極限與連續(xù)精品課件

1、極限與連續(xù)第1頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四2. 數(shù)列的極限如果當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí), xn 無(wú)限地接近于常數(shù) a , 那末稱(chēng) a 為數(shù)列xn的極限。第2頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定義：設(shè)一數(shù)列xn和一個(gè)常數(shù) a ,如果對(duì)于任意給定的正數(shù) （不任多么?。? 總存在正整數(shù) N，使得對(duì)于滿(mǎn)足 n N 的一切 xn 都有| xn a|Na +a第11頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四3. 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（唯一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值唯一。第12頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理2（有界性）

2、收斂數(shù)列必有界()AB第13頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四0a()第14頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四4. 極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。有界是數(shù)列收斂的必要條件，單調(diào)有界是數(shù)列收斂的充分條件。第15頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第16頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第17頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第18頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第19頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第20頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，

3、5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第21頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四例9. 判別數(shù)列xn的斂散性第22頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四2. 函數(shù)的極限“X”定義可簡(jiǎn)記為：1. 當(dāng)x時(shí)函數(shù)的極限定義1. 設(shè)有一函數(shù) f (x)，對(duì)于絕對(duì)值無(wú)任怎樣大的 x 值是有定義的，A為一常數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總存在一個(gè)正數(shù) x，使得當(dāng)| x | X時(shí)，恒有 | f (x) A| 0,當(dāng) | x |X時(shí)，函數(shù)位于這兩條直線(xiàn)之間。在定義1中，把| x|改為 x，即得 x+時(shí)的極限把| x|改為 - x，即得 x-時(shí)的極限X-X0 xyA+A-A第26頁(yè)，

4、共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四無(wú)極限舉例：第27頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四2. 當(dāng) x x0 時(shí)函數(shù)的極限。“ -”定義可簡(jiǎn)記為：定義2. 設(shè) f (x)在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義（ x0 本身可除外）且A為一常數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總存在一個(gè)正數(shù) ，使得當(dāng) 0| x- x0| 時(shí),|f (x)-A|0, 當(dāng) 0 | x x0 | 時(shí)，函數(shù)位于兩直線(xiàn)之間。x0-x0+0 xyAA+A-x0第33頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理2 （函數(shù)極限的保號(hào)性）左、右極限第34頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，

5、4點(diǎn)46分，星期四第35頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四=1?第36頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四無(wú)極限舉例 在討論分段函數(shù)的分割點(diǎn)的極限時(shí)，一定要考慮左、右極限。第37頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四 “0”是作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù)。3. 無(wú)窮小和無(wú)窮大1. 無(wú)窮小定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱(chēng)為無(wú)窮小。第38頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理2. 設(shè) 為無(wú)窮小，u 有界，則 u 也是無(wú)窮小。推論1. 常數(shù)乘以無(wú)窮小仍是無(wú)窮小。推論2. 無(wú)窮小乘以無(wú)窮小仍是無(wú)窮小。推論：有限個(gè)無(wú)窮小的和仍為無(wú)窮

6、小。有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。定理1. 設(shè) 和 為無(wú)窮小，則 也是無(wú)窮小第39頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理3 (極限與無(wú)窮小的關(guān)系)第40頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定義：絕對(duì)值無(wú)限增大的數(shù)列或函數(shù)稱(chēng)為無(wú)窮大。2. 無(wú)窮大注意：無(wú)窮大與無(wú)界的區(qū)別。第41頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第42頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四4. 極限運(yùn)算法則第43頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第44頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第45頁(yè)，共77頁(yè)，2

7、022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第46頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四1. 兩個(gè)重要極限5. 兩個(gè)重要極限定理1（函數(shù)的夾逼定理）0 xAPBC第47頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第48頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第49頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第50頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第51頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第52頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第53頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46

8、分，星期四第54頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第55頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四兩個(gè)無(wú)窮小的商實(shí)際反映了在變化過(guò)程中趨于零的速度快慢程度。為此引入定義兩個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和、積仍為無(wú)窮小，那么兩個(gè)無(wú)窮小的商會(huì)是什么樣呢？2. 無(wú)窮小的比較第56頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第57頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四3. 無(wú)窮小的主部第58頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四. 等階無(wú)窮小的代換定理第59頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四當(dāng) x 0 時(shí)，常見(jiàn)的

9、等價(jià)無(wú)窮小第60頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第61頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四 6. 函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)的三個(gè)要素：1. 函數(shù)的連續(xù)性定義1設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量增量 x 趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趨于零，那末稱(chēng)函數(shù) f (x)在 x0 處連續(xù)。f (x) 在 x0 點(diǎn)處有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值。第62頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理1.函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)的充要條件是： 函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處

10、既左連續(xù)又右連續(xù)。左、右連續(xù)第63頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第64頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四如果 f (x) 在 (a,b) 內(nèi)任意一點(diǎn)連續(xù)，則稱(chēng) f (x) 在 (a,b)上連續(xù)，或稱(chēng) f (x) 為 (a,b) 上的連續(xù)函數(shù)。如果 f (x)在 (a,b) 上連續(xù)，且在 x=a 右連續(xù)，在 x=b 處左連續(xù)，則稱(chēng) f (x) 在 a,b 上連續(xù)。第65頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第66頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四. 函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的常見(jiàn)類(lèi)型如果函數(shù)連續(xù)的三個(gè)要素中有一個(gè)不

11、滿(mǎn)足，那末稱(chēng) f (x) 在 x0 處間斷。無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)第67頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四左、右極限均存在的間斷點(diǎn),稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，其余的間斷點(diǎn),稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第68頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第69頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四2. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性第70頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理4. 如果函數(shù) y = f (x) 在某個(gè)區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增(或降) 且連續(xù)，那末它的反函數(shù) x = (y) 在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上也嚴(yán)格單調(diào)增(或降) 且連續(xù)

12、。推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)。定理5. (最大值、最小值定理). 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)至少取得最大值，最小值各一次。第71頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四定理 6. (介值定理) 推論 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必可取得介于最大值最小值之間的任何值推論 1(零值定理) 如果 f (x) 在 a,b 上連續(xù)，且 f (a)f (b)0, 那末在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得f() = 0(a b)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)可取得介于端點(diǎn)值之間的任意值。第72頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四第73頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，4