則S1S21S1;S2S2 的比值3】 由題意知|x1S1S21S1;S2S2 的比值3】 由題意知|x1|2， A1（2， 0）， A2（ 2， 0），則有直線A1P 的方程為y1x12（x2），直線A2Q 的方程為y y12（x2）.方法一：聯(lián)立解得交點坐標為xx2，yx2y1，即x1x2，y1x2y，則x0，22而點P（x1， y1）在雙曲線2 y2 1 上，所以21 y12 1.2將代入上式，整理得所求軌跡E 的方

10、程為x2 y2 1， x0且x2.|x| 1)，2聯(lián)立x2 y2 1 得 (1 2k2) x2 4khx 2h2 2 0.令 16k2h24(12k2)(2h22)0，得h21 2k20，h2 1h 2 1h2 1解得k1 2 ，k22.由于l1l 2，則k1k22 1，故h3.hh過點A1，A2分別引直線l1，l2通過 y 軸上的點H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h(h)1 ，得 h2.此時，l1， l2的方程分別為y x2與 yx2，它們與軌跡E 分別僅有一個交點(32， 232)與 (32， 232).所以，符合條件的h 的值為3或2.【變式訓練3】據(jù)題意設|AF1| x

11、，則|AB| x， |BF1|2x.由雙曲線定義有|AF1| |AF2| 2a， |BF1| |BF2| 2a? (|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)( 21)xx4a，即x22a|AF1|.故在Rt AF1F2中可求得|AF2|F1F2|2 |AF1|24c2 8a2.c2 TOC o 1-5 h z 又由定義可得|AF2|AF1|2a2 2a 2a，即4c28a2222a，兩邊平方整理得c2a2(52 2)?a2e2522，9.3拋物線典例精析題型一拋物線定義的運用【例 1】 根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程.(1)拋物線過點P(2，4)；(2)拋物線焦點F 在 x 軸上，直線y3

12、 與拋物線交于點A， |AF| 5.【解析】(1)y2 8x 或x2y.(2)方程為y2 2x 或 y2 18x.【變式訓練1】 已知 P 是拋物線y2 2x上的一點，另一點 A(a,0) (a 0)滿足|PA| d， 試求 d的最小值.【解析】dmin2a 1.題型二直線與拋物線位置討論【例2】 (2010 湖北)已知一條曲線C 在 y軸右側(cè)，C 上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是 1.(1)求曲線C 的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C 有兩個交點A， B 的任一直線，都有FA FB 0).(2)3 2 2 m 3 2 2.由此可知，存在正數(shù)m，

13、對于過點M(m,0)且與曲線C 有兩個交點A， B 的任一直線，都有FA FB 0)的焦點的直線交拋物線于A、|AB| x1 x2 p 或 |AB|2p2 （ 為 AB 的傾斜角）， y1y2sin 2 p2， x1x2 p4等練習1.【 2012 高考全國卷理8】 已知F1、 F2為雙曲線C： x2-y2=2 的左、右焦點，點P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，則 cos F1PF2=(A) 1( B) 3(C) 3(D) 4 【答案】C45452【. 2012 2【. 2012 高考安徽理9】 過拋物線y2 4x的焦點 F 的直線交拋物線于A, B 兩點， 點 O 是原點， 若 AF

14、 3 ，則 AOB 的面積為（）2223 22223 222 2 【答案】 C TOC o 1-5 h z 【例 3】 證明：如圖，設A（x1, 2x12），B（x2, 2x22），把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，kx x kk k2由韋達定理得x1x22，x1x21 ，所以xNxM2 4，所以點N 的坐標為（4，8）.k2kmk k2設拋物線在點N 處的切線l 的方程為yk8m（xk4），將y2x2代入上式，得2x2mxm4kk80，mk k2因為直線l 與拋物線C 相切，所以 m28（ 4 8 ）m22mkk2（mk）20，所以mk，即l AB.(2)假設存在實數(shù)k，使NA NB

15、 0，則NA NB，又因為 M 是 AB 的中點，所以|MN |1 |AB|.21111 k2k2k2k2 k2 16 TOC o 1-5 h z 由(1)知yM1(y1y2)1(kx12kx22)1k(x1x2)41(k4)k 2.因為MNx軸，所以|MN|yMyN|k 2 k k .222224488又|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2) 24x1x21k2(k2)24(1)21k21k216.所以k281641k21k216，解得k 2.即存在k2，使NA NB 0.9.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例精析題型一直線與圓錐曲線交點問題【例 1】 若曲線y2 ax與直線y （a1）

16、x 1 恰有一個公共點，求實數(shù)a 的值 .【解析】綜上所述，a 0 或a1 或a4.5【點撥】本題設計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a 0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù) a 1 0，即a1 的可能性，從而漏掉兩解. 本題用代數(shù)方法解完后，應從幾何上驗證一下：當a TOC o 1-5 h z a0 時，曲線y2ax，即直線y0，此時與已知直線yx1 恰有交點（1,0） ；當a1 時，直線y1 與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點（ 代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零） ；4當a5時直線與拋物線相切1】 若直線y kx 1 與雙曲線x2 y2 4 有且只有一個公共點，則實

