2022年廣東省珠海三中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指孫子算經(jīng)中記載的算籌古代用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行計(jì)算，算籌的擺放形式有橫縱兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)

2、位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位用橫式表示，以此類推例如4266用算籌表示就是，則8771用算籌可表示為（）ABCD2已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時(shí)，則（ ）ABCD3若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則的值是( )ABCD4定義：復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線上，則的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為（ ）ABCD5已知點(diǎn)在拋物線上，且為第一象限的點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，為該拋物線的焦點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）ABC-1D-26已知集合A=xy=x-A0,3B（0,3）C3,+D0,+7過(guò)拋物線y24x焦

3、點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|2|AF|，則|BF|等于（）A2B3C4D58函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD9已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，焦距為，C的一條漸近線被以F為圓心，OF為半徑的圓F所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的方程是（ ）ABCD10若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A-2B2C-3D311定義在上的函數(shù)若滿足：對(duì)任意、，都有；對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（ ）ABCD12已知，直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為（）A4B3C2D1二、填

4、空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)滿足（1+i）z22+3i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z_14已知不等式對(duì)任意恒成立，其中，是與無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)，則的最小值是_.15若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_倍；16已知命題，則為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1=1.若a1（I）求an及S（）設(shè)bn=1an+12-118（12分）已知橢圓E的方程為y21，其左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓E上位于第一象限的一點(diǎn)（1）若三角形PF1F2的面

5、積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)A（1，0），記線段PA的長(zhǎng)度為d，求d的最小值19（12分）如圖，四棱錐，底面為直角梯形，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.20（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：21（12分）（12分）甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92，（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差22（10分）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且aR（1）求a的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x），若將函數(shù)g（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得

6、到函數(shù)h（x）的圖象，求函數(shù)h（x）的值域參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由算籌含義直接求解【詳解】解：由算籌含義得到8771用算籌可表示為故選C【點(diǎn)睛】本題考查中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查簡(jiǎn)單的合理推理、考查函數(shù)與方程思想，是中等題.2、D【解析】先由題得出函數(shù)的周期，再將變量調(diào)節(jié)到范圍內(nèi)進(jìn)行求解【詳解】因?yàn)?，所令，則，所以可得，即，所以函數(shù)的周期為，則，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以故選D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括周期性，奇偶性，解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的周期，屬于一般題3、C

7、【解析】分析：由題意結(jié)合二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解實(shí)數(shù)p的值即可.詳解：隨機(jī)變量則的數(shù)學(xué)期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、C【解析】設(shè) 可得:.因?yàn)閺?fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù),可得,的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn),由坐標(biāo)變換,即可得的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】 復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線上設(shè) 可得: 復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù) 設(shè)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 可得: 即 將代入得: 即: 故選: C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查復(fù)平面和考查坐標(biāo)變換,掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)是解本題

8、的關(guān)鍵.5、B【解析】設(shè)，由，利用拋物線定義求得，進(jìn)而得進(jìn)而即可求解【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，解得，代入拋物線方程得，所以，從而直線的斜率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及定義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.6、B【解析】先分別化簡(jiǎn)集合A,B,再利用集合補(bǔ)集交集運(yùn)算求解即可【詳解】A=xy=x-B=xx3=3,+)(-,-3故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、C【解析】由題意可知：|AC|2|AF|，則ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨丨AD丨，直線AB的切斜角，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，即可求得|

9、BF|【詳解】拋物線y24x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x1，準(zhǔn)線l與x軸交于H點(diǎn)，過(guò)A和B做ADl，BEl，由拋物線的定義可知：丨AF丨丨AD丨，丨BF丨丨BE丨，|AC|2|AF|，即|AC|2|AD|，則ACD，由丨HF丨p2，則丨AF丨丨AD丨，設(shè)直線AB的方程y（x1），整理得：3x210 x+30，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨x1+x2+p，丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨4，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題8、A【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除B，確定時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，排除C，

10、再由時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除D從而得正確結(jié)論【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，排除B，當(dāng)時(shí)，排除C，當(dāng)時(shí)，排除D.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由解析式選圖象，可能通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等排除一些選項(xiàng)，通過(guò)特殊的函數(shù)值、特殊點(diǎn)如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，函數(shù)值的正負(fù)等排除一些，再可通過(guò)函數(shù)值的變化趨勢(shì)又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個(gè)選項(xiàng)就是正確選項(xiàng)9、A【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可求出點(diǎn)F到漸近線的距離剛好為，由圓的知識(shí)列出方程，通過(guò)焦距為，求出，即可得到雙曲線方程【詳解】為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，焦距為，可得，的一條漸近線被以為圓心，為半徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為2，因?yàn)辄c(diǎn)F到漸近線的

