初中數(shù)學(xué) 七年級下冊 認(rèn)識三角形（教學(xué)設(shè)計(jì)）

1、 北師版七年級下冊數(shù)學(xué)第四章 三角形1 認(rèn)識三角形（1）教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)者：深圳市光明區(qū)教育科學(xué)研究院 來小靜一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1課時(shí)結(jié)構(gòu)圖2.內(nèi)容：三角形的概念（定義、表示和分類）、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余3.內(nèi)容解析（1）地位和作用：學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)初步認(rèn)識了三角形概念，通過操作直觀了解了三角形的分類和基本性質(zhì)（內(nèi)角和為180）.七年級以來，又學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線、角和平行線的性質(zhì)及判定定理.本課要在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，抽象三角形的概念，探索和證明三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)作為本章的起始課，還要幫助學(xué)生建立研究三角形的基本框架，給出研究一個(gè)幾何圖形的基本思路（2）概念的解析：三角形

2、是直線型圖形，由不共線的三條線段首尾相接而成，有6個(gè)要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）.從組成要素及其位置關(guān)系出發(fā)抽象三角形的概念，反映了確定一個(gè)幾何對象的基本套路；通過畫三角形、觀察其組成要素和位置關(guān)系、歸納共性、概括到一般形成三角形的概念，在思維上具有一般意義；以三角形邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的大小為分類標(biāo)準(zhǔn)對三角形進(jìn)行分類，在思維上也有一般意義.三角形組成要素之間的相互關(guān)系是三角形的基本性質(zhì)，邊與邊、內(nèi)角與內(nèi)角、邊與內(nèi)角的相互關(guān)系是首先要研究的三角形性質(zhì).通過作平行線將三角形三個(gè)內(nèi)角按照“共頂點(diǎn)、邊重合”的原則移到一條直線上，符合“求和”的要求，邏輯地推出“內(nèi)角和等于180”這一重要性質(zhì)，是通過簡單推理

3、得出的數(shù)學(xué)結(jié)論，在幾何推理論證上具有示范性，也體現(xiàn)了由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡（3）思想方法：通過操作歸納出概念，體現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)思想；在“從組成元素、位置關(guān)系出發(fā)歸納圖形的共性”的指導(dǎo)下抽象概念、在“圖形的組成元素的相互關(guān)系就是性質(zhì)”指導(dǎo)下研究性質(zhì)，體現(xiàn)了“一般觀念”引領(lǐng)探究活動的思想；利用平行線轉(zhuǎn)移角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.（4）知識類型：三角形是概念性知識，內(nèi)角和定理及直角三角形銳角互余是規(guī)則類知識本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：三角形概念，三角形內(nèi)角和定理二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1教學(xué)目標(biāo)（1）結(jié)合具體實(shí)例，理解三角形的概念（2）探索并證明三角形的內(nèi)角和定理（3）通過觀察、操作、想 象、推理、交流等活動

4、，發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理的表達(dá)能力2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是能通過操作、觀察和歸納，抽象出三角形的組成要素及其位置關(guān)系，并能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言（文字語言、符號語言、圖形語言）表示達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是能在“求和”的目標(biāo)導(dǎo)向下，通過操作實(shí)現(xiàn)角的組合，通過觀察發(fā)現(xiàn)角的關(guān)系（內(nèi)錯(cuò)角、同位角），利用平行線的性質(zhì)和判定定理，推導(dǎo)內(nèi)角和定理；能根據(jù)直角三角形有一個(gè)角是直角得出兩銳角互余的性質(zhì)，并據(jù)此進(jìn)行有關(guān)角度的計(jì)算三、教學(xué)問題診斷分析1.已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識了三角形，知道三角形的分類，通過操作直觀了解了內(nèi)角和為180；學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線、角的直觀描述和表示，知道了“過直線外一點(diǎn)有且只

5、有一條直線與已知直線平行”，學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)及判定定理；初步積累了觀察、操作等活動經(jīng)驗(yàn)，能對觀察到的規(guī)律作簡單的歸納，初步掌握了學(xué)習(xí)幾何的基本方法.2.與本課目標(biāo)的差距分析學(xué)生只掌握三角形的初步知識，缺乏發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、嚴(yán)格定義一個(gè)幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)特別是三條線段“首尾相接”，不易歸納.同時(shí)，對“幾何圖形的性質(zhì)”的含義不了解，因此學(xué)生只知道“三角形的內(nèi)角和為180”這一事實(shí)，但對如何發(fā)現(xiàn)、如何證明等都缺乏必要的經(jīng)驗(yàn).3.可能存在的問題發(fā)現(xiàn)三角形三條線段首尾相接的位置關(guān)系，存在困難；對于從怎樣的角度去研究三角形，利用角的邊與邊之間的特殊位置關(guān)系對角與角的大小關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，存在困難.另外，對數(shù)學(xué)概念從感性