17、數(shù) k 的取值范圍為（5A.1 ，5A.1 ，1，2 ，5255B.(，2 2 ，)C.( C.( ，11 ，)5D.( ，1) 2 ，)答案為 A.題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題22【例2】(2010 遼寧)設橢圓C：x2y21(ab0)的右焦點為F，過 F 的直線 l 與橢圓 C 相交于A，Bab兩點，直線l 的傾斜角為60， AF 2 FB .(1)求橢圓 C 的離心率；15(2)如果 |AB| 145，求橢圓C 的方程 .【解析】(1)e c 2.(2) x y 1. TOC o 1-5 h z a3 95【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方

18、程.【變式訓練2】 橢圓ax2 by2 1 與直線 y 1 x交于A， B 兩點，過原點與線段AB 中點的直線的斜率為23，則ab的值為.【解析】ab xy023.題型三對稱問題【例3】 在拋物線y2 4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線l： y kx 3對稱，求k 的取值范圍.【解析】故 k 的取值范圍為( 1,0).【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1， y1)、 B(x2， y2)關(guān)于直線l 對稱，則滿足直線l 與 AB垂 直，且線段AB 的中點坐標滿足l 的方程；(2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大

19、于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點的坐標，利用中點在曲線內(nèi)部的 TOC o 1-5 h z 條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.【變式訓練3】已知拋物線yx23 上存在關(guān)于xy0 對稱的兩點A，B，則|AB|等于 ()A.3B.4C.3 2D.4 2【解析】設 AB 方程： yxb，代入yx23，得x2xb30，11所以xA xB1 ，故 AB 中點為( 2，2 b).它又在xy0 上，所以b1 ，所以|AB|32，故選C.總結(jié)提高1. 本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點問題的處理方法2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組A

20、x By C 0, f(x,y) Ax By C 0, f(x,y) 0,通過消去y(也可以消去x)得到x 的方程ax2 bx c 0 進行討論.這時要注意考慮a 0和 a0 兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a0 ， 0 外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差法時，要特別注意驗證“相交9.5 圓錐曲線綜合問題典例精析題型一求軌跡方程【例1】 已知拋物線的方程為x2 2

21、y， F 是拋物線的焦點，過點F 的直線 l 與拋物線交于A、 B 兩點，分別過點A、 B 作拋物線的兩條切線l1 和 l2，記l1和 l2交于點M.(1)求證：l1 l2；(2)求點M 的軌跡方程.【解析】(1)所以l1 l2.1(2)M 的軌跡方程是y2.直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意 “ 求軌跡方程” 和 “ 求軌跡 ” 是兩個不同概念，“ 求軌跡 ” 除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應關(guān)系了如指掌1 】 已知 ABC 的頂點為A( 5,0)， B(5,0)， ABC 的內(nèi)切圓圓心在直線x 3

22、上，則頂點C 的軌跡方程是()22A. 9 16 1Cx y 1(x 3).9 1622 xy B. 16 922D.x y 16 91(x 4)，方程為x2y2 1(x 3)，故選C.916題型二圓錐曲線的有關(guān)最值2】 已知菱形ABCD 的頂點A、 C 在橢圓x2 3y2 4 上， 對角線 BD所在直線1.當ABC 60時，求菱形ABCD 面積的最大值.因為四邊形ABCD 為菱形，所以AC BD.AC 的方程為yx n.22x y ,得 4x2 6nx 3n2 4 0.y xnA， C 在橢圓上，所以12n2 64 0，解得4343 n33.3n3n2 4設A，C 兩點坐標分別為(x1，y1

23、)，(x2，y2)，則x1x22，x1x24 ，y1 x1 n ， y2x2n. 所以 y1 y2 2.因為四邊形ABCD 為菱形，且ABC 60，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD 的面積S 23|AC|2.又|AC|2(x1x2)2(y1y2)2 3n 16，所以S3(3n216) (43n1 ，直線 l：xmym2 0，橢圓1， F1， F2分別為橢圓C 的左、右焦點.(1)當直線 l 過右焦點F2時，求直線l 的方程；(2)設直線l 與橢圓 C 交于A， B 兩點，AF1F2，BF1F2的重心分別為G， H.若原點O 在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m 的取值范圍(1)故直線l 的方程為x2y 1 0.（2）A（x1， y1）， B（x2， y2），則由 m2 8（m 1）m2 8 0 知m2 8，4且有my1且有my1 y22，2 m y1 y2812.F1( c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O 為 F1F2的中點，AG 2GO， BH 2HO，得G（x31， y31）， H（x32， y32），222 |GH |2