彈性力學有限元法

1、彈性力學有限元法第1頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1813.1有限元法求解問題的基本步驟問題及求解域定義連續(xù)體離散化 即有限元網格劃分，將連續(xù)體劃分為有限個具有一定形狀的單元組合體，相鄰單元之間通過節(jié)點相連接。單元分析（1）選擇位移模式位移法：選擇節(jié)點位移作為基本未知量。（應用較多）力法：選擇節(jié)點力為基本未知量?；旌戏ǎ喝∫徊糠至鸵徊糠止?jié)點位移作為基本未知量。第2頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/182（2）分析單元的力學性質 列出單元節(jié)點和節(jié)點位移之間的關系式。應用幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，導出單元

2、剛度矩陣。節(jié)點載荷和節(jié)點位移之間的關系式為： 為單元剛度矩陣。（3）計算等效節(jié)點力：用等效的節(jié)點力來代替所有在單元上的力。第3頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1834. 組成物體的整體方程組 由單元剛度矩陣構成整體剛度矩陣。對總體建立方程：5. 求解有限元方程和結果解釋 根據邊界條件和初始條件求解上式，得到節(jié)點位移。第4頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1843.2 連續(xù)體離散化 結構的離散化也稱為有限元網格劃分，即將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且只在節(jié)點上彼此相連的有限個單元組成的離散域。 常用的單元類型：桿單元

3、 一維單元，位移僅是軸向座標的函數。第5頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/185平面單元 二維單元，單元內任意點的應力、應變、位移僅與兩個座標方向的變量有關。第6頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/186 三角形單元：采用線性位移模式，在整個單元內各點的應變值為常數，所以也稱為常應變單元或常應力單元。 矩形單元：采用雙線性位移模式，單元內的應力是線性變化的。3. 薄板彎曲單元和薄板單元第7頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1874. 多面體單元第8頁，共58頁，2022年，5月20日，9點

4、37分，星期三2022/9/1885. 等參數單元：單元內任一點的位移與節(jié)點位移之間的關系恰好和該點的坐標與節(jié)點坐標之間的關系相同。 任意四邊形的邊一般不平行于坐標軸，沿單元邊的位移將按拋物線變化，而不是線性變化。 以直角坐標系XOY下的任意直邊四邊形單元單元的形心為坐標原點，用等分它四個邊的兩條直線為坐標軸，建立一個非正交的局部座標系 ，使單元邊界上的 、 是 ，這樣在局部坐標系中構成一個矩形單元。矩形單元的節(jié)點和內部任一點都與原總體坐標系中的單元的節(jié)點和內部點形成一一對應關系?？傮w坐標系適用于整個結構，局部坐標系只適用于具體某個單元。第9頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星

5、期三2022/9/1896. 軸對稱單元： 幾何形狀是回轉體，所受約束和外力對稱于回轉軸的機械機構稱為軸對稱問題。對此類問題一般采取柱坐標系來描述應力和變形。 對于此類問題采用軸對稱單元。劃分網格的基本原則：（1）網格數量：網格數量增加，計算精度會有所提高。（2）網格疏密：在結構不同處采用不同的網格形式。（3）單元階次：網格數量較少時，計算精度差別較大，采用高階單元。網格數量較多時，采用兩種單元的精度相差不大，采用低階單元計算量降低。第10頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1810（4）網格質量：網格幾何形狀的合理性，網格質量的好壞會影響計算精度，對于太差的

6、網格形狀程序將會自動停止計算。（5）網格分界面和分界點：結構中一些特殊位置的界面或特殊位置的點應分為網格邊界或節(jié)點。（6）位移協(xié)調性：一個單元的節(jié)點必須也是相鄰單元的節(jié)點，只有這樣單元上的力和力矩才能夠通過節(jié)點傳遞到相鄰單元。（7）網格布局：對于對稱結構應該劃分對稱單元。（8）節(jié)點和單元編號：一般情況下程序自動編號。第11頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18113.3 單元分析單元的插值函數 如果彈性體內的位移分量已知，則應變分量和應力分量也可以確定了。 幾何方程 虎克定律第12頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1812

7、 對于整體劃分單元后，在每個單元的局部范圍里可以采用比較簡單的函數來近似地表達單元的真實位移，把各單元的位移函數連接起來，就可以近似表示整個區(qū)域的真實的位移函數。第13頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1813 在離散體中任取一個單元，三個節(jié)點按逆時針方向順序編號為i，j，m。節(jié)點坐標分別表示為（xi，yi），（xj，yj），（xm，ym）。第14頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1814 對于彈性力學平面問題，一個三角形單元上的每個節(jié)點應有2個位移分量，則三角形單元共有6個自由度： 。三角形單元的節(jié)點位移矢量是：單元節(jié)點

8、力矢量是：第15頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1815 單元分析的基本任務是建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系式：式中 是6*6的矩陣，稱為單元剛度矩陣。 將單元的位移分量u，v取為坐標x，y的多項式，且位移場函數u，v在三個節(jié)點處的數值應該等于這三個節(jié)點處的六個位移分量。即有：第16頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1816在i，j，m三點應該有：第17頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1817由上式可以確定 的值。將其帶入（1）式就可以得到用單元節(jié)點位移表示的單元位移模式。第18

9、頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1818N稱為形函數矩陣或插值函數矩陣。插值函數具有如下性質：（1）在節(jié)點上插值函數的值有：（2）在單元內任一點各插值函數的和等于一。第19頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1819線性單元平面單元立體單元總體、局部和自然坐標數值積分：高斯勒讓德多項式ANSYS實例第20頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18203.1 一維單元形函數形函數在有限元分析中,扮演非常主要的角色. 除作為元素(單元)的內插函數,將元素內的位移或溫度分布,以節(jié)點位移或節(jié)點溫度表