6、認(rèn)識上升到理性認(rèn)識缺乏感悟，用符號語言表示幾何性質(zhì)的能力不足等，都可能成為學(xué)習(xí)障礙.4.應(yīng)對策略教學(xué)中應(yīng)充分設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動，要求學(xué)生動手操作、動眼觀察、動腦思考，反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)，要在“如何抽象幾何圖形”、“幾何圖形的性質(zhì)指什么”等方面加強(qiáng)指導(dǎo)以提高教學(xué)的思想性.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：對三角形概念的抽象；利用作平行線證明內(nèi)角和定理；用圖形語言、符號語言表達(dá)數(shù)學(xué)推理過程與結(jié)果四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）回顧舊知，引發(fā)思考多媒體顯示第四章第1節(jié)圖片“屋頂框架圖”問題1：你能從圖中找出哪些不同的三角形？師生活動：學(xué)生觀察圖形，從圖形中分解出三角形，教師通過投影展示學(xué)生作品并讓

7、學(xué)生自己回答.在此基礎(chǔ)上，教師給出課題，指出本節(jié)將在小學(xué)學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識三角形.設(shè)計(jì)意圖：從觀察現(xiàn)實(shí)事物的框架出發(fā)，抽象出三角形模型，獲得幾何研究對象.問題2：我們在小學(xué)認(rèn)識過三角形，知道三角形有三條邊、三個(gè)內(nèi)角，我們把這些稱為三角形的組成元素.你還知道三角形的哪些知識？師生活動：先由學(xué)生回顧，教師幫助整理：三角形兩邊之和大于第三邊；三角形內(nèi)角和是180；以三角形中最大角為特征，可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；根據(jù)邊的相等關(guān)系，可以把三角形分為等腰三角形、等邊三角形和三條邊均不相等的三角形；等等.設(shè)計(jì)意圖：小學(xué)階段通過對圖形的觀察和操作，初步了解了關(guān)于三角形的

8、分類、認(rèn)識了三角形邊、角的性質(zhì).通過回顧，喚醒學(xué)生的記憶，為基于基本事實(shí)認(rèn)識并證明這些結(jié)論打下基礎(chǔ).（二）探究本質(zhì)，歸納概念問題3：我們在小學(xué)是通過直觀的方式認(rèn)識三角形的，今天我們要通過嚴(yán)格定義的方式認(rèn)識三角形，并且要在定義的基礎(chǔ)上研究三角形的性質(zhì).那么，該如何定義三角形呢？為此，我們從畫三角形開始，請同學(xué)們畫出一個(gè)三角形，并根據(jù)自己畫圖的過程思考三角形的組成元素有哪些.然后小組交流，看看畫出的三角形的大小、形狀是否相同.師生活動：學(xué)生動手畫出一個(gè)三角形，并根據(jù)畫三角形的過程，思考三角形的組成元素.追問1 大家畫出的三角形大小和形狀都不相同.那么，從組成元素上看，不同的三角形有沒有相同的東西呢

9、？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論，得出它們都是由三條邊組成的.追問2 那么，這三條線段有怎樣的位置關(guān)系呢？請同學(xué)們觀察并說出老師的畫圖過程.師生活動：教師邊畫圖、邊解釋：先畫一條線段，點(diǎn)是起點(diǎn)，叫做首，點(diǎn)是終點(diǎn)，稱為尾；再以點(diǎn)為首、C為尾畫一條線段，然后以C為首、A為尾畫線段，得到三角形.追問3：如果一筆畫出三角形，對于頂點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回答，點(diǎn)既是上一條線段的尾，又是下一條線段的首，兩點(diǎn)也具有這樣的特點(diǎn).因此，三角形是三條線段首尾相接而成的圖形.設(shè)計(jì)意圖：從“畫三角形”的基本操作中，體會三角形就是三條線段首尾相接所組成的圖形.追問4：三條線段首尾相接是否一定構(gòu)成三

10、角形呢？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作線段時(shí)，如果和在同一條直線上，此時(shí)連接，也符合三條線段首尾相接，但圖形卻并不是三角形，直觀上就是一條線段.設(shè)計(jì)意圖：通過該活動，進(jìn)一步明確：三條線段除了“首尾相接”，還需要滿足“不在同一條直線上”才能得到三角形.教師總結(jié)：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生觀察畫三角形的過程，從中發(fā)現(xiàn)線段的端點(diǎn)的功能和關(guān)系，概括出“首尾相接”，以及“三條線段不共線”，不僅得出三角形的定義，而且為今后定義幾何圖形積累活動經(jīng)驗(yàn)（三）多元表征，理解概念1.就像角用一個(gè)“縮小”的角“”表示一樣，“三角形”可以用符號“”表示.如圖所