11、距離剛好為，所以可得即有，則，所以雙曲線方程為：故選【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及雙曲線方程的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力10、C【解析】本題首先可以確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可列出方程組，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，故選C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，純虛數(shù)的實(shí)部為0且虛部不為0，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想，是簡(jiǎn)單題11、C【解析】先結(jié)合題中條件得出函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，由，可得出，化簡(jiǎn)后得出，結(jié)合可求出，再由結(jié)合不等式的性質(zhì)得出的取值范圍.【詳解】由知此函數(shù)為減函數(shù).由函數(shù)是關(guān)于的“中心捺

12、函數(shù)”，知曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上遞減，于是得，.，.則當(dāng)時(shí)，令m=x，y=n則：?jiǎn)栴}等價(jià)于點(diǎn)（x，y）滿足區(qū)域，如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識(shí)可知為（x，y）與（0，0）連線的斜率，由圖可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是分析出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將題中的不等關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，應(yīng)用到線性規(guī)劃的知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.12、A【解析】先得a+3b=1，再與相乘后，用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】依題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故選A【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，熟記基本

13、不等式即可，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，代入題目所給已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【詳解】設(shè)，則，于是有 解得，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的概念，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】設(shè)，其中，求出的取值范圍，即可得出的最小值【詳解】設(shè)，其中；，即；令，則的最小值是故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立應(yīng)用問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，結(jié)合單調(diào)性是解題的關(guān)鍵15、1；【解析】分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較【詳解】由題意，故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵

14、屬于基礎(chǔ)題16、，【解析】根據(jù)特稱命題“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”求解【詳解】命題，為特稱命題故為，故答案為，【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的否定，其中熟練掌握特稱命題的否定方法“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”，是解答本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）an=2n-1，Sn【解析】（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)題中條件列方程組求出a1和d的值，于此可得出an（）將bn的通項(xiàng)表示為bn=141n【詳解】（）由題意，得a1=1a2=a1所以an=a（）因?yàn)閎n所以Tn【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式，考查裂項(xiàng)

15、求和法，在求解等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，一般都是通過(guò)建立首項(xiàng)與公差的方程組，求解這兩個(gè)基本量來(lái)解決等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題。18、（1）P（1，） （2）【解析】（1）設(shè)P（x，y）；，根據(jù)三角形PF1F2的面積為列等式解得，再代入橢圓方程可得，即可得到答案；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)求最值可得結(jié)果.【詳解】橢圓E的方程為y21，其左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，所以：橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）；（0，1），焦點(diǎn)：F1（，0），F(xiàn)2（，0），|F1F2|2；P是橢圓E上位于第一象限的一點(diǎn)，設(shè)P（x，y）；（1）若三角形PF1F2的面積為，即：|F1F2

16、|y；解得：y，因?yàn)镻是橢圓E上位于第一象限的一點(diǎn)，滿足橢圓的方程，代入橢圓方程得：x1，所以：點(diǎn)P的坐標(biāo)P（1，）；（2）設(shè)A（1，0），記線段PA的長(zhǎng)度為d，P是橢圓E上位于第一象限的一點(diǎn)，所以：d因?yàn)?，所以時(shí)，d有最小值，所以d的最小值d【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了三角形的面積公式，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)法證明平面，即可證得平面平面；（2） 如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（1）證明：因?yàn)闉橹苯翘菪?，又因?yàn)?，所以?所以，所以, 又因?yàn)?，?/p>

17、以平面， 又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?（2）作于，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面， 所以為直線與平面所成的角， 設(shè)，因?yàn)?，所以?如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則， 9分設(shè)平面法向量，則，取，則， 所以平面一個(gè)法向量， 設(shè)與平面所成角為，則, 所以直線與平面所成角為正弦值為.點(diǎn)睛：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)學(xué)結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想20、 (1) (2)見(jiàn)證明【解析】（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)，討論的范圍確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后得到的范圍.（2）將，兩個(gè)零點(diǎn)代入函數(shù)，通過(guò)化簡(jiǎn)得到：

18、需證.轉(zhuǎn)化為不等式，設(shè)函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性求最值得到證明.【詳解】解；（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，則在遞減，至多一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，解得，解得，所以在遞減.在遞增函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，則最小值，解得經(jīng)檢驗(yàn)，即，則在有一個(gè)零點(diǎn).又，令，則恒成立.所以在單調(diào)遞增，即所以，即，則在必有一零點(diǎn).所以時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（2）因?yàn)?，為的兩個(gè)零點(diǎn)，所以即，不妨礙，則即要證，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證，令，則，現(xiàn)在只需證設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，即所以【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，證明不等式，技巧強(qiáng)，綜合性大，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力.21、（1）P2【解析】試題分析：解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A,B.設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1，乙為P則P(A)=P(A+B)=1-P(012P