10、示外,在余量法中的迦遼金法中,亦可作為加權函數來用. 此外,亦可將分布載荷轉換為集中力與彎矩,分別施加在各節(jié)點上.形函數根據其多項式的冪次,分為一次、二次、三次與高次等。第21頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1821位移沿著單元的分布可以用一個線性函數近似。如圖所示。第22頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1822一維一次元素的形函數中，函數值沿單一坐標軸以線性變化。假設位移函數沿x軸線性變化，位移函數uu(x)可寫成: u=a1+a2x向量形式: 假設在i、j節(jié)點的位移值分別為ui和uj , 有: u=ui 在X=Xi

11、處 u=uj 在X=Xj處第23頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1823將節(jié)點的值帶入線性方程將產生兩個方程和兩個未知量：求解未知量a1和a2得到：第24頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1824由節(jié)點的值表示的單元的位移分布為：改寫一下形式得到：定義形函數： 其中l(wèi)為單元長度。第25頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1825由形函數表示的單元的位移分布為：寫成矩陣形式：可以使用形函數和相應的節(jié)點值來表示給定單元上的任意的未知量的變化。第26頁，共58頁，2022年，5月20日，9點3

12、7分，星期三2022/9/1826形函數的性質在相應的節(jié)點上值為1,而在相鄰節(jié)點上值為0. 和 和2.形函數的和為1。第27頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1827形函數對于x導數的和為0第28頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1828實例（a）懸臂梁在X4cm處的溫度由單元（2）來表示：第29頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1829（b）懸臂梁在X=8cm處的溫度由單元（3）來表示：對于這個例子，注意 和 的區(qū)別。第30頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三202

13、2/9/1830假設承受的是軸向負荷, 應用線性單元, 柱體的垂直位移由下式確定.AB第31頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1831（a）應用總體坐標Y，點A的位移由單元（1）表示：（b）點B的位移由單元（4）表示：第32頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18323.2 一維三節(jié)點單元一維三節(jié)點單元用二次函數代替線性函數要求使用三個節(jié)點來定義一個單元,這是因為至少要有三個點才能確定一個二次函數.第三個點可以取在單元的中點.第33頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1833如單元的溫度分布

14、可以表示為:并且節(jié)點的值為:T=Ti 在X=Xi處T=Tk 在X=Xk處T=Tj 在X=Xj處第34頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1834產生的三個方程和三個未知量:求解c1，c2和c3，整理后得到由節(jié)點的值和形函數表示的單元溫度分布：將以上表達式寫成矩陣形式為：第35頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1835這里形函數為：一般來說，對于給定單元，由節(jié)點的值表示的參數變化 可以寫為：第36頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1836對于給定單元節(jié)點的位移變化:在形函數的性質中,二次形函

15、數關于X的導數之和不為零.第37頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18373.3 一維四節(jié)點單元 在有限元公式中，二次插值提供了較為精確的結果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高階的插值函數，例如三次多項式。這樣可以使用三次函數表示給定變量的空間變化。用三次函數代替二次函數，要求使用四個節(jié)點來定義一個單元，這是因為至少要有四個節(jié)點才能確定一個三階多項式。單元被分成等長的三段。四個節(jié)點的取法如圖所示。應用三次近似考慮上例，典型單元的溫度分布可以表示為：第38頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1838第39頁，共58頁，2

16、022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1839并且節(jié)點的值為： 在 處 在 處 在 處 在 處由節(jié)點的值和形函數表示的單元溫度分布：寫成矩陣的形式為：第40頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1840形函數為:第41頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1841當插值函數的階數增加時,可以用拉格朗日插值代替以上的方法來得到形函數:對于三次插值函數,每個節(jié)點相關的形函數可以用三個函數的乘積表示.函數的乘積在給定的節(jié)點上為1,而在其他節(jié)點上為0.如考慮節(jié)點i:第42頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星

17、期三2022/9/1842若將X=Xj X=Xk X=Xm代入方程, 函數Si的值為零.當在給定節(jié)點上計算形函數時,即X=Xi時,函數的值為1:第43頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1843由節(jié)點值表示的三次插值函數任意參數的變化可以表示為:三次形函數性質:形函數在相應節(jié)點上值為1,而在另一個相鄰節(jié)點上值為0;如果對形函數求和,結果為1;對三次形函數的求導將得到二次的結果.第44頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18443.4整體、局部和自然坐標 在有限元建模中，可以使用幾個參考系。整體坐標用來表示每個節(jié)點的位置和每個單

18、元的方向，并用來施加邊界條件和負荷。另一方面，需要使用局部和自然坐標系，以簡化計算。對于一維單元，整體坐標X和局部坐標x的關系為：第45頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1845 在一維一次形函數的表達式中帶入由局部坐標x表示的X有：第46頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18463.4.1 一維線性自然坐標 自然坐標是局部坐標的無量綱形式。使用自然坐標容易在上限1和下限1之間積分。令：這里x是局部坐標，局部坐標與自然坐標的關系如圖所示。第47頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1847 通過將由 表示的x帶入形函數的表達式能夠得到自然線性形函數。自然線性形函數具有線性形函數相同的性質。第48頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18483.4.2 一維自然二次和三次形函數將 帶入形函數的表達式得到二次自然形函數為：第49頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/1849 一維三次自然形函數為：第50頁，共58頁，2022年，5月20日，9點37分，星期三2022/9/18503.5 數值積分：高斯-勒讓德多項式 高斯-勒讓得積分是用來計算不等距離點上的已知函