11、示的三角形，記作.BABA23C1cba的三邊，可以表示為或.（同學(xué)們寫出三角形的其他邊）的三角，可以表示為或或.（同學(xué)們寫出三角形的其他角）師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧點(diǎn)、線段和角的表示，在三角形中用以表示邊、角和頂點(diǎn).2.小學(xué)時(shí)，我們知道按照三角形中的最大角為特征，可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.問題4：三角形最多有幾個(gè)銳角？最少有幾個(gè)銳角？師生活動：請同學(xué)們?nèi)我猱嫵鲆粋€(gè)銳角三角形、一個(gè)直角三角形、一個(gè)鈍角三角形，遮擋其中的兩個(gè)銳角，思考能否判斷三角形的類型？設(shè)計(jì)意圖：通過活動進(jìn)一步體會三角形按角分類的標(biāo)準(zhǔn).在此給出直角三角形的數(shù)學(xué)表示.用表示“直角三角形”，把直角所對的

12、邊稱為“直角三角形的斜邊”，夾直角的兩條邊稱為直角邊.（四）動手操作，推出性質(zhì)問題5：小學(xué)時(shí)，我們已經(jīng)通過拼接，知道三角形的內(nèi)角和是180，它表明了三角形的組成元素角之間的相互關(guān)系，這是對任意一個(gè)三角形都成立的結(jié)論，但在小學(xué)我們僅僅通過觀察一些具體的三角形得出的結(jié)論.為此，我們需要通過推理論證的方式證明這個(gè)結(jié)論的正確性.你能利用平行線的相關(guān)知識證明結(jié)論的正確性嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)時(shí)的操作，撕下，由于是求和，因此不妨以為基準(zhǔn)，使的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合，一條邊與重合，此時(shí)還有沒有拼接到一起追問1：如果保持2不動，只撕下1、3 ，1可以如圖那樣拼接. 3應(yīng)該在哪里呢？師生活動：教師演示和提

13、問，學(xué)生得出結(jié)論.的另一邊在和的公共邊的延長線上.這仍然是直觀感受的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提問：追問2：進(jìn)一步簡化，如果不再撕下3去拼接，我們可以通過什么方式，把3移到1、2一起，進(jìn)而得出1+2+3=180呢？追問3：再次簡化，如果連1也不再撕下，我們可以通過什么方式，把1、2、 3組合到一起，進(jìn)而得出1+2+3=180呢？師生活動：先讓學(xué)生獨(dú)立思考并說理，然后再全班交流，最后師生共同確認(rèn)規(guī)范表述.在此活動中，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的一邊與重合后，另一邊與的一邊平行（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），繼而想到，要延長和的公共邊，它與所夾的角為.并且（兩直線平行，同位角相等）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分經(jīng)歷細(xì)致觀

14、察、動手操作、獨(dú)立思考的探究過程，在這一過程中，逐步弱化操作，轉(zhuǎn)而通過作平行線達(dá)到移動角的目的，體會猜想的合理性，并獲得證明思路的啟發(fā)（通過作一邊的平行線，將內(nèi)角平移到一起）然后通過推理（說理），證明猜想，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡，使推理成為觀察、實(shí)驗(yàn)的自然延續(xù)（五）應(yīng)用性質(zhì)，鞏固理解例1 如圖，求各內(nèi)角的度數(shù).師生活動：由學(xué)生自主完成，可以請學(xué)生板演，然后講評，并規(guī)范書寫格式.設(shè)計(jì)意圖：通過應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決求角的問題.例2 如圖，已知中，是直角，試判斷的兩個(gè)銳角之間的關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖：通過變式問題，讓學(xué)生聯(lián)系相關(guān)知識，從不同角度解決問題，訓(xùn)練利用概念、性質(zhì)解題的技能鞏固練習(xí)：完成教科書第84頁的練習(xí)3、練習(xí)4設(shè)計(jì)意圖：鞏固概念，深化性質(zhì)的理解（六）歸納小結(jié) ，反思提升請你結(jié)合知識結(jié)構(gòu)圖，總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并回答以下問題：1.在抽象三角形概念的過程中，我們經(jīng)歷了哪些步驟？2.三角形的要素有哪些？你能由此說一說如何定義一類幾何圖形嗎？3.我們是如何對三角形進(jìn)行分類的？你有什么體會？4.直角三角形的性質(zhì)是什么？如何證明？師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流，再進(jìn)行全班交流，最后教師進(jìn)行歸納.1.抽象三角形概念的步驟：觀察現(xiàn)實(shí)事物、畫三角形從組成元素及其位置關(guān)系的角度觀察不同三角形的共性給